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1、第6章 典型的排隊(duì)模型分析,有限源 排隊(duì)系統(tǒng),無限源 排隊(duì)系統(tǒng),1個服務(wù)臺,C個服務(wù)臺,1個服務(wù)臺,C個服務(wù)臺,M/M/C/N//FCFS 混合制排隊(duì)系統(tǒng),M/M/1/N//FCFS 混合制排隊(duì)系統(tǒng),M/M/C/m/m/FCFS,M/M/1/m/m/FCFS,M/M/1/1//FCFS 損失制排隊(duì)系統(tǒng),M/M/C/C//FCFS 損失制排隊(duì)系統(tǒng),,,,,,,,,,,M/M/C///FCFS 等待制排隊(duì)系統(tǒng),M/M/1///FCFS 等待制排隊(duì)系統(tǒng),排隊(duì)論模型邏輯框架,,,6.1.1單服務(wù)臺指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng) M/M/1無限源排隊(duì)系統(tǒng),一、最基本的單服務(wù)臺排隊(duì)模型 M/M/1/N//FCFS
2、,6.1 客源無限的排隊(duì)系統(tǒng),,1、系統(tǒng)的意義 顧客按泊松流輸入,平均到達(dá)率為； 服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布,平均服務(wù)率為； 1個服務(wù)臺； 系統(tǒng)容量為N,顧客源無限,排隊(duì)規(guī)則為先到先服務(wù)的混合制排隊(duì)系統(tǒng)。 當(dāng)顧客來到系統(tǒng)時,若系統(tǒng)中的顧客已經(jīng)等于N，則自動離去,另求服務(wù) 。,生滅隨機(jī)過程平穩(wěn)狀態(tài)的涵義,一般來說，要求得系統(tǒng)在任一時刻的任意狀態(tài)出現(xiàn)的概率是很困難的，通常是求當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)【顧客到達(dá)（生）=顧客離開（滅）】后的狀態(tài)分布。 假設(shè)系統(tǒng)處于任一狀態(tài)n，記錄一段時間內(nèi)系統(tǒng)進(jìn)入狀態(tài)n和離開狀態(tài)n的次數(shù)，“進(jìn)入”與“離開”兩種事件發(fā)生的平均概率是相等的。 當(dāng)系統(tǒng)平穩(wěn)后，對任意狀態(tài)n，單位
3、時間內(nèi)進(jìn)入該狀態(tài)的平均次數(shù)和離開該狀態(tài)的平均次數(shù)應(yīng)該相等，即系統(tǒng)在統(tǒng)計平衡下“轉(zhuǎn)入率=轉(zhuǎn)出率”。,2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖 （1）系統(tǒng)狀態(tài) ：系統(tǒng)中的顧客數(shù)。 （2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖：,M/M/1/N//FCFS系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖, 圓圈表示狀態(tài)符號 ，箭頭表示從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移；,,（3）寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度矩陣，進(jìn)而寫出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)條件下的狀態(tài)概率平衡方程（簡稱狀態(tài)概率方程）,狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度矩陣的特點(diǎn)是: 每一行元素之和等于0。,注 意,轉(zhuǎn)入率轉(zhuǎn)出率,,0 1 2 3 N-1 N,,,,,,,,,,,,,,0 1 2 N-1 N,,狀態(tài)概率方程：P=0 （6-1） 其中
4、， P=（P0，P1，P2，P3，，PN）,把狀態(tài)概率方程(6-1)打開,寫成狀態(tài)概率方程組,即可求出基本概率指標(biāo)。(方法1),P=0 第一項(xiàng)：,基本概率指標(biāo)：,,,,繼續(xù)打開，計算整理得：,，1nN （6-2）,代入,得,于是,（6-3）,,（6-4）,則,當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時，對每個狀態(tài)來說，轉(zhuǎn)入率應(yīng)等于轉(zhuǎn)出率。 根據(jù)這個結(jié)果，即可獲得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)條件下的狀態(tài)概率方程，進(jìn)一步即可計算穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的各項(xiàng)運(yùn)行數(shù)量指標(biāo)。 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)為0時，有,所以,得到狀態(tài)概率方程組的第2種方法,當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)n1時，有,當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)n=N時，有,,于是得到簡化形式的穩(wěn)態(tài)概率方程組：,，1nN （6-2）,代入,得,于是，得
5、到P0的表達(dá)式（6-3）和Pn的表達(dá)式（6-4）。,,P0為系統(tǒng)空閑的概率，因此系統(tǒng)不空的概率即服務(wù)臺忙的概率（系統(tǒng)滿的概率 或系統(tǒng)的損失概率 ） P忙=1-P0 （6-5） 平均隊(duì)長（系統(tǒng)中顧客數(shù)的期望值）LS和平均隊(duì)列長Lq：,（6-6）,（6-7）,,,有效到達(dá)率e（有效離去率e ）平均每單位時間進(jìn)入（離去）系統(tǒng)的顧客數(shù)；在穩(wěn)態(tài)情況下兩者相等，因此有：,（6-8）,逗留時間ws和等待時間wq： 李泰勒(Little)證明了在很寬的條件下排隊(duì)系統(tǒng)數(shù)量指標(biāo)之間成立以下的關(guān)系式：,（6-9）,,由平均服務(wù)率的定義可得到每個顧客的平均服務(wù)時間為1/，因此有：,,（6-10）,其它： 由
6、李泰勒公式還可得到： 平均隊(duì)長和平均隊(duì)列長的另一組計算公式：, 有效到達(dá)率的另一種計算公式 e=（1-PN）+0PN (系統(tǒng)不滿時顧客以的速度 進(jìn)入系統(tǒng)） =（1-P0）+0P0 （系統(tǒng)不空時顧客以的速度 離開系統(tǒng)） 系統(tǒng)平均每單位時間損失的顧客數(shù) 損=-e=PN 閑期和忙期,,,從服務(wù)臺閑到下一個顧客來到的平均間隔時間是1/，因此平均閑期長為 T閑=1/ （6-11）,由于服務(wù)臺忙閑間隔出現(xiàn)，故有： 平均忙期長T忙/平均閑期長T閑 =P忙/P閑=(1-P0)/P0，于是 T忙=T閑(1-P0)/P0=1/ (1-P0)/
7、P0 (6-12),例6-1 某汽車加油站有一臺油泵為汽車加油，站內(nèi)可容納4輛汽車，當(dāng)站內(nèi)停滿車時，后來的汽車只能到別處加油。若需加油的汽車按泊松流到達(dá)，平均每小時4輛。每輛車加油所需時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每輛需12min，試求系統(tǒng)有關(guān)運(yùn)行指標(biāo)。 分析為什么是M/M/1/4//FCFS排隊(duì)系統(tǒng)？ 選用適當(dāng)公式計算有關(guān)指標(biāo),=4(輛/小時)，=1/(12/60)=5(輛/小時),于是：,P10.2380 P20.1904 P30.1523 P40.1218,, Ls=P1+2P2+3P3+4P4=1.5629 e=(1-P4)=4(1-0.1218)=3.5128 Ws=Ls/e=1.5
8、629/3.5128=0.4450(h) Wq=Ws-1/=0.245(h) Lq=Wqe=0.86 損=-e=0.4872 T忙=(1-P0)/P0=0.59(h),注 意,基本單服務(wù)臺排隊(duì)模型 M/M/1/N//FCFS,試畫出M/M/1客源無限的損失制排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖，寫出相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度矩陣及相應(yīng)的基本數(shù)量指標(biāo)表達(dá)式。,課堂練習(xí)6-1,,（1）M/M/1損失制系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖和狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度矩陣：,（2）系統(tǒng)在平穩(wěn)時的狀態(tài)概率方程：,,,,（3）M/M/1損失制系統(tǒng)特征量計算公式,(6-13),例6-2 將例6-1中N改為1，則轉(zhuǎn)化為損失制系統(tǒng)，即加油站中只能停放1輛汽車
9、，當(dāng)站中有車正在加油，后來的車輛均離去，另求服務(wù)。試計算相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)。 由題中知=4（輛/h），=5（輛/h），代入公式（6-13）計算得到：,每小時接待的顧客數(shù)為 e =P0+0P1 = =2.2（輛/h）,每小時損失的顧客數(shù)為 損=-e = 4-2.2=1.8（輛/h）,可見,系統(tǒng)中可容納的顧客數(shù)太少時,將導(dǎo)致系統(tǒng)損失太多的顧客。,,二、M/M/1等待制排隊(duì)系統(tǒng),1、系統(tǒng)的意義：顧客按泊松流輸入、平均到達(dá)率為，服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布、平均服務(wù)率為，1個服務(wù)臺，系統(tǒng)容量和顧客源均為無限。當(dāng)顧客來到系統(tǒng)時，若服務(wù)臺忙，則顧客排隊(duì)等待服務(wù)，排隊(duì)規(guī)則為先到先服務(wù)的排隊(duì)系統(tǒng)。,2、系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖：,3、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：,,（6-14）,打開，即得：,4、狀態(tài)概率方程：,&相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)通過進(jìn)一步計算可簡化成下面更簡單的形式：,&在等待制系統(tǒng)中，要求/<1,否則系統(tǒng)將是超負(fù)荷的,不能達(dá)到穩(wěn)態(tài)而無法討論。,,M/M/1等待制系統(tǒng)特征量計算公式,(6-15),,例6-3 將例6-1中N=4改為沒有容量限制，則問題轉(zhuǎn)化為M/M/1等待制系統(tǒng)。 根據(jù)式(6-15)求解相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)得：,,,,,,第十四次作業(yè) P219 習(xí)題6_3)： (1)，(3)，(5)；,
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