2013年高考數(shù)學 考前沖刺大題精做 專題05 圓錐曲線基礎篇（教師版）

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1、2013年高考數(shù)學 考前沖刺大題精做 專題05 圓錐曲線基礎篇（教師版） 【2013高考會這樣考】 1、 圓錐曲線的方程求法有兩種，一種是定義法；一種是待定系數(shù)法； 2、 數(shù)列的使用離心率的公式以及公式的變式，方便在計算圓錐曲線的方程中加以應用； 3、 聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程多使用根與系數(shù)的關系進行解題；此外要看清楚直線是否過定點，定點與圓錐曲線的位置關系； 4、 熟練的使用弦長公式. 【原味還原高考】 【高考還原1：（2012年高考（浙江理））】如圖,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,其左焦點到點P(2,1)的距離為.不過原點O的直線l與C相交于A,B兩點,且線段AB被直

2、線OP平分. （Ⅰ）求橢圓C的方程; （Ⅱ）求ABP的面積取最大時直線l的方程. 的難度與綜合性，此時應當利用導數(shù)作為輔助工具進行求解. 【高考還原2：（2012年高考（陜西理））】已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率. （1）求橢圓的方程; （2）設O為坐標原點,點A,B分別在橢圓和上,,求直線的方程. 【高考還原3：（2012年高考（福建理））】如圖,橢圓的左焦點為,右焦點為,離心率.過的直線交橢圓于兩點,且的周長為8. （Ⅰ）求橢圓的方程. （Ⅱ）設動直線與橢圓有且只有一個公共點,且與直線相較于點.試探究:在坐標平面內是否存在定點

3、,使得以為直徑的圓恒過點?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由. 【名師點撥】（Ⅰ）利用橢圓的定義以及離心率的公式求出橢圓的方程；（Ⅱ）聯(lián)立 【細品經(jīng)典例題】 【經(jīng)典例題1】已知橢圓過點，且離心率． （1） 求橢圓的標準方程； （2） 聯(lián)立 消y得 ∵直線與橢圓相交于不同的兩點M、N ∴ 得： …… ① 【經(jīng)典例題2】已知焦點在軸上的橢圓過點，且離心率為,為橢圓的左頂點. （1）求橢圓的標準方程； （2）已知過點的直線與橢圓交于，兩點. ② 若直線垂直于軸，求的大小; ② 若直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等

4、腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由. （ⅱ）當直線與軸不垂直時，由題意可設直線的方程為 . 故與不垂直，矛盾. 所以 當直線與軸不垂直時，不存在直線使得為等腰三角形. 【名師剖析】 試題重點：本題體現(xiàn)向量背景下的圓錐曲線問題，知識點綜合性強：1、直線的方程；2、橢圓的方程；3、橢圓的參數(shù)關系；4、橢圓的離心率；5、根與系數(shù)的關系；6、向量數(shù)量積的基本運算；7、等腰三角形的性質. 試題難點：在判斷“是否存在直線使得為等腰三角形”，應建立在上面結論的基礎上，先判斷“為直角三角形”，再判斷是否等腰. 試題注意點：在判斷等腰三

5、角形的時候可以利用三線合一的性質構造向量進行判定. 【精選名題巧練】 【名題巧練1】如圖，已知橢圓：的離心率，短軸右端點為，為線段的中點. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過點任作一條直線與橢圓相交于兩點，試問在軸上是否存在定點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由. 綜上在軸上存在定點，使得.…………13分 【名題巧練2】已知橢圓的中心在坐標原點，兩個焦點分別為，，點在橢圓 上，過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線分別為，且與交于點. （1）求橢圓的方程； （2）是否存在滿足的點? 若存在，指出這樣的點有幾個（不必求出點的坐標）; 若不存在

6、，說明理由. 【名題出處】2013福建省漳州市高中畢業(yè)班質量檢查 【名師點撥】（1）利用橢圓的定義算出a的值，再計算出橢圓的方程； ∴拋物線在點處的切線的方程為，即. ② 同理， . ② ……………7分 由解得 （i）證明：； （ii）求四邊形ABCD的面積S的最大值。 【名題出處】2013廣西省桂林市、百色市、崇左市、北海市、防城港市高三質量檢查 【名師點撥】（Ⅰ）可以利用“”算得b=c=1，進而求出橢圓的方程；（Ⅱ）（i）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用弦長公式進行計算；（

7、ii）可以算 當且僅當時，四邊形ABCD的面積S取得最大值為 【名題巧練4】如圖，A、B是橢圓的兩個頂點，|AB|=，直線AB的斜率為. （1）求橢圓的方程； （2）設直線平行于AB，與x,y軸分別交于點M、N，與橢圓交于C，D，證明：與的面積相等。 因為，，所以線段的中點坐標也為………12分 從而與的中點重合，所以……………13分 又//，所以與的高相等，高為， 故………………………14分 【名題巧練6】已知直線過定點，動點滿足，動點的軌跡為. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）直線與交于兩點，以為切點分別作的切線，兩切線交于點. ①求證：； ②若直線與交

8、于兩點，求四邊形面積的最大值. 【名題出處】2013江西省師大附中、鷹潭一中高中畢業(yè)班質量檢查 【名師點撥】（I）利用兩點間的距離公式，兩邊同平方求解； 【名師解析】（I）由題意知，設；（Ⅱ）①利用導數(shù)計 由消去，得，顯然， 所以，. 又 （2）為坐標原點，是直線上的一個動點，求的最小值，并求出此時點的坐標． 【名題巧練8】已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為. （１）求橢圓的方程； …14分 【名題巧練9】已知兩定點，動點P滿足，由點P向軸作垂線PQ，垂足為Q，點M滿足，點M的軌跡為C. （I）求曲線C的方程； （II）若線段AB是曲線C的一條動弦，且，求坐標原點O到動弦AB距離的最大值. 【名題巧練10】設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1、F2，線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2，且△AB1B2是面積為的直角三角形．過 Ｂ1作直線l交橢圓于P、Q兩點． （1）求該橢圓的標準方程； （2）若，求直線l的方程； （3）設直線l與圓O：x2+y2=8相交于M、N兩點，令|MN|的長度為t，若t∈，求△B2PQ的面積的取值范圍． 聯(lián)立方程組：得，由韋達定理知，