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1、
6.7 不等式的綜合問題
鞏固·夯實基礎(chǔ)
一、自主梳理
1.方程與不等式、函數(shù)與不等式、解析幾何與不等式的綜合問題.
2.解決上述問題的關(guān)鍵是找出綜合題的各部分知識點(diǎn)及解法，充分利用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法求解.
二、點(diǎn)擊雙基
1.(理)若＜＜0，則下列不等式中，正確的不等式有( )
①a+b＜ab ②|a|＞|b| ③a＜b ④+＞2
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
解析：∵＜＜0,∴b＜a＜0.
∴故①正確,②③錯誤.
2、 ∵a、b同號且a≠b,∴、均為正.
∴+＞2=2.
故④正確.∴正確的不等式有2個.
答案：B
(文)不等式|1-|>2的解集是…( )
A.{x|-1}
C.{x|x>-1} D.{x|-12,
∴-1>2或-1<-2,
>3或<-1.
∴0ab>ab2
3、 B.ab2>ab>a C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a
解析：特殊值.a=-1,b=-,ab=,ab2=-.故ab>ab2>a.
答案：D
3.設(shè)a、b∈R，給出下列條件：①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a、b中至少有一個數(shù)大于1”的條件是( )
A.②③ B.①②③ C.③④⑤ D.③
解析：a=b=a+b>1,否定①.
a=b=1a+b=2,否定②,④顯然錯.
a=-2,b=
4、-1ab>1,否定⑤.
答案：D
4.若規(guī)定=|ad-bc|,則不等式<0的解集為________.
解析：<0|x-1|<00<|x-1|<104的解集為{x|x<1或x>b}.
(1)求a、b;
(2)解不等式>0(c為常數(shù)).
解：(1
5、)由題知1、b為方程ax2-3x+2=0的兩根，即∴a=1,b=2.
(2)不等式等價于(x-c)(x-2)>0,當(dāng)c>2時解集為{x|x>c或x<2};當(dāng)c<2時解集為{x|x>2或xb>c,故1>->c-3
6、方程f(x)+1=0有實根，即x2+2bx+c+1=0有實根.
故Δ=4b2-4(c+1)≥0,即(c+1)2-4(c+1)≥0c≥3或c≤-1.
又1>b>c,得-30.
∴f(m-4)的符號為正.
【例3】 已知拋物線y=ax2-1上存在關(guān)于直線l:x+y=0成
7、軸對稱的兩點(diǎn)，試求實數(shù)a的取值范圍.
解法一：設(shè)拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩相異點(diǎn)為P(x1，y1)、Q(x2,y2),線段PQ的中點(diǎn)為M(x0,y0),設(shè)直線PQ的方程為y=x+b,由于P、Q兩點(diǎn)存在，所以方程組有兩組不同的實數(shù)解，即得方程ax2-x-(1+b)=0. ①
判別式Δ=1+4a(1+b)＞0. ②
由①得x0==,y0=x0+b=+b.
∵M(jìn)∈l,∴0=x0+y0=++b,即b=-,代入②解得a＞.
解法二：設(shè)同解法一，由題意得
將①②代入③④，并注意到a≠0,x
8、1-x2≠0,
得
由二元均值不等式易得
2(x12+x22)＞(x1+x2)2(x1≠x2).
將⑤⑥代入上式得
2(-+)＞()2,解得a＞.
解法三：同解法二，由①-②，得
y1-y2=a(x1+x2)(x1-x2).
∵x1-x2≠0,
∴a(x1+x2)==1.
∴x0==.
∵M(jìn)(x0,y0)∈l,
∴y0+x0=0,即y0=-x0=-,從而PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（,-）.
∵M(jìn)在拋物線內(nèi)部，
∴a()2-(-)-1＜0.
解得a＞.(舍去a＜0，為什么?)
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解法三中為何舍去a<0?
這是因為a<0,中點(diǎn)M(x0,y0),x0=<0,y0=->0.
又∵a<0,y=ax2-1<0,矛盾,∴a<0舍去.
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