2012高考數(shù)學(xué)熱點集中營 熱點21 函數(shù)大題 新課標

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1、 【兩年真題重溫】 【2011新課標全國理，21】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為． (Ⅰ) 求，的值； (Ⅱ) 如果當，且時，，求的取值范圍． 故當時，，可得，與題設(shè)矛盾． （iii）設(shè)，此時，而，故當時，，得，與題設(shè)矛盾．綜合得，的取值范圍為． 【評注】本題的困難是第二問的不等式問題，通過作差f(x)－＝＋－－后，通過適當?shù)淖儞Q把其變換為，其目的就是為了分01故:當時，，可得； （I）時，，. 當時，；當時，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)遞增. 【命題意圖猜想】 從近幾年的高考試題來看，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題已成為炙手可熱的考點，既有小題，也有

2、解答題，小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，解答題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，或方程、不等式的綜合應(yīng)用．預(yù)測2012年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值為主要考向． 【回歸課本整合】 導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在處附近有定義，當自變量在處有增量時，則函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果時，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即. 注意：在定義式中，設(shè)，則，當趨近于時，趨近于，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫成 . 6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點的對應(yīng)點處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點x處也有導(dǎo)數(shù)，且 或 7.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

3、 函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù),該區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間；若，那么函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù)，該區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間. 2.利用導(dǎo)數(shù)研究多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟: 求;確定在內(nèi)符號; 若在上恒成立，則在上是增函數(shù)；若在上恒成立，則在上是減函數(shù) 注意：在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值； 函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的． 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件． 函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不

4、止一個，也可能沒有一個. 10.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟: 由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求在上的最大值與最小值的步驟如下： 求在內(nèi)的極值； 將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值p 【方法技巧提煉】 y－y=f,再根據(jù)題意求出切點. 例1 已知曲線C：，則經(jīng)過點的曲線C的切線方程是 . 解析：設(shè)經(jīng)過點P（1，2）的直線與曲線C相切于點，則由， 得在點處的斜率， 有在點處的切線的方程為. 又因為點與點P（1，2）均在曲線C上， 有，消去得，

5、解得或，于是或， 所以所求切線方程為或. 點評：此題常見的錯解：由，得， 所以所求的切線方程為，即. 錯因是此處所求的切線只說經(jīng)過P點，而沒說P點一定是切點，于是切線的斜率與不一定相等.比如（如圖）當時，正弦曲線在點P處的切線只有一條：；而經(jīng)過點P的切線卻有兩條：與. 【名師點評】　本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值及單調(diào)性問題，考生失誤在于：一是求導(dǎo)后不會因式分解成積的形式，二是由(*)式確定a的范圍不會或忽略分類討論． 3.利用導(dǎo)數(shù)，如何解決函數(shù)與不等式大題 在高考題的大題中，每年都要設(shè)計一道函數(shù)大題. 在函數(shù)的解答題中有一類是研究不等式或是研究方程根的情況，基本的題目類型是研

6、究在一個區(qū)間上恒成立的不等式(實際上就是證明這個不等式)，研究不等式在一個區(qū)間上成立時不等式的某個參數(shù)的取值范圍，研究含有指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個區(qū)間上的根的個數(shù)等，這些問題依據(jù)基礎(chǔ)初等函數(shù)的知識已經(jīng)無能為力，就需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法進行解決．使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實根的個數(shù)．因為導(dǎo)數(shù)的引入，為函數(shù)問題的解決提供了操作工具.因此入手大家比較清楚，但是深入解決函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目時，往往一籌莫展.原因是找不到兩者的結(jié)合點，不清楚解決技巧.解題技巧

7、總結(jié)如下 （1） 當時，令，得.當時，，在 單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減，在處取得極大值. 由于所以，解得即當且僅當時恒成立.綜上，所求的值為1. (Ⅱ) 等價于 下面證明這個不等式成立. 由(Ⅰ)可知.則 【點評】第一問利用分類討論思想，關(guān)鍵在于對的討論；借助第一問的結(jié)論，為第二問證明不等式提供服務(wù)，通過恒成立，得到不等式，是解決問題的關(guān)鍵.所以同學(xué)們必須清楚出題者的命題思路，樹立第一問為第二問的服務(wù)意識. 【新題預(yù)測演練】 1.【2012年河北省普通高考模擬考試】 （理）已知函數(shù)． （Ⅰ）當時，求函數(shù)在處的切線方程； （Ⅱ）函數(shù)是否存在零點．若存在，求出零點的個

8、數(shù)；若不存在，說明理由． （Ⅰ），，． 當時，．又． ………..2分 則在處的切線方程為． ………..4分 （Ⅱ）函數(shù)的定義域為． 【解析】： （Ⅰ），，． 當時，．又． ………..2分 所以在處的切線方程為． ………..4分 （Ⅱ）函數(shù)的定義域為． 當時，，所以． 即在區(qū)間上沒有實數(shù)根． ………..6分 當時，， 所以函數(shù)的圖象

9、在點處的切線方程為 即． ………………………… ……………… 2分 （II） =， ∵，∴ 只需討論的符號． ……………… 4分 ?。┊敚?時，＞0，這時＞0，所以函數(shù)在（－∞，+∞）上為增函數(shù)． ⅱ）當= 2時，≥0，函數(shù)在（－∞，+∞）上為增函數(shù)． ……………… 6分 ⅲ）當0＜＜2時，令= 0，解得，． 當變化時，和的變化情況如下表： + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴在，為增函數(shù)，在為 減函數(shù)……………… 8分

10、 由得得 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.………………4分 （II）若對任意， 使得恒成立， 則時，恒成立， 3.【河南省2012年普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性測試】 （理）設(shè)函數(shù) （1）若x=1是的極大值點，求a的取值范圍。 （2）當a=0，b=-1時，函數(shù)有唯一零點，求正數(shù)的值。 解： （Ⅰ）的定義域為， ，由=0，得. ∴.…………………………………………2分 ①若

11、a≥0，由=0，得x=1. 當時，，此時單調(diào)遞增； 當時，，此時單調(diào)遞減. 是增函數(shù)，所以至多有一解． 因為，所以方程（*）的解為， 代入方程組解得．…………………………………………………………………12分 （文）設(shè)函數(shù) （1）已知在點處的切線方程是求實數(shù)a，b的值。 （2）若方程有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的值。 因為，所以方程（*）的解為 代入方程組解得．…………………………………………………………………12分 4. 【河南省鄭州市2012屆高三第二次質(zhì)量預(yù)測】 已知函數(shù). (I)當時，求在上的最大值和最小值 (II)若函數(shù)在[1, e]上為增函數(shù)

12、，求正實數(shù)a的取值范圍. 21. 解：（Ⅰ）當時，， 則 ∴g(x)在上單調(diào)遞減，即g(x)

13、 2分 6.【北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習】 （理）設(shè)函數(shù). （Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間. 解：因為所以. （Ⅰ）當時, ,, 所以 . 所以曲線在點處的切線方程為. ……………4分 由得,或. 所以當時,函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是和, 單調(diào)遞增區(qū)間. ……………12分 ④當時, 此時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是.

14、 …………13分 方程有兩個不相等的實數(shù)根 ，， 作差可知， 則當時，，，在上為單調(diào)減函數(shù)； 當時，，， 在上為單調(diào)增函數(shù)； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當且僅當a∈(0，)時，f(x)有極小值點x1和極大值點x2， 且x1＋x2＝，x1x2＝． f(x1)＋f(x2)＝－lnx1－ax＋x1－lnx2－ax＋x2 ＝－(lnx1＋lnx2)－(x1－1)－(x2－1)＋(x1＋x2) ＝－ln(x1x2)＋(x1＋x2)＋1＝ln(2a)＋＋1． …9分 令g(a)＝ln(2a)＋＋1，a∈(0，]， 則當a∈(0，)時，g￠(a)＝－＝＜0，g(a)在(0，)單調(diào)

15、遞減， 所以g(a)＞g()＝3－2ln2，即f(x1)＋f(x2)＞3－2ln2． …12分 8.【唐山市2011—2012學(xué)年度高三年級第一次模擬考試】 （理）設(shè)函數(shù) (I )討論f(x)的單調(diào)性； (II) ( i )若證明：當x>6 時， (ii)若方程f(x)=a有3個不同的實數(shù)解，求a的取值范圍. 解： （Ⅰ）f￠(x)＝－e－x[x2－(a＋2)x＋2a]＝－e－x(x－2)(x－a)． …1分 （1）若a＝2，則f￠(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減． …2分 （2）若0≤a＜2，當x變化時，f￠(x)、f(x)的變化

16、如下表： x (－∞，a) a (a，2) 2 (2，＋∞) f￠(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 極小值ae－a ↗ 極大值(4－a)e－2 ↘ 此時f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)單調(diào)遞減，在(a，2)單調(diào)遞增． …3分 （3）若a＞2，當x變化時，f￠(x)、f(x)的變化如下表： x (－∞，2) 2 (2，a) a (a，＋∞) f￠(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 極小值(4－a)e－2 ↗ 極大值ae－a ↘ 此時f(x)在(－∞，2)和(a，＋∞)單調(diào)遞減，在(2，a)單調(diào)遞增．

17、 …4分 (II )討論的單調(diào)性. 【命題分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何含義和函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生利用求導(dǎo)研究函數(shù)性質(zhì)的解題能力和分類討論思想的應(yīng)用。第一問利用導(dǎo)數(shù)的幾何含義確定直線的斜率進行求解；第二問利用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意對產(chǎn)生a的討論。 解： （Ⅰ）當a＝0時，f(x)＝，f￠(x)＝－， f(1)＝，f￠(1)＝， 曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝(x－1)＋，即y＝x． …4分 （Ⅱ）f￠(x)＝＝－． …5分 （1）若a＝2，則f￠(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減． …7分 （2）若a＜2，則 當x∈(－

18、∞，a)或x∈(2，＋∞)時，f￠(x)＜0，當x∈(a，2)時，f￠(x)＞0， 此時f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)單調(diào)遞減，在(a，2)單調(diào)遞增． （3）若a＞2，則 當x∈(－∞，2)或x∈(a，＋∞)時，f￠(x)＜0，當x∈(2，a)時，f￠(x)＞0， 此時f(x)在(－∞，2)和(a，＋∞)單調(diào)遞減，在(2，a)單調(diào)遞增． …12分 9. 【2012年河南鄭州高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預(yù)測】 理設(shè)函數(shù). 綜上所述，實數(shù)p的取值范圍為. …………12分 （文）設(shè)函數(shù). （Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 10. 【2012年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二

19、)】 （理）已知函數(shù)，∈R． (I)討論函數(shù)的單調(diào)性； (Ⅱ)當時，≤恒成立，求的取值范圍． 解：(Ⅰ)的定義域為， 若則在上單調(diào)遞增，……………2分 若則由得，當時，當 時，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. 所以當時，在上單調(diào)遞增， 當時， 在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.……………4分 (Ⅱ), （文）已知函數(shù)，∈R． (I)討論函數(shù)的單調(diào)性； (Ⅱ)當時，≤恒成立，求的取值范圍． 解：(Ⅰ)的定義域為， 若則在上單調(diào)遞增，……………2分 若則由得，當時，當 時，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. 所以當時，在上單調(diào)遞增， 當時，

20、 在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.……………4分 (Ⅱ), 11. 【北京市朝陽區(qū)2011-2012學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試】 （理）已知函數(shù)（，為正實數(shù)）. （Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）若函數(shù)的最小值為，求的取值范圍. 解：（Ⅰ）當時，， 則. ………………………………………………… 2分 所以.又，因此所求的切線方程為. ………… 4分 （Ⅱ）. ………………………… 5分 （1）當，即時，因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增. ………………………………………………………………… 6分 （文）設(shè)函數(shù). （Ⅰ）當時,

21、試求函數(shù)在區(qū)間上的最大值; （Ⅱ）當時,試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解: （Ⅰ）函數(shù)的定義域為. ………………………………………1分 當時, ，因為， …3分 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當時,函數(shù)取得最大值 . ……………………………………………………………5分 12. 【北京市東城區(qū)2011-2012學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末檢測】 （理）已知函數(shù)，其中． 由于 ，可設(shè)方程①的兩個根為，， 由①得， （文）已知函數(shù). （Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍． 解：（Ⅰ）當時，，.

22、 ，． ………3分 所以所求切線方程為即． ……5分 （Ⅱ）. 令，得. ………7分 由于，，的變化情況如下表： + 0 — 0 + 單調(diào)增 極大值 單調(diào)減 極小值 單調(diào)增 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和. …………9分 要使在區(qū)間上單調(diào)遞增， 應(yīng)有 ≤ 或 ≥， 解得≤或≥． …………11分 又

23、 且， …………12分 所以 ≤． 即實數(shù)的取值范圍 ． …………13分 13. 【保定市2011—2012學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試】 （3）①當時 法一：因為函數(shù)在單調(diào)遞增，所以其最小值為，而函數(shù)在的所以，下面判斷的關(guān)系，即判斷的關(guān)系， 令 單調(diào)遞增 使得 上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增……………………………..10分 所以 即也即 所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)………

24、……..12分 令，則 在單調(diào)遞增…………………………….10分 ，即的最大值為0………………………….12分 14. 【河北省石家莊市2012屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(一)】 （理）已知函數(shù)． (I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 也可得證命題成立．………………10分 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有 對任意， ．…………12分 （文）已知函數(shù) (I)設(shè)=-1，求函數(shù)的極值； (II)在(I)的條件下，若函數(shù)(其中為的導(dǎo) 數(shù))在區(qū)間(1，3)上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． 解：（Ⅰ）當， ， ，………………2分

25、 的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）,單調(diào)遞增區(qū)間為（, ………4分 （Ⅱ） 令 又 令解得 （文）已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍； 16. 【山東省萊蕪市2012屆高三上學(xué)期期末檢測】 已知函數(shù)，（K常數(shù)） （1） 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； （2） 若恒成立，求K的取值范圍。 解析：（1）由可得， …………1分 ∵的定義域為（0，+）， ∴當時，，在（0，+）是增函數(shù)?！?分 當k>0時，由可得， 解析：（1）由可得， ……………………1分 ∵的定義域為（0，+）， ∴當時，，在

26、（0，+）是增函數(shù)?！?分 當k>0時，由可得， ∴f(x)在（0，）是增函數(shù)，在（，+）是減函數(shù)?！?分 綜上，當時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是（0，+）； 當K>0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是（0，），單調(diào)減區(qū)間是（，+）.……8分 （2） 由恒成立，可得恒成立，. 即，∴恒成立。 ………………………10分 ∵ ∵ ………………………11分 17.【山東省青島市2012屆高三期末檢測】 （Ⅰ）如果函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍； 解得 ……………………………12分 43 用心 愛心 專心