（廣東專用）2013高考數學總復習第八章第八節(jié) 課時跟蹤訓練 理

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1、課時知能訓練 一、選擇題 1．(2012·湛江調研)以坐標軸為對稱軸，原點為頂點且過圓x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圓心的拋物線方程是(　　) A．y＝3x2或y＝－3x2　　　B．y＝3x2 C．y2＝－9x或y＝3x2 D．y＝－3x2或y2＝9x 【解析】　圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋3)2＝1，故圓心坐標為(1，－3)， 設拋物線方程為y2＝2p1x或x2＝－2p2y， 則(－3)2＝2p1或1＝6p2， ∴2p1＝9或2p2＝， ∴拋物線方程為y2＝9x或x2＝－y， 則y2＝9x或y＝－3x2. 【答案】　D 2．設拋物線y2＝8x上一點P到

2、y軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是(　　) A．4　　　　B．6 C．8　　　　D．12 【解析】　 如圖，拋物線的焦點為F(2,0)，準線為x＝－2，過拋物線上一點P作準線的垂線PE，連結PF，由拋物線的定義知：|PF|＝|PE|＝4＋2＝6. 【答案】　B 3．已知點P在拋物線y2＝4x上，那么點P到點Q(2，－1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為(　　) A．(，－1) B．(，1) C．(1,2) D．(1，－2) 【解析】　 如圖，∵點Q(2，－1)在拋物線的內部，由拋物線的定義，|PF|等于點P到

3、準線x＝－1的距離． 過Q作x＝－1的垂線QH交拋物線于點K，則點K為取最小值時的所求點． 當y＝－1時，由1＝4x得x＝. 所以點P的坐標為(，－1)． 【答案】　A 4．設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝(　　) A．4　　　　B．8　　　　C．8　　　　D．16 【解析】　由題意，直線l的方程為x＝－2，焦點F為(2,0)， 設A點的坐標為(－2，n)，則＝－，解得n＝4， 又PA⊥l，由(4)2＝8x，得x＝6. ∴P(6,4)， ∴|PF|＝＝8. 【答案】　B 5．已知拋物線

4、y2＝2px(p＞0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 【解析】　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為A、B兩點在拋物線上， ∴ ①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)， 又線段AB的中點的縱坐標為2，∴y1＋y2＝4， 又直線的斜率為1，∴＝1，∴2p＝4，p＝2， ∴拋物線的準線方程為x＝－＝－1. 【答案】　B 二、填空題 6．拋物線y2＝－ax的準線方程為x＝－2，則a的值為________． 【解析】　由題

5、意知＝－2，∴a＝－8. 【答案】?。? 7．雙曲線－＝1的左焦點在拋物線y2＝2px的準線上，則p的值為________． 【解析】　雙曲線的左焦點坐標為(－ ，0)，拋物線的準線方程為x＝－， ∴－ ＝－，∴p2＝16， 又p＞0，∴p＝4. 【答案】　4 8．(2012·廣州模擬)若點P到直線y＝－1的距離比它到點(0,3)的距離小2，則點P的軌跡方程是________． 【解析】　由題意可知點P到直線y＝－3的距離等于它到點(0,3)的距離，故點P的軌跡是以點(0,3)為焦點，以y＝－3為準線的拋物線，且p＝6，所以其標準方程為x2＝12y. 【答案】　x2＝12y

6、 三、解答題 圖8－8－1 9．已知如圖8－8－1，拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，A在拋物線上，其橫坐標為4，且位于x軸上方，A到拋物線準線的距離等于5.過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M. (1)求拋物線方程； (2)過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標． 【解】　(1)拋物線y2＝2px(p＞0)的準線方程為x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2. ∴拋物線的標準方程為y2＝4x. (2)由(1)得點A的坐標是(4,4)， 由題意得B(0,4)，M(0,2)， ∵F(1,0)，∴kFA＝. ∵MN⊥FA，∴kMN＝－. 則FA所在直線的方程為y＝

7、(x－1)． MN所在直線的方程為y－2＝－x. 解方程組，得. ∴N(，)． 10．給定拋物線C：y2＝4x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點，O為坐標原點． (1)設l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程； (2)若＝2，求直線l的方程． 【解】　(1)由題意可知，F(1,0)．∵直線l的斜率為1， ∴直線l的方程為y＝x－1， 聯立，消去y得x2－6x＋1＝0 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝6，y1＋y2＝x1＋x2－2＝4， ∴所求圓的圓心坐標為(3,2)，半徑r＝＋1＝4， 所以圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝1

8、6 (2)由題意可知直線l的斜率必存在，設為k，則直線l的方程為y＝k(x－1)． 由得ky2－4y－4k＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 由＝2，得(x1－1，y1)＝2(1－x2，－y2) ∴y1＝－2y2③ 由①②③得k2＝8，k＝±2 ∴直線l的方程為y＝±2(x－1)． 11．(2012·洛陽模擬)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，O為坐標原點，F為拋物線的焦點，直線y＝x與拋物線C相交于不同的兩點O、N，且|ON|＝4. (1)求拋物線C的方程； (2)若直線l過點F交拋物線于不同的兩點A，B，交x軸于點M，且＝a，＝b，對任意的直線l，

9、a＋b是否為定值？若是，求出a＋b的值；否則，說明理由． 【解】　(1)聯立方程得x2－2px＝0，故O(0,0)，N(2p,2p)，∴|ON|＝＝2p， 由2p＝4得p＝2，∴拋物線C的方程為x2＝4y. (2)顯然直線l的斜率一定存在且不等于零，設其方程為y＝kx＋1，則直線l與x軸交點為M(－，0)，記點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－4kx－4＝0， ∴Δ＝(4k)2－(－16)＝16(k2＋1)>0， ∴x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4. 由＝a，得(x1＋，y1)＝a(－x1,1－y1)， ∴a＝＝－，同理可得b＝－， ∴a＋b＝－(＋)＝－(2＋)＝－1， ∴對任意的直線l，a＋b為定值－1.