2014屆高三數(shù)學總復習 課時提升作業(yè)(三十三) 第五章 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應用 文

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1、課時提升作業(yè)(三十三) 第五章 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應用 一、選擇題 1.(2013·臨川模擬)數(shù)列{an}的首項為3,{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an,若b3=-2,b2=12,則a8=　(　　) (A)0 (B)-109 (C)-78 (D)11 2.(2012·海淀模擬)已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an>0,-=1(n∈N+),那么使an<5成立的n的最大值為　(　　) (A)4 (B)5 (C)24 (D)25 3.(2013·蚌埠模擬)已知向量a=(an,2),b=(an+1,),且a1=1,若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a∥b,

2、則Sn=　(　　) (A)[1-()n] (B)[1-()n] (C)[1-()n-1] (D)[1-()n-1] 4.(2013·撫州模擬)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若(S8-S5)(S8-S4)<0,則　 (　　) (A)|a6|>|a7| (B)|a6|<|a7| (C)|a6|=|a7| (D)a6=0 5.(2013·石家莊模擬)《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一.書中有一道這樣的題目:把100個面包分給五個人,使每人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的是較小的兩份之和,問最小一份為　(　　) (A) (B) (C)

3、 (D) 6.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,公差為d,若<-1,且它的前n項和Sn有最大值,則使得Sn<0的n的最小值為　(　　) (A)11 (B)19 (C)20 (D)21 7.(2013·商洛模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+2bx過(1,2)點,若數(shù)列{}的前n項和為Sn,則S2012的值為　(　　) (A) (B) (C) (D) 8.(能力挑戰(zhàn)題)甲、乙兩間工廠的月產(chǎn)值在2012年元月份時相同,甲以后每個月比前一個月增加相同的產(chǎn)值.乙以后每個月比前一個月增加產(chǎn)值的百分比相同.到2012年11月份發(fā)現(xiàn)兩間工廠的月產(chǎn)值又相同.比較甲、乙兩間工廠2

4、012年6月份的月產(chǎn)值大小,則有　(　　) (A)甲的產(chǎn)值小于乙的產(chǎn)值 (B)甲的產(chǎn)值等于乙的產(chǎn)值 (C)甲的產(chǎn)值大于乙的產(chǎn)值 (D)不能確定 二、填空題 9.設(shè)曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為an,則數(shù)列{}的前n項和Sn等于　　　　. 10.從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升純酒精,然后填滿水,再倒出1升混合溶液后又用水填滿,以此繼續(xù)下去,則至少應倒　　　次后才能使純酒精體積與總?cè)芤旱捏w積之比低于10%. 11.設(shè)數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,則通項an=　　　. 12.(能力挑戰(zhàn)題)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,a1=t,點

5、(Sn,an+1)在直線y=2x+1上,n∈N+,若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則實數(shù)t=　　　. 三、解答題 13.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S1,S3,S2成等差數(shù)列, (1)求{an}的公比q. (2)若a1-a3=3,求Sn. 14.(2012·安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)=+sinx的所有正的極小值點從小到大排成的數(shù)列為{xn}. (1)求數(shù)列{xn}的通項公式. (2)設(shè){xn}的前n項和為Sn,求sinSn. 15.(2013·新余模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an-an+1=anan+1,數(shù)列{an}的前n項和為Sn. (1)求證:數(shù)列{}為等差數(shù)列

6、. (2)設(shè)Tn=S2n-Sn,求證:Tn+1>Tn. 答案解析 1.【解析】選B.數(shù)列{bn}的公差為-14,故b1=26,a8-a1=b1+b2+…+b7=7×26+×(-14)=-112,故a8=-109. 2.【解析】選C.由a1=1,an>0,-=1(n∈N+)可得=n,即an=,要使an<5,則n<25,故選C. 3.【解析】選A.由向量a∥b,得an=2an+1, 即=,數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列,則 Sn==[1-()n]. 4.【解析】選A.由(S8-S5)(S8-S4)<0知 S8-S5>0且S8-S4<0或S8-S5<0且S8

7、-S4>0, 當S8-S5>0且S8-S4<0時, 有 ∴∴|a6|>|a7|. 當S8-S5<0且S8-S4>0時, 有 ∴ ∴|a6|>|a7|,故選A. 5.【解析】選A.設(shè)五個人所分得的面包為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),則(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20. 由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d= 7(2a-3d),∴24d=11a,∴d=, 所以,最小的一份為a-2d=20-=. 6.【思路點撥】解答本題首先要搞清條件“<-1”及“Sn有最大值”如何使用,從而列出關(guān)于

8、a1,d的不等式組,求出的取值范圍,進而求出使得Sn<0的n的最小值,或者根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解. 【解析】選C.方法一:由題意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0, 由得-<<-9. ∵Sn=na1+d=n2+(a1-)n, 由Sn=0得n=0或n=1-. ∵19<1-<20, ∴Sn<0的解集為{n∈N+|n>1-}, 故使得Sn<0的n的最小值為20. 方法二:由題意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0, 由a10>0知S19>0,由a11<0知S21<0, 由a10+a11<0知S20<0,故選C. 7.【解析】選D.由函數(shù)f(x)

9、=x2+2bx過(1,2)點, 得b=, ∴==-, S2012=++…+ =(1-)+(-)+…+(-)=. 8.【解析】選C.設(shè)甲各個月份的產(chǎn)值構(gòu)成數(shù)列{an},乙各個月份的產(chǎn)值構(gòu)成數(shù)列{bn},則數(shù)列{an}為等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且a1=b1,a11=b11,故a6=≥===b6,由于在等差數(shù)列{an}中的公差不等于0,故a1≠a11,上面的等號不能成立,故a6>b6,即6月份甲的產(chǎn)值大于乙的產(chǎn)值. 9.【解析】∵y'=nxn-1-(n+1)xn,∴y'|x=2=n·2n-1-(n+1)·2n=-n·2n-1-2n, ∴切線方程為y+2n=(-n·2n-1-2

10、n)(x-2), 令x=0得y=(n+1)·2n,即an=(n+1)·2n, ∴=2n,∴Sn=2n+1-2. 答案：2n+1-2 10.【解析】設(shè)開始純酒精體積與總?cè)芤后w積之比為1,操作一次后純酒精體積與總?cè)芤后w積之比a1=,設(shè)操作n次后,純酒精體積與總?cè)芤后w積之比為an,則an+1=an·, ∴an=a1qn-1=()n,∴()n<,得n≥4. 答案：4 【方法技巧】建模解數(shù)列問題 對于數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應用問題,首先分析題意,將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,找出相關(guān)量之間的關(guān)系,然后構(gòu)建數(shù)學模型,將實際問題抽象成數(shù)學問題,明確是等差數(shù)列問題、等比數(shù)列問題,是求和還是求項,還

11、是其他數(shù)學問題,最后通過建立的關(guān)系求出相關(guān)量. 11.【解析】∵a1=2,an+1=an+n+1, ∴an=an-1+(n-1)+1,an-1=an-2+(n-2)+1, an-2=an-3+(n-3)+1,…,a3=a2+2+1, a2=a1+1+1,a1=2=1+1, 將以上各式相加得: an=[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1]+n+1 =+n+1 =+n+1 =+1. 答案：+1 12.【思路點撥】得出關(guān)于an+1,Sn的式子,降低一個角標再得一個關(guān)于an,Sn-1的式子,兩個式子相減后得出an+1,an的關(guān)系,可得數(shù)列{an}中,a2,a3,a4,

12、…為等比數(shù)列,只要等于上面數(shù)列的公比即可. 【解析】由題意得an+1=2Sn+1, an=2Sn-1+1(n≥2), 兩式相減得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2), 所以當n≥2時,{an}是等比數(shù)列, 要使n≥1時,{an}是等比數(shù)列,則只需 ==3,從而t=1. 答案：1 13.【解析】(1)依題意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2), 由于a1≠0,故2q2+q=0. 又q≠0,從而q=-. (2)由已知可得a1-a1(-)2=3, 故a1=4, 從而Sn==[1-(-)n]. 14.【思路點撥】(1)根據(jù)導數(shù),xn的左

13、側(cè)導函數(shù)小于0,xn的右側(cè)導函數(shù)大于0,求出極小值點.(2)由(1)求出{xn}的前n項和為Sn,再代入sinSn求解. 【解析】(1)f(x)=+sinx,令f'(x)=+cosx=0,得x=2kπ±(k∈Z), f'(x)>0?2kπ-0, ∴Tn+1>Tn.