2013年高考數(shù)學(xué) 考前沖刺大題精做 專題05 圓錐曲線基礎(chǔ)篇（教師版）

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1、2013年高考數(shù)學(xué) 考前沖刺大題精做 專題05 圓錐曲線基礎(chǔ)篇（教師版） 【2013高考會(huì)這樣考】 1、 圓錐曲線的方程求法有兩種，一種是定義法；一種是待定系數(shù)法； 2、 數(shù)列的使用離心率的公式以及公式的變式，方便在計(jì)算圓錐曲線的方程中加以應(yīng)用； 3、 聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程多使用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解題；此外要看清楚直線是否過定點(diǎn)，定點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系； 4、 熟練的使用弦長公式. 【原味還原高考】 【高考還原1：（2012年高考（浙江理））】如圖,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直

2、線OP平分. （Ⅰ）求橢圓C的方程; （Ⅱ）求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程. 的難度與綜合性，此時(shí)應(yīng)當(dāng)利用導(dǎo)數(shù)作為輔助工具進(jìn)行求解. 【高考還原2：（2012年高考（陜西理））】已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率. （1）求橢圓的方程; （2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓和上,,求直線的方程. 【高考還原3：（2012年高考（福建理））】如圖,橢圓的左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,離心率.過的直線交橢圓于兩點(diǎn),且的周長為8. （Ⅰ）求橢圓的方程. （Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且與直線相較于點(diǎn).試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)

3、,使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由. 【名師點(diǎn)撥】（Ⅰ）利用橢圓的定義以及離心率的公式求出橢圓的方程；（Ⅱ）聯(lián)立 【細(xì)品經(jīng)典例題】 【經(jīng)典例題1】已知橢圓過點(diǎn)，且離心率． （1） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2） 聯(lián)立 消y得 ∵直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M、N ∴ 得： …… ① 【經(jīng)典例題2】已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn)，且離心率為,為橢圓的左頂點(diǎn). （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn). ② 若直線垂直于軸，求的大小; ② 若直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等

4、腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由. （ⅱ）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由題意可設(shè)直線的方程為 . 故與不垂直，矛盾. 所以 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，不存在直線使得為等腰三角形. 【名師剖析】 試題重點(diǎn)：本題體現(xiàn)向量背景下的圓錐曲線問題，知識(shí)點(diǎn)綜合性強(qiáng)：1、直線的方程；2、橢圓的方程；3、橢圓的參數(shù)關(guān)系；4、橢圓的離心率；5、根與系數(shù)的關(guān)系；6、向量數(shù)量積的基本運(yùn)算；7、等腰三角形的性質(zhì). 試題難點(diǎn)：在判斷“是否存在直線使得為等腰三角形”，應(yīng)建立在上面結(jié)論的基礎(chǔ)上，先判斷“為直角三角形”，再判斷是否等腰. 試題注意點(diǎn)：在判斷等腰三

5、角形的時(shí)候可以利用三線合一的性質(zhì)構(gòu)造向量進(jìn)行判定. 【精選名題巧練】 【名題巧練1】如圖，已知橢圓：的離心率，短軸右端點(diǎn)為，為線段的中點(diǎn). （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 綜上在軸上存在定點(diǎn)，使得.…………13分 【名題巧練2】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓 上，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，且與交于點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）; 若不存在

6、，說明理由. 【名題出處】2013福建省漳州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查 【名師點(diǎn)撥】（1）利用橢圓的定義算出a的值，再計(jì)算出橢圓的方程； ∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即. ② 同理， . ② ……………7分 由解得 （i）證明：； （ii）求四邊形ABCD的面積S的最大值。 【名題出處】2013廣西省桂林市、百色市、崇左市、北海市、防城港市高三質(zhì)量檢查 【名師點(diǎn)撥】（Ⅰ）可以利用“”算得b=c=1，進(jìn)而求出橢圓的方程；（Ⅱ）（i）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用弦長公式進(jìn)行計(jì)算；（

7、ii）可以算 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD的面積S取得最大值為 【名題巧練4】如圖，A、B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，|AB|=，直線AB的斜率為. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線平行于AB，與x,y軸分別交于點(diǎn)M、N，與橢圓交于C，D，證明：與的面積相等。 因?yàn)?，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)也為………12分 從而與的中點(diǎn)重合，所以……………13分 又//，所以與的高相等，高為， 故………………………14分 【名題巧練6】已知直線過定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）直線與交于兩點(diǎn)，以為切點(diǎn)分別作的切線，兩切線交于點(diǎn). ①求證：； ②若直線與交

8、于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值. 【名題出處】2013江西省師大附中、鷹潭一中高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查 【名師點(diǎn)撥】（I）利用兩點(diǎn)間的距離公式，兩邊同平方求解； 【名師解析】（I）由題意知，設(shè)；（Ⅱ）①利用導(dǎo)數(shù)計(jì) 由消去，得，顯然， 所以，. 又 （2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)． 【名題巧練8】已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為. （１）求橢圓的方程； …14分 【名題巧練9】已知兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，由點(diǎn)P向軸作垂線PQ，垂足為Q，點(diǎn)M滿足，點(diǎn)M的軌跡為C. （I）求曲線C的方程； （II）若線段AB是曲線C的一條動(dòng)弦，且，求坐標(biāo)原點(diǎn)O到動(dòng)弦AB距離的最大值. 【名題巧練10】設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，線段OF1、OF2的中點(diǎn)分別為B1、B2，且△AB1B2是面積為的直角三角形．過 Ｂ1作直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)． （1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若，求直線l的方程； （3）設(shè)直線l與圓O：x2+y2=8相交于M、N兩點(diǎn)，令|MN|的長度為t，若t∈，求△B2PQ的面積的取值范圍． 聯(lián)立方程組：得，由韋達(dá)定理知，