2013高考數(shù)學(xué) 多考點(diǎn)綜合練 三角函數(shù)、解三角形　平面向量 理 新人教A版

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1、多考點(diǎn)綜合練(三) 測(cè)試內(nèi)容：三角函數(shù)、解三角形　平面向量 (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．(2012年孝感第一次統(tǒng)考)點(diǎn)A(sin 2 013°，cos 2 013°)在直角坐標(biāo)平面上位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由于2 013°＝5×360°＋211°，因此2 013°角終邊落在第三象限，于是sin 2 013°<0，cos 2 013°<0，從而A點(diǎn)在第三象限，選C. 答案：C 2．(2011年高考課標(biāo)卷)

2、已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝ (　　) A．－ B．－ C. D. 解析：由已知tanθ＝2，則cos 2θ＝＝＝－. 答案：B 3．函數(shù)y＝sin(2x－π)cos[2(x＋π)]是 (　　) A．周期為的奇函數(shù) B．周期為的偶函數(shù) C．周期為的奇函數(shù) D．周期為的偶函數(shù) 解析：y＝sin(2x－π)cos[2(x＋π)] ＝·(－sin 2x)·cos 2x＝－sin 4x， 因此周期T＝＝， 且f(－x)＝－f(x)，函數(shù)是奇函數(shù)，選C. 答案：C 4．(2012年浙江)設(shè)a，b是兩個(gè)非零向

3、量． (　　) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b B．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa D．若存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b| 解析：由|a＋b|＝|a|－|b|兩邊平方，得a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|，即a·b＝－|a|·|b|，故a與b方向相反．又|a|≥|b|，則存在實(shí)數(shù)λ∈[－1,0)，使得b＝λa.故A，B命題不正確，C命題正確，而兩向量共線，不一定有|a＋b|＝|a|－|b|，即D命題不正確，故選C. 答案：C 5．已知向量a＝(sin

4、x，cos x)，向量b＝(1, )，則|a＋b|的最大值為(　　) A．1 B. C．3 D．9 解析：|a＋b|＝ ＝ ， 所以|a＋b|的最大值為3. 答案：C 6．(2012年洛陽(yáng)統(tǒng)考)若＝－，則sin α＋cos α的值為 (　　) A．－　　　　 B．－　　　　 C.　　　　 D. 解析：依題意，得＝－＝－，所以sin α＋cos α＝，選C. 答案：C 7．在△ABC中，“·＝0”是“△ABC為直角三角形”的 (　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 解析：由·＝0?⊥，故角B為直角，即△ABC

5、為直角三角形；反之若三角形為直角三角形，不一定角B為直角，故“·＝0”是“△ABC為直角三角形”的充分不必要條件．故選A. 答案：A 8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且m＝(b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，m∥n，則cos A＝ (　　) A. B．－ C. D．－ 解析：∵m∥n，∴(b－c)cos A＝acos C. ∴(sin B－sin C)cos A＝sin Acos C， 即sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A ＝sin(A＋C)＝sin B， 易知sin B≠0，∴cos A＝. 答案：C

6、 9．在四邊形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，則四邊形ABCD的面積為 (　　) A. B．2 C. D. 解析：由＝＝(1,1)，知四邊形ABCD為平行四邊形，且||＝||＝. 又＋＝， 知平行四邊形ABCD為菱形，且C＝120°， ∴S四邊形ABCD＝××＝.故選A. 答案：A 10．(2013屆江西省百所重點(diǎn)高中階段診斷)已知函數(shù)y＝ 4sin，的圖象與直線y＝m有三個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3(x1

7、，觀察圖象可知x1，x2關(guān)于直線x＝對(duì)稱，x2，x3關(guān)于直線x＝π對(duì)稱，故x1＋2x2＋x3＝(x1＋x2)＋(x2＋x3)＝2×＋2×π＝π. 答案：A 11．如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，∠xOy＝120°，平面上任意一點(diǎn)P的斜坐標(biāo)是這樣定義的：“若＝x e1＋y e2(其中e1，e2分別是與x，y軸同方向的單位向量)，則點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(x，y)”．那么，在斜坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心，2為半徑的圓的方程為 (　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2－xy＝2 D．x2＋y2－xy＝4 解析：據(jù)題意可知在斜坐標(biāo)系中圓上的點(diǎn)P(x，y)滿足||＝|x e1＋y e

8、2|＝2，即|x e1＋y e2|2＝x2＋y2＋2xy e1·e2＝x2＋y2＋2xycos 120°＝4， 整理可得x2＋y2－xy＝4，即為所求圓的方程．故選D. 答案：D 12．(2012～2013學(xué)年河北省高三教學(xué)質(zhì)檢)函數(shù)　f(x)＝sin(2x＋)，給出下列命題： ①函數(shù)　f(x)在區(qū)間[，]上是減函數(shù)；②直線x＝是函數(shù)　f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸；③函數(shù)　f(x)的圖象可以由函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位得到． 其中正確的是 (　　) A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 解析：∵當(dāng)≤x≤時(shí)，≤2x＋≤， ∴　f(x)在[，]上是減函數(shù)，

9、故①正確． ②∵f()＝sin(＋)＝，故②正確． ③y＝sin 2x向左平移個(gè)單位得y＝sin 2(x＋) ＝cos 2x≠　f(x)，故③不正確．故選B. 答案：B 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．設(shè)向量a，b滿足：|a|＝1，a·b＝，|a＋b|＝2，則|b|＝________. 解析：∵|a＋b|＝2，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝8. 又∵|a|＝1，a·b＝，∴b2＝4，|b|＝2. 答案：2 14．(2011年江蘇)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)的部分圖象如圖所示，則f(0)＝____

10、____. 解析：由圖象知A＝，T＝4(π－)＝π，∴ω＝2， 則f(x)＝sin(2x＋φ)，由2×＋φ＝，得 φ＝，故f(x)＝sin(2x＋) ∴f(0)＝sin＝. 答案： 15．(2012年山東)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)．當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí)，的坐標(biāo)為________． 解析：如圖，由題意知＝OB＝2，∵圓半徑為1， ∴∠BAP＝2，故∠DAP＝2－， ∴DA＝APcos(2－)＝sin 2，DP ＝APsin(2－)＝－cos 2. ∴OC

11、＝2－sin 2，PC＝1－cos 2. ∴＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案：(2－sin 2,1－cos 2) 16．(2012年衡陽(yáng)六校聯(lián)考)給出下列命題： ①存在實(shí)數(shù)x，使得sin x＋cos x＝；②若α，β為第一象限角，且α>β，則tan α>tan β；③函數(shù)y＝sin(－)的最小正周期為5π；④函數(shù)y＝cos(＋)是奇函數(shù)；⑤函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin(2x＋)的圖象． 其中正確命題的序號(hào)是________(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)． 解析：對(duì)于①，因?yàn)閟in x＋cos x＝sin(x＋)∈[－，]，而>，因此不存在實(shí)數(shù)x

12、，使得sin x＋cos x＝，故①不正確；對(duì)于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，則tan α＝tan β，因此②不正確；對(duì)于③，函數(shù)y＝sin(－)的最小正周期是T＝＝5π，因此③正確；對(duì)于④，令f(x)＝cos(＋)，則f(－x)＝cos(－＋)＝cos(－)＝－cos(－＋7π)＝－cos(＋)＝－f(x)，因此④正確；對(duì)于⑤，函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin 2(x＋)＝sin(2x＋)的圖象，因此⑤不正確．綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是③④. 答案：③④ 三、解答題(本大題共6小題，共70分，17題10分，18～22題，每題12分．解答應(yīng)寫出文字說明

13、，證明過程或演算步驟．) 17．(2012年江蘇)在△ABC中，已知·＝3·. (1)求證：tan B＝3tan A； (2)若cos C＝，求A的值． 解：(1)證明：因?yàn)椤ぃ?·，所以AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B，即AC·cos A＝3BC·cos B， 由正弦定理知＝， 從而sin Bcos A＝3sin Acos B， 又因?yàn)?0，cos B>0，所以tan B＝3tan A. (2)因?yàn)閏os C＝，0

14、2， 亦即＝－2， 由(1)得＝－2， 解得tan A＝1或－， 因?yàn)閏os A>0，故tan A＝1，所以A＝. 18．(2013年山東濱州聯(lián)考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c已知a＝1，b＝2，cos C＝ (1)求△ABC的邊長(zhǎng)． (2)求cos(A－C)的值 解：(1)由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋4－2×1×2×＝4 ∵c>0，∴c＝2 (2)sin2C＝1－cos2C＝1－2＝ ∵0

15、，∵a

16、2A＝1－2cos2A　∴cos2A＝. ∵△ABC是銳角三角形，∴cos A＝　∴A＝. (2)∵△ABC是銳角三角形，且A＝，∴0)，函數(shù)f(x)＝m·n的最大值為6. (1)求A； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)

17、在[0，]上的值域． 解：(1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x ＝A＝Asin. 因?yàn)锳>0，由題意知A＝6. (2)由(1)f(x)＝6sin. 將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到 y＝6sin＝6sin的圖象； 再將得到圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝6sin的圖象． 因此g(x)＝6sin. 因?yàn)閤∈，所以4x＋∈. 故g(x)在上的值域?yàn)閇－3,6]． 21．(2012年遼寧錦州5月模擬)向量a＝(2,2)，向量b與向量a的夾角為，且a·b＝－2. (1)求向量b； (2)若t＝(1,0)，且b⊥t，c＝，

18、其中A、B、C是△ABC的內(nèi)角，若△ABC的內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，試求|b＋c|的取值范圍． 解：(1)設(shè)b＝(x，y)，則a·b＝2x＋2y＝－2，且|b|＝＝1＝， ∴解得或 ∴b＝(－1,0)或b＝(0，－1)． (2)∵b⊥t，且t＝(1,0)，∴b＝(0，－1)． ∵A、B、C依次成等差數(shù)列，∴B＝. ∴b＋c＝(cos A,2cos2－1)＝(cos A，cos C)． ∴|b＋c|2＝cos2A＋cos2C ＝1＋(cos 2A＋cos 2C) ＝1＋[cos 2A＋cos(－2A)] ＝1＋(cos 2A－cos 2A－sin 2A) ＝1＋cos

19、(2A＋)． ∵2A＋∈(，)， ∴－1≤cos(2A＋)<， ∴≤|b＋c|2<， ∴≤|b＋c|<. 22．(2012年湖北)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,2cos ωx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈(，1)． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(，0)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，]上的取值范圍． 解：(1)因?yàn)閒(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ. 由直線x＝π是y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，可得sin(2ωπ－)＝±1， 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)． 又ω∈(，1)，k∈Z，所以ω＝. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(，0)，得f()＝0， 即λ＝－2sin(×－)＝－2sin ＝－，即λ＝－. 故f(x)＝2sin(x－)－， 由0≤x≤，有－≤x－≤， 所以－≤sin(x－)≤1， 得－1－≤2sin(x－)－≤2－， 故函數(shù)f(x)在[0，]上的取值范圍為[－1－，2－]．