2018-2019學年度高中數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關系 2.3.1 直線與平面垂直的判定課件 新人教A版必修2.ppt

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1、2.3直線、平面垂直的判定及其性質 2.3.1直線與平面垂直的判定,課標要求:1.理解線面垂直的定義和判定定理.2.能運用線面垂直的判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題.3.能在簡單的幾何體中計算線面角.,自主學習 新知建構自我整合,導入 將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸).觀察折痕AD與桌面的位置關系.思考如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直.,【情境導學】,想一想 怎樣折疊才能使AD與桌面垂直? (當AD是高時,即ADBD,ADCD時AD與桌面垂直) 導入(教學備用) 你能用3根木棒組成12個直角嗎? 在同一個平面內,用3根木棒

2、可以拼成5個直角、6個直角、8個直角.如下圖:,因此,平面內3根木棒最多拼成8個直角.在空間內會如何呢?,如果把2根木棒十字交叉地放在桌面上,另一根木棒的一端擺在前2根木棒的交叉處并使這根木棒與桌面垂直(如圖(4)),這時拼出的直角也是8個. 如果把擺在桌面上的兩根木棒離開桌面,緊挨著與桌面垂直的木棒向上方平移(如圖(5)).那么,這時我們會發(fā)現(xiàn),12個直角出現(xiàn)了.,想一想 (1)圖(4)與圖(5)中的豎直木棒與由兩根橫向與縱向木棒所確定的平面垂直嗎? (2)如果兩根橫向與縱向木棒不互相垂直,該豎直木棒與它們確定的平面垂直嗎?,答案:(1)垂直. (2)垂直.,1.直線與平面垂直的概念 如果直

3、線l與平面內的 都垂直,就說直線l與平面互相垂直,記作 ,直線l叫做平面的 ,平面叫做直線l的 ,直線與平面垂直時,它們唯一的公共點叫做 .,知識探究,任意一條直線,l,探究1:若直線a平面,直線b,則a與b互相垂直嗎? 答案:垂直.,垂線,垂面,垂足,2.直線與平面垂直的判定定理,兩條相交直線,ab=P,探究2:若直線ab,直線ac,且b,c,直線a平面嗎? 答案:不一定垂直,當b與c相交時,a平面.,3.直線與平面所成的角 (1)如圖,一條直線PA和一個平面相交,但不和這個平面 ,這條直線叫做這個平面的斜線,斜線和平面的交點A叫做 ,過斜線上 . 的一點向平面引

4、垂線PO,過垂足O和 的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影,平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的 ,叫做這條直線和這個平面所成的角. (2)一條直線垂直于平面,稱它們所成的角是 ;一條直線在平面內或一條直線和平面平行,稱它們所成的角是 的角,于是,直線與平面所成的角的范圍是090.,垂直,斜足,斜足以外,斜足A,銳角,直角,0,自我檢測,1.(線面垂直的定義)如果一條直線垂直于一個平面內的:三角形的兩邊;梯形的兩邊;圓的兩條直徑;正六邊形的兩條邊,則能保證該直線與平面垂直的是( ) (A)(B) (C)(D)交 2.(線面垂直的性質)已知直線a平面,直線b平面,則a與b的關系為( )

5、 (A)ab (B)ab (C)a,b相交不垂直(D)a,b異面不垂直,A,B,3.(線面垂直的判定)若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于( ) (A)平面OAB(B)平面OAC (C)平面OBC(D)平面ABC 4.(直線與平面所成的角)若直線a和直線b與平面所成的角相等,則直線a與直線b的位置關系是( ) (A)平行(B)相交 (C)異面(D)不確定,C,D,5.(直線與平面所成的角)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC1與底面ABCD所成角的正弦值為.,,答案:,題型一,線面垂直的概念與定理的理解,【例1】 下列說法中正確的個數(shù)是() 若直線l與平面內一條直線垂直

6、,則l; 若直線l與平面內兩條直線垂直,則l; 若直線l與平面內兩條相交直線垂直,則l; 若直線l與平面內任意一條直線垂直,則l; 若直線l與平面內無數(shù)條直線垂直,則l. (A)1(B)2(C)3(D)4,課堂探究 典例剖析舉一反三,,解析:由直線與平面垂直的判定定理和定義知正確的是,故選B.,誤區(qū)警示,線面垂直的判定定理中,直線垂直于平面內的兩條相交直線,“相交”兩字必不可少,否則,就是換成無數(shù)條直線,這條直線也不一定與平面垂直.,即時訓練1-1:如果一條直線垂直于一個平面內的三角形的兩邊;梯形的兩邊;圓的兩條直徑;正六邊形的兩條邊.則能保證該直線與平面垂直的是.,,解析:三角形兩邊必

7、相交,圓的兩條直徑必相交,梯形的兩邊有可能是平行的一組對邊,正六邊形的兩邊也可能是一組平行對邊.故由線面垂直的判定定理知,能保證該直線與平面垂直的是. 答案:,【備用例1】 下列命題中,正確命題的序號是. 如果直線l與平面內的無數(shù)條直線垂直,那么l;如果直線l與平面內的兩條直線垂直,那么l;若l不垂直于,則在內沒有與l垂直的直線;過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條;若a,b,則ab;若ab,a,則b.,,解析:根據(jù)線面垂直的定義,當直線l與平面內的任意一條直線垂直時,l,如果內的無數(shù)條直線互相平行,l與不一定垂直,故不正確;根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知,如果平面內的兩條直線不相交時,l

8、與不一定垂直,故不正確;當l與不垂直時,l可能與內的無數(shù)條互相平行的直線垂直,故不正確;由于過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.故正確;,顯然正確. 答案:,題型二,直線與平面垂直的判定,【思考】 1.若把定理中“兩條相交直線”改為“兩條直線”,直線與平面一定垂直嗎?,,提示:當這兩條直線平行時,直線可與平面相交但不一定垂直.,2.如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面嗎?,,提示:垂直.,,【例2】 (12分)在三棱錐P-ABC中,H為ABC的垂心,APBC,PCAB,求證: PH平面ABC.,規(guī)范解答:如圖,連接AH,因為H為ABC的垂心, 所以AHBC,2分

9、又APBC,AHAP=A, 所以BC平面AHP,4分 又PH平面AHP, 所以PHBC.6分 同理可證PHAB,8分 又ABBC=B,所以PH平面ABC.12分,,變式探究:在三棱錐P-ABC中,H為ABC的垂心,且PH平面ABC,求證: ABPC,BCAP.,證明:如圖,連接AH,因為H為ABC的垂心, 所以AHBC,又PH平面ABC, 所以PHBC,又PHAH=H, 所以BC平面PAH, 所以BCAP, 同理可證:ABPC.,利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的關鍵是在這個平面內找到兩條相交直線,證明它們都和這條直線垂直.,方法技巧,即時訓練2-1:如圖,四棱錐P-ABCD中,O是底

10、面正方形ABCD 的中心,側棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點.,,解:(1)連接AC,因為點O是底面正方形ABCD的中心, 所以點O是AC的中點,又因為E是PC的中點,所以在PAC中,EO是中位線,所以PAEO. 因為EO平面PAD,PA平面PAD,所以EO平面PAD.,,(2)證明:DE平面PBC.,解:(2)因為PD平面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC, 因為底面ABCD是正方形,有BCDC, 所以BC平面PDC. 而DE平面PDC,所以BCDE. 因為PD=DC,可知PDC是等腰直角三角形, 而DE是斜邊PC的中線, 所以DEPC. 又BC,PC平面PBC,且BCP

11、C=C, 所以DE平面PBC.,【備用例2】 如圖,RtABC所在平面外一點S,且SA=SB=SC.點D為斜邊AC的中點. (1)求證:SD平面ABC;,,證明:(1)如圖,取AB中點E,連接SE,DE, 在RtABC中,D,E分別為AC,AB的中點, 所以DEBC,且DEAB. 在SAB中,因為SA=SB,所以SEAB.又SEDE=E,所以AB平面SDE. 因為SD平面SDE,所以ABSD. 在SAC中,因為SA=SC,D為AC的中點,所以SDAC. 因為SDAC,SDAB,ACAB=A,所以SD平面ABC.,(2)若AB=BC,求證:BD平面SAC.,,證明:(2)因為AB=BC,D為斜邊

12、AC的中點, 所以BDAC.由(1)可知,SD平面ABC. 而BD平面ABC,所以SDBD. 因為SDBD,BDAC,SDAC=D, 所以BD平面SAC.,題型三,直線與平面所成的角,(1)求證:EF平面A1B1BA;,,(1)證明:如圖,連接A1B.在A1BC中,因為E和F分別是BC和A1C的中點, 所以EFBA1.又因為EF平面A1B1BA,所以EF平面A1B1BA.,(2)求證:直線AE平面BCB1;,,(2)證明:因為AB=AC,E為BC的中點,所以AEBC.因為AA1平面ABC,BB1 AA1,所以BB1平面ABC,從而BB1AE.又因為BCBB1=B,所以AE平面BCB1.,,(

13、3)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大小.,求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟: (1)確定斜線與平面的交點(斜足);(2)通過斜線上除斜足以外的某一點作平面的垂線,連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影,則斜線和射影所成的銳角即為所求的角;(3)求解由斜線、垂線、射影構成的直角三角形.,方法技巧,,即時訓練3-1:已知正三棱錐S-ABC的所有棱長都相等,則SA與平面ABC所成角的余弦值為.,答案:,【備用例3】 (2015浙江卷)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90, AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影為BC的中點,D是B1C1的中點. (1)證明:A1D平面A1BC;,,(1)證明:設E為BC的中點,連接A1E,AE.由題意得A1E平面ABC,所以A1EAE. 因為AB=AC,所以AEBC.故AE平面A1BC. 連接DE,由D,E分別為B1C1,BC的中點,得DEB1B且DE=B1B, 從而DEA1A且DE=A1A,所以AA1DE為平行四邊形.于是A1DAE. 又因為AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.,,(2)求直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.,謝謝觀賞！,