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1、9.2兩條直線的位置關(guān)系,知識梳理,雙基自測,2,3,1,1.兩條直線的位置關(guān)系 平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系包括三種情況. (1)兩條直線平行 對于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1l2k1=k2,且b1b2. 對于直線l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, l1l2A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10(或A1C2-A2C10).,平行、相交、重合,知識梳理,雙基自測,2,3,1,(2)兩條直線垂直 對于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1l2k1k2=-1. 對于直線l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2
2、x+B2y+C2=0, l1l2.,A1A2+B1B2=0,知識梳理,雙基自測,2,3,1,2.兩條直線的交點,唯一解,無解,無窮多解,知識梳理,雙基自測,2,3,1,3.三種距離,2,知識梳理,雙基自測,3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“”. (1)如果直線l1與直線l2互相平行,那么這兩條直線的斜率相等. () (2)如果直線l1與直線l2互相垂直,那么它們的斜率之積一定等于-1.() (4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.() (5)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2為常數(shù))
3、,若直線l1l2,則A1A2+B1B2=0.(),答案,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,2.過點(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是() A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,3.已知設(shè)a為實數(shù),直線l1:ax+y=1,l2:x+ay=2a,則“a=-1”是“l(fā)1l2”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,4.直線l1:x-y=0與l2:2x-3y+1=0的交點在直線mx+3
4、y+5=0上,則m的值為() A.3B.5C.-5D.-8,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,5.與直線4x+3y-5=0平行,且到它的距離等于3的直線方程是.,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,自測點評 1.對于直線l1與直線l2相互平行(垂直)的條件一定要注意其適用范圍. 2.求解點到直線的距離和兩平行線間的距離時,注意直線方程要用一般式.,考點1,考點2,考點3,考點4,例1已知直線l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行; (2)當l1l2時,求a的值. 思考解含參數(shù)的直線方程有關(guān)問題時如何分類
5、討論?,考點1,考點2,考點3,考點4,解 (1)(方法一)當a=1時,直線l1的方程為x+2y+6=0,直線l2的方程為x=0,l1不平行于l2; 當a=0時,直線l1的方程為y=-3,直線l2的方程為x-y-1=0,l1不平行于l2; 綜上可知,當a=-1時,l1l2,否則l1與l2不平行.,考點1,考點2,考點3,考點4,綜上可知,當a=-1時,l1l2,否則l1與l2不平行. (方法二)由A1B2-A2B1=0, 得a(a-1)-12=0; 由A1C2-A2C10,得a(a2-1)-160. 故當a=-1時,l1l2,否則l1與l2不平行.,考點1,考點2,考點3,考點4,(2)(方法
6、一)當a=1時,直線l1的方程為x+2y+6=0,直線l2的方程為x=0,l1與l2不垂直,故a=1不成立. 當a=0時,直線l1的方程為y=-3,直線l2的方程為x-y-1=0,l1不垂直于l2.,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得1.當含參數(shù)的直線方程為一般式時,若要表示出直線的斜率,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,還要考慮到斜率不存在的特殊情況,同時還要注意x,y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件. 2.在判斷兩條直線的平行、垂直時,也可直接利用直線方程的系數(shù)之間的關(guān)系得出結(jié)論.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓練1(1)已知過點A(-2,m)和點B(m,4)的直線為l1,直線l
7、2為2x+y-1=0,直線l3為x+ny+1=0.若l1l2,l2l3,則實數(shù)m+n的值為. (2)已知兩條直線l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求滿足下列條件的a,b的值. l1l2,且l1過點(-3,-1); l1l2,且坐標原點到這兩條直線的距離相等.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,(2)解 由已知可得l2的斜率存在,故k2=1-a. 若k2=0,則1-a=0,即a=1. l1l2,直線l1的斜率k1必不存在,即b=0. 又l1過點(-3,-1), 此種情況不存在,k20, 即k1,k2都存在. 又l1過點(-3,-1), -3a
8、+b+4=0.(*) 聯(lián)立(*)(*),解得a=2,b=2.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,例2求經(jīng)過兩條直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交點P,且與直線l3:3x-4y+5=0垂直的直線l的方程. 思考求兩條直線的交點坐標的一般思路是什么?,考點1,考點2,考點3,考點4,法二:直線l過直線l1和l2的交點, 可設(shè)直線l的方程為x-2y+4+(x+y-2)=0,即(1+)x+(-2)y+4-2=0. l與l3垂直,3(1+)+(-4)(-2)=0, =11,直線l的方程為12x+9y-18=0, 即4x+3y-6=0.,考點1,考點2,考點
9、3,考點4,解題心得1.求兩條直線的交點坐標,一般思路就是解由這兩條直線方程組成的方程組,以方程組的解為坐標的點即為交點. 2.常見的三大直線系方程: (1)與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(mR,且mC). (2)與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+m=0(mR). (3)過直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R),但不包括l2.,考點1,考點2,考點3,考點4,對點訓練2(1)若三條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一點
10、,則b=() (2)過兩條直線2x-y-5=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y-1=0平行的直線方程為.,答案: ( 1)B(2)3x+y=0,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,例3若P,Q分別為直線3x+4y-12=0與6x+8y+5=0上的任意一點,則|PQ|的最小值為(),思考利用距離公式應(yīng)注意的問題有哪些?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得利用距離公式應(yīng)注意:(1)兩平行線間的距離公式要求兩條直線方程中x,y的系數(shù)相等;(2)點P(x0,y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|,到直線y=b的距離d=|y0-b|.,考點1,考點2
11、,考點3,考點4,對點訓練3(1)圓x2+y2-2x-4y+3=0的圓心到直線x-ay+1=0的距離為2,則a=. (2)兩條平行直線5x+12y-10=0和mx+6y+2=0的距離是.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考向一直線關(guān)于點的對稱問題 例4求直線y=-4x+1關(guān)于點M(2,3)對稱的直線方程. 思考有關(guān)直線關(guān)于點的對稱問題該如何解?,解:方法一:兩條直線關(guān)于點M對稱,則其中一條直線上任意一點關(guān)于M的對稱點在另一條直線上,利用中點坐標公式可由兩個對稱點中的一點的坐標表示另一個點的坐標. 設(shè)P(x,y)是待求直線上任意一點,Q(x0,y0)為點P關(guān)于點M(2,3)的對稱點,
12、則點Q在直線y=-4x+1上,代入y0=-4x0+1中,得4x+y-21=0.,考點1,考點2,考點3,考點4,方法二:由中心對稱定義可知,若兩條直線關(guān)于點M對稱,則它們是一對與定點M距離相等的直線,利用兩平行直線斜率相等及點到直線的距離公式即可求出所求直線方程. 將已知直線方程y=-4x+1化為4x+y-1=0. 設(shè)所求直線方程為4x+y+c=0,整理,得c=-21或c=-1(舍去). 故所求直線方程為4x+y-21=0.,考點1,考點2,考點3,考點4,考向二點關(guān)于直線的對稱問題 例5已知直線l:2x-3y+1=0,點A(-1,-2),則點A關(guān)于直線l的對稱點A的坐標為. 思考有關(guān)點關(guān)于直
13、線的對稱問題該如何解?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考向三直線關(guān)于直線的對稱問題 例6已知直線l:2x-3y+1=0,求直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l的對稱直線m的方程. 思考有關(guān)直線關(guān)于直線的對稱問題該如何解?,考點1,考點2,考點3,考點4,解 在直線m上任取一點,如M(2,0),則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M必在直線m上. 設(shè)對稱點M(a,b),則 又m經(jīng)過點N(4,3),所以由兩點式得直線m的方程為9x-46y+102=0.,考點1,考點2,考點3,考點4,解題心得1.點關(guān)于點的對稱:求點P關(guān)于點M(a,b)的對稱點Q的問題,主要依據(jù)M是線段PQ的中點,即xP
14、+xQ=2a,yP+yQ=2b. 2.直線關(guān)于點的對稱:求直線l關(guān)于點M(m,n)的對稱直線l的問題,主要依據(jù)l上的任一點T(x,y)關(guān)于M(m,n)的對稱點T(2m-x,2n-y)必在l上. 3.點關(guān)于直線的對稱:求已知點A(m,n)關(guān)于已知直線l:y=kx+b的對稱點A(x0,y0)的坐標,一般方法是依據(jù)l是線段AA的垂直平分線,列出關(guān)于x0,y0的方程組,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程. 4.直線關(guān)于直線的對稱:此類問題一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決,有兩種情況:一是已知直線與對稱軸相交;二是已知直線與對稱軸平行.,考點1,考點2,考點3,考點4,(2)在等腰直角三角形ABC中
15、,AB=AC=4,點P是邊AB上異于A,B的一點.光線從點P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點P(如圖).若光線QR經(jīng)過ABC的重心,則AP等于. (3)光線沿直線l1:x-2y+5=0射入,遇直線l:3x-2y+7=0后反射,求反射光線所在的直線方程.,對點訓練4(1)直線x-2y+1=0關(guān)于直線x=1對稱的直線方程是() A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0,D,考點1,考點2,考點3,考點4,解析:(1)設(shè)所求直線上任一點(x,y),則它關(guān)于直線x=1的對稱點(2-x,y)在直線x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化簡得x+2y-3=0
16、. (2)以AB,AC所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0),B(4,0),C(0,4),考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,考點1,考點2,考點3,考點4,1.對于兩條直線的位置關(guān)系的判斷或求解: (1)若直線斜率均存在且不重合,則一定有:l1l2k1=k2. (2)若直線斜率均存在,則一定有:l1l2k1k2=-1. 2.中心對稱問題 (1)點關(guān)于點的對稱一般用中點坐標公式解決. (2)直線關(guān)于點的對稱,可以在已知直線上任取兩點,利用中點坐標公式先求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點的坐標,再根據(jù)這兩點確定直線的方程;也可以先求出一個對稱點
17、,再利用兩對稱直線平行關(guān)系,由點斜式得到所求直線即可.,考點1,考點2,考點3,考點4,3.軸對稱問題 (1)點關(guān)于直線的對稱 若兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0對稱,一般,可得到點P1關(guān)于直線l的對稱點P2的坐標(x2,y2)(其中B0,x1x2). (2)直線關(guān)于直線的對稱,若兩直線平行,則可用距離公式解決;若兩直線不平行,則轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題.,考點1,考點2,考點3,考點4,1.運用兩平行直線間的距離公式時,一定要統(tǒng)一兩個方程中x,y的系數(shù),還要清楚該公式其實是通過點到直線的距離公式推導而來的. 2.討論直線的位置關(guān)系涉及含參數(shù)直線方程時
18、,一定不要遺漏斜率不存在、斜率為0等特殊情形. 3.“l(fā)1l2A1A2+B1B2=0”適用于任意兩條互相垂直的直線.,思想方法轉(zhuǎn)化思想在對稱問題中的應(yīng)用 1.若在直線l上找一點P,使點P到兩定點A,B的距離之和最小,則要看A,B兩點相對直線l的位置.若A,B在直線l的異側(cè),則直接連接AB,AB與直線l的交點即為所求;若A,B在直線l的同側(cè),則需要找出A或B中一個點關(guān)于直線l的對稱點,然后連接另一點與對稱點,連線與直線l的交點即為所求. 2.若在直線l上找一點使到兩定點A,B的距離之差最大時,則與上面和最小問題正好相反.若A,B在直線l的異側(cè),則需要利用對稱轉(zhuǎn)化;若A,B在直線同側(cè),則A,B兩點所在直線與l的交點即是所求.,典例已知直線l:x-2y+8=0和兩點A(2,0),B(-2,-4). (1)在直線l上求一點P,使|PA|+|PB|最小; (2)在直線l上求一點P,使|PB|-|PA|最大.,(2)A,B兩點在直線l的同側(cè),P是直線l上的一點, 則|PB|-|PA|AB|,當且僅當A,B,P三點共線時,|PB|-|PA|取得最大值|AB|,點P即是直線AB與直線l的交點,又直線AB的方程為y=x-2, 故所求的點P的坐標為(12,10).,
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