2013年高考數(shù)學(xué) 回歸基礎(chǔ)知識 一、集合的基本概念與運算

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1、集合與函數(shù)概念 一、集合的基本概念與運算 (一)元素與集合 1.集合的定義 一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素。把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)。通常用大寫字母A，B，C，D，…表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，…表示元素。 2.集合中元素的特征 (1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了。例如，“中國的直轄市”構(gòu)成一個集合，北京、上海、天津、重慶在這個集合中，杭州、南京、廣州……不在這個集合中。“身材較高的人”不能構(gòu)成集合；因為組成它的元素是不確定的。 (2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的

2、(或說是互異的)，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。相同元素、重復(fù)元素，不論多少，只能算作該集合的一個元素。 (3)無序性：在一個集合中，不考慮元素之間的順序只要元素完全相同，就認為是同一個集合。 3、集合相等 只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的。 4、元素與集合的關(guān)系 如果a是集合A的元素，就是說a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作aA。 5、常見的數(shù)集及記法 全體非負整數(shù)組成的集合稱為非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N； 所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集（在自然數(shù)集中排除0的集合），記作N*或N+； 全

3、體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z； 全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q； 全體實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集，記作R。 拓展與提示：（1）無序性常常作為計算時驗證的重要依據(jù)。 （2）注意N與N*的區(qū)別。N*為正整數(shù)集，而N為非負整數(shù)集，即0∈N但0 N*。 （3）集合的分類 按元素個數(shù) 按元素的特征可分為：數(shù)集，點集，形集等等。 特別地，至少有一個元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集（），只含有一個元素的集合叫做單元素集。 例　已知 　解析　① 　?、? 　解①得x=y=1這與集合中元素的互異性相矛盾。 解②得x

4、= -1或1(舍去) 這時y=0 ∴x= -1，y=0 6、集合的表示方法 (1)列舉法：把集合中的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法。 適用條件：有限集或有規(guī)律的無限集 形式： (2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法，具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍；再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。 適用條件：一般適合于無限集，有時也可以是有限集。 形式：，其中x為元素，p(x)表示特征。 拓展與提示：如果集合中的元素的范圍已經(jīng)很明確，那么x∈D可以省略，只寫其元素

5、x，如可以表示為。 (3)韋恩圖法：把集合中的元素寫在一條封閉曲線(圓、橢圓、矩形等)內(nèi)。 例 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并指出它是有限集還是無限集： (1)由所有非負奇數(shù)組成的集合； (2)由所有小于10既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的自然數(shù)組成的集合； (3)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第三象限的點組成的集合； (4)方程x2+x+1=0的實數(shù)根組成的集合。 解析 (1)由所有非負奇數(shù)組成的集合可表示為： ，A是無限集。 (2)滿足條件的數(shù)有3，5，7，所以所求集合為：，集合 B是有限集。 (3)所求集合可表示為：，集合C是無限集。 (4)因為方程x2+x+1=0

6、的判別式的Δ<0，故無實數(shù)，所以方程x2+x+1=0的實根組成的集合是空集。 (二)集合的基本關(guān)系 1、子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個無素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作，讀作“A含于B”(或“B包含A”)。 數(shù)學(xué)表述法可簡述為：若，則集合A是集合B的子集。(如圖) 2、集合相等：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A=B。數(shù)學(xué)表述法可描述為：對于集合A、B，若，且，則集合A、B相等。 3、真子集：若集合，且A≠B，則集合

7、A是集合B的真子集。 (1) 。(2) B(其中B為非空集合)。(3)對于集合A，B，C，若。(4)對于集合A，B，若。(6)含n元素的集合的全部子集個數(shù)為2n個，真子集有2n-1個，非空子集有2n-1個，非空真子集有2n-2個。(7)是不同的，前者為包含關(guān)系，后者為屬于關(guān)系。 4、空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為，并規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （三）集合間的基本運算 1、并集 一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作 (讀作“A并B”)，即 可用Venn圖表示為

8、 拓展與提示：對于任意集合A、B，有(1)(2); (3);(4)。 2、交集 一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作(讀作“A交B”)，即。 拓展與提示：對于任意集合A、B，有(1) (2)； (3)；(4)；(5)。 可用Venn圖表示為 3、全集與補集 (1)全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U。 (2)補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作。 拓展

9、與提示：(1)A∩=，A∪，=U；（2）=，=，=U； (3) =，=。 (4)下圖中的①~④分別表示為 ①A∩， ②∩B ， ③A∩B ， ④ 例 設(shè)集合，若A∩B=，求A∪B。 解析 由A∩B=得，9∈A。 ∴x2=9或2x-1=9 ①由x2=9得，x=±3。當(dāng)x=3時，，與元素的互異性矛盾。 當(dāng)x=-3時，，此時， ②由2x-1=9得x=5. 當(dāng)x=5時，，此時，，與題設(shè)矛盾。 綜上所述， 4、集合中元素的個數(shù)：（不做要求） 在研究集合時，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素的個數(shù)問題，我們把含有限個元素的集合A叫做

10、有限集，用card來表示有限集合A中元素的個數(shù)。例如：. 一般地，對任意兩個有限集A，B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 當(dāng)時僅當(dāng)A∩B=時，card(A∪B)=card(A)+card(B). 解與集合中元素個數(shù)有關(guān)的問題時，常用venn圖。 例 學(xué)校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類運動會，這個班有12名同學(xué)參賽，兩次運動會都參賽的有3人，兩次運動會中，這個班共有多少名同學(xué)參賽？ 解析 設(shè)，，那么 ， Card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) =8+12-3=17 答：兩次運動會中，這個班共有17名同學(xué)參賽