2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識(shí)點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

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1、 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 微分學(xué)中值定理 ?? 在給出微分學(xué)中值定理的數(shù)學(xué)定義之前，我們先從幾何的角度看一個(gè)問(wèn)題，如下： ?? 設(shè)有連續(xù)函數(shù)，a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(diǎn)(a＜b)，假定此函數(shù)在(a,b)處處可導(dǎo)，也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到， ??????????????????????????? ?? 差商就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動(dòng)，那么至少有一次機(jī)會(huì)達(dá)到離割線最遠(yuǎn)的一點(diǎn)P(x=c)處成為曲線的切線，而曲線的斜率為，由于切線與割線是平行的，因此 ?????????????????????????? 成立。

2、?? 注：這個(gè)結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理，也稱為拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 ?? 如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使 ????????????????????????? 成立。 ?? 這個(gè)定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。描述如下： ?? 若在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。 ?? 注：這個(gè)定理是羅爾在17世紀(jì)初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來(lái)的。 ?? 注：在此我們對(duì)這兩個(gè)定理不加以證明，若有什么疑問(wèn)，請(qǐng)參考相關(guān)書籍 ?? 下面我們?cè)趯W(xué)習(xí)

3、一條通過(guò)拉格朗日中值定理推廣得來(lái)的定理——柯西中值定理 柯西中值定理 ?? 如果函數(shù)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且≠0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。 ?? 例題：證明方程在0與1之間至少有一個(gè)實(shí)根 ??? 證明：不難發(fā)現(xiàn)方程左端是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ???????? 函數(shù)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理 ???????? 可知，在0與1之間至少有一點(diǎn)c，使，即 ???????? 也就是：方程在0與1之間至少有一個(gè)實(shí)根 未定式問(wèn)題 　 ?? 問(wèn)題：什么樣的式子稱作未定式呢？ ?? 答案：對(duì)于函數(shù),來(lái)說(shuō)，當(dāng)x→a(或x→

4、∞)時(shí)，函數(shù),都趨于零或無(wú)窮大 ????? 則極限可能存在，也可能不存在，我們就把式子稱為未定式。分別記為型 ?? 我們?nèi)菀字溃瑢?duì)于未定式的極限求法，是不能應(yīng)用"商的極限等于極限的商"這個(gè)法則來(lái)求解的，那么我們?cè)撊绾吻筮@類問(wèn)題的極限呢？ ?? 下面我們來(lái)學(xué)習(xí)羅彼塔(L'Hospital)法則，它就是這個(gè)問(wèn)題的答案 ?? 注：它是根據(jù)柯西中值定理推出來(lái)的。 羅彼塔(L'Hospital)法則 ?? 當(dāng)x→a(或x→∞)時(shí)，函數(shù),都趨于零或無(wú)窮大，在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)│x│＞N)時(shí)，與都存在，≠0，且存在 ???? 則：= ?? 這種通過(guò)分子分母求導(dǎo)再來(lái)求極限來(lái)確定未定式

5、的方法，就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則 ?? 注：它是以前求極限的法則的補(bǔ)充，以前利用法則不好求的極限，可利用此法則求解。 ?? 例題：求 ?? 解答：容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的，因?yàn)樗俏炊ㄊ街械男颓蠼鈫?wèn)題，因此我們就可以利用上面所學(xué)的法則了。 ????????? ?? 例題：求 ?? 解答：此題為未定式中的型求解問(wèn)題，利用羅彼塔法則來(lái)求解 ????????? ? 另外，若遇到 、、 、 、 等型，通常是轉(zhuǎn)化為型后，在利用法則求解。 ?? 例題：求 ?? 解答：此題利用以前所學(xué)的法則是不好求解的，它為型，故可先將其轉(zhuǎn)化為型后在求解， ?

6、????????? ?? 注：羅彼塔法則只是說(shuō)明：對(duì)未定式來(lái)說(shuō)，當(dāng)存在，則存在且二者的極限相同；而并不是不存在時(shí)，也不存在，此時(shí)只是說(shuō)明了羅彼塔法則存在的條件破列。 函數(shù)單調(diào)性的判定法 　 ? 函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性，怎樣才能判斷函數(shù)的增減性呢？ ? 我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減)，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正(或負(fù)),也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負(fù)值).因此我們可通過(guò)判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判定函數(shù)的增減性. 判定方法： ? 設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo). ?? a)：如果在(a,b)內(nèi)＞0，那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)增加；

7、 ?? b)：如果在(a,b)內(nèi)＜0，那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)減少. ?? 例題：確定函數(shù)的增減區(qū)間. ?? 解答：容易確定此函數(shù)的定義域?yàn)?－∞,＋∞) ???????? 其導(dǎo)數(shù)為：，因此可以判出： ???????? 當(dāng)x＞0時(shí)，＞0，故它的單調(diào)增區(qū)間為(0,＋∞)； ???????? 當(dāng)x＜0時(shí)，＜0，故它的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)； 注：此判定方法若反過(guò)來(lái)講，則是不正確的。 函數(shù)的極值及其求法 ?? ? 在學(xué)習(xí)函數(shù)的極值之前，我們先來(lái)看一例子： ? 設(shè)有函數(shù)，容易知道點(diǎn)x=1及x=2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，又可知在點(diǎn)x=1左側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)增加的，在點(diǎn)x=1

8、右側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)減小的.因此存在著點(diǎn)x=1的一個(gè)鄰域,對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi),任何點(diǎn)x(x=1除外)，＜均成立，點(diǎn)x=2也有類似的情況(在此不多說(shuō)),為什么這些點(diǎn)有這些性質(zhì)呢？ ? 事實(shí)上，這就是我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——函數(shù)的極值， 函數(shù)極值的定義 ? 設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)一點(diǎn). ? 若存在著x0點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x(x0點(diǎn)除外)，＜均成立， ??? 則說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極大值； ? 若存在著x0點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x(x0點(diǎn)除外)，＞均成立， ??? 則說(shuō)是函數(shù)的一個(gè)極小值. ? 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)

9、取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。 ? 我們知道了函數(shù)極值的定義了，怎樣求函數(shù)的極值呢？ ? 學(xué)習(xí)這個(gè)問(wèn)題之前，我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)一個(gè)概念——駐點(diǎn) ? 凡是使的x點(diǎn)，稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。 ? 判斷極值點(diǎn)存在的方法有兩種：如下 方法一： ? 設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)的鄰域可導(dǎo)，且. ? 情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時(shí)，＞0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時(shí)，＜0， ?????????? 則函數(shù)在x0點(diǎn)取極大值。 ? 情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時(shí)，＜0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時(shí)，＞0， ?????????? 則函數(shù)在x0點(diǎn)取極小值。 ? 注：此判定方法也適用于導(dǎo)數(shù)在x0點(diǎn)不存在的情況。 ? 用方法一求極值的一

10、般步驟是： ???? a)：求； ???? b)：求的全部的解——駐點(diǎn)； ???? c)：判斷在駐點(diǎn)兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。 ? 例題：求極值點(diǎn) ?? 解答：先求導(dǎo)數(shù) ?????? 再求出駐點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，x=-2、1、-4/5 ?????? 判定函數(shù)的極值，如下圖所示 ???????????????? 方法二： ? 設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)具有二階導(dǎo)數(shù)，且時(shí). ?? 則：a)：當(dāng)＜0，函數(shù)在x0點(diǎn)取極大值； ?????? b)：當(dāng)＞0，函數(shù)在x0點(diǎn)取極小值； ?????? c)：當(dāng)=0，其情形不一定，可由方法一來(lái)判定. ?? 例題：我們?nèi)砸岳?為例，以比較這兩種方

11、法的區(qū)別。 ??? 解答：上面我們已求出了此函數(shù)的駐點(diǎn)，下面我們?cè)賮?lái)求它的二階導(dǎo)數(shù)。 ?????? ?????? ，故此時(shí)的情形不確定，我們可由方法一來(lái)判定； ?????? ＜0，故此點(diǎn)為極大值點(diǎn)； ?????? ＞0，故此點(diǎn)為極小值點(diǎn)。 函數(shù)的最大值、最小值及其應(yīng)用 ?? 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常會(huì)遇到這樣一類問(wèn)題：在一定條件下，怎樣使"產(chǎn)品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。 ?? 這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值、最小值的問(wèn)題。 ?? 怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢？前面我們已經(jīng)知道了，函數(shù)的極值是局部的。要求在[a,b]上的最大值、最小值時(shí)，

12、可求出開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)全部的極值點(diǎn)，加上端點(diǎn)的值，從中取得最大值、最小值即為所求。 ?? 例題：求函數(shù)，在區(qū)間[-3，3/2]的最大值、最小值。 ?? 解答：在此區(qū)間處處可導(dǎo)， ??????? 先來(lái)求函數(shù)的極值，故x=±1， ??????? 再來(lái)比較端點(diǎn)與極值點(diǎn)的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。 ??????? 因?yàn)?，，? ??????? 故函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為。 ?? 例題：圓柱形罐頭，高度H與半徑R應(yīng)怎樣配，使同樣容積下材料最省？ ?? 解答：由題意可知：為一常數(shù)， ??????? 面積 ??????? 故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。 ???

13、???? ??????? ??????? 故：時(shí)，用料最省。 曲線的凹向與拐點(diǎn) 　 ? 通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道由一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，但是還不能進(jìn)一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解曲線的凹性。 定義： ? 對(duì)區(qū)間I的曲線作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間I下凹，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I上凹。 曲線凹向的判定定理 ? 定理一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，它對(duì)應(yīng)曲線是向上凹(或向下凹)的充分必要條件是： ?????????? 導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。 ? 定理二：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)

14、，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；那末： ?????????? 若在(a,b)內(nèi)，＞0，則在[a,b]對(duì)應(yīng)的曲線是下凹的； ?????????? 若在(a,b)內(nèi)，＜0，則在[a,b]對(duì)應(yīng)的曲線是上凹的； ? 例題：判斷函數(shù)的凹向 ?? 解答：我們根據(jù)定理二來(lái)判定。 ?????? 因?yàn)?，所以在函?shù)的定義域(0,+∞)內(nèi)，＜0， ?????? 故函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線時(shí)下凹的。 拐點(diǎn)的定義 ? 連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)稱為此曲線上的拐點(diǎn)。 拐定的判定方法 ? 如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來(lái)判定的拐點(diǎn)。 ????? (1)：求； ????? (2)：令=0，解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實(shí)根； ????? (3)：對(duì)于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根x0，檢查在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，若符號(hào)相反，則此點(diǎn)是拐點(diǎn)，若相同，則不是拐點(diǎn)。 ? 例題：求曲線的拐點(diǎn)。 ?? 解答：由， ??????? 令=0，得x=0，2/3 ??????? 判斷在0，2/3左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，可知此兩點(diǎn)皆是曲線的拐點(diǎn)。 - 9 -