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1、高考大題專項三高考中的數列,從近五年高考試題分析來看,高考數列解答題主要題型有:等差、等比數列的綜合問題;證明一個數列為等差或等比數列;求數列的通項及非等差、等比數列的前n項和;證明數列型不等式.命題規(guī)律是解答題每兩年出現一次,命題特點是試題題型規(guī)范、方法可循、難度穩(wěn)定在中檔.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一等差、等比數列的綜合問題 例1(2018天津,文18)設an是等差數列,其前n項和為Sn(nN+);bn是等比數列,公比大于0,其前n項和為Tn(nN+).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求Sn和Tn; (2)若Sn+(T1+T2++Tn
2、)=an+4bn,求正整數n的值.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,解題心得1.對于等差、等比數列,求其通項及求前n項的和時,只需利用等差數列或等比數列的通項公式及求和公式求解即可. 2.有些數列可以通過變形、整理,把它轉化為等差數列或等比數列,進而利用等差數列或等比數列的通項公式或求和公式解決問題.,題型一,題型二,題型三,題型四,對點訓練1(2018北京順義一模,16)已知an是等差數列,bn是單調遞增的等比數列,且a2=b2=3,b1+b3=10,b1b3=a5. (1)求an的通項公式; (2)設 求數列cn的前n項和.,題型一,題型二,題型
3、三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型二證明數列為等差或等比數列 例2已知數列an,其前n項和為 (1)求a1,a2; (2)求數列an的通項公式,并證明數列an是等差數列; (3)如果數列bn滿足an=log2bn,試證明數列bn是等比數列,并求其前n項和Tn.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,對點訓練2設Sn為等比數列an的前n項和,已知S2=2,S3=-6. (1)求an的通項公式; (2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數列.,題型一,題型二,題型三,題型四,例3(2018衡水中學押題三,17)設
4、Sn為數列an的前n項和,且a1=1, nan+1=(n+2)Sn+n(n+1),nN+. (1)證明:數列 為等比數列; (2)求Tn=S1+S2++Sn.,題型一,題型二,題型三,題型四,(1)證明 因為an+1=Sn+1-Sn,所以n(Sn+1-Sn)=(n+2)Sn+n(n+1), 即nSn+1=2(n+1)Sn+n(n+1),,Sn=n2n-n, 故Tn=(12+222++n2n)-(1+2++n). 設M=12+222++n2n,則2M=122+223++n2n+1, 所以-M=2+22++2n-n2n+1=2n+1-2-n2n+1, 所以M=(n-1)2n+1+2,,題型一
5、,題型二,題型三,題型四,解題心得對已知數列an與Sn的關系,證明an或Sn為等差或等比數列的問題,解題思路就是依據an與Sn的關系消元,可以利用an=Sn-Sn-1消an,也可由an與Sn的關系遞推出n為n+1時的關系式,將兩關系式相減后,進行化簡、整理,最終化歸為用定義法證明.,題型一,題型二,題型三,題型四,對點訓練3設數列an的前n項和為Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3 (nN+),其中m為常數,且m-3. (1)求證:an是等比數列;,證明 (1)由(3-m)Sn+2man=m+3, 得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3, 兩式相減,得(3+m)an+1=2man.,a
6、n是等比數列.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型三非等差、等比數列的求和問題 例4已知數列an的前n項和Sn=3n2+8n,bn是等差數列,且an=bn+bn+1. (1)求數列bn的通項公式;,解 (1)由題意知當n2時,an=Sn-Sn-1=6n+5, 當n=1時,a1=S1=11,符合上式. 所以an=6n+5. 設數列bn的公差為d.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,解題心得錯位相減法:如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的,那么這個數列的前n項和即可用此法來求,即和式兩邊同乘以等比數列bn
7、的公比,然后作差求解.,題型一,題型二,題型三,題型四,對點訓練4(2018湖南長郡中學四模,17)等差數列an的前n項和為Sn,數列bn是等比數列,滿足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3. (1)求數列an和bn的通項公式; (2)令cn=anbn,設數列cn的前n項和為Tn,求Tn.,題型一,題型二,題型三,題型四,解 (1)設數列an的公差為d,數列bn的公比為q,,所以an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1. (2)由(1)可知cn=(2n+1)2n-1, Tn=320+521+722++(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1, 2Tn=321+52
8、2+723++(2n-1)2n-1+(2n+1)2n, -得-Tn=3+221+222++22n-1-(2n+1)2n =1+2+22++2n-(2n+1)2n =2n+1-1-(2n+1)2n =(1-2n)2n-1, Tn=(2n-1)2n+1.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,解題心得裂項相消法是把數列的通項拆成兩項之差,在求和時中間的一些項可以相互抵消,從而求得其和.利用裂項相消法求和時,要注意抵消后所剩余的項是前后對稱的.,題型一,題型二,題型三,題型四,對點訓練5(2017全國3,文17)設數列an滿足a1+3a2++(2n-1)an =2n. (1
9、)求an的通項公式; (2)求數列 的前n項和.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型四數列中的存在性問題 例6(2018河北衡水中學九模,17)已知Sn是等比數列an的前n項和,S4,S2,S3成等差數列,且a2+a3+a4=-18. (1)求數列an的通項公式; (2)是否存在正整數n,使得Sn2 017?若存在,求出符合條件的所有n的集合;若不存在,請說明理由.,題型一,題型二,題型三,題型四,解 (1)設等比數列an的公比為q,則a10,q0.,若存在n,使得Sn2 017,則1-(-2)n2 017,即(-2)n-2 016. 當n為偶數時,(-2)n0,上式不成立; 當n為奇
10、數時,(-2)n=-2n-2 016,即2n2 016,則n11. 綜上,存在符合條件的正整數n, 且n的集合為n|n=2k+1,kN,k5.,題型一,題型二,題型三,題型四,解題心得求解數列中的存在性問題,先假設所探求對象存在或結論成立,以此假設為前提條件進行運算或邏輯推理,若由此推出矛盾,則假設不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的結果.,題型一,題型二,題型三,題型四,對點訓練6已知數列an的前n項和Sn=1+an,其中0. (1)證明an是等比數列,并求其通項公式; (2)若 ,求.,,5.數列與不等式綜合問題 (1)數列不等式的證明要把數列的求和與放縮法結合起來,靈活使用放縮法.放縮后的式子越接近放縮前的式子,即放縮程度越小,保留的項就越少,運算就越簡單. (2)證明數列不等式也經常轉化為數列和的最值問題,同時要注意比較法、放縮法、基本不等式的應用.,
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