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1、8.2空間幾何體的表面積與體積,知識梳理,考點自測,1.多面體的表(側(cè))面積 因為多面體的各個面都是平面,所以多面體的側(cè)面積就是,表面積是側(cè)面積與底面面積之和. 2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式,所有側(cè)面的面積之和,2rl,rl,(r1+r2)l,知識梳理,考點自測,3.柱、錐、臺和球的表面積和體積,Sh,4R2,知識梳理,考點自測,1.與體積有關(guān)的幾個結(jié)論 (1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差. (2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等. 2.長方體的外接球 (1)球心:體對角線的交點. 3.正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分),知識
2、梳理,考點自測,2,3,4,1,5,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)如果圓柱的一個底面積為S,側(cè)面展開圖是一個正方形,那么這個圓柱的側(cè)面積是2S.() (2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上,則該球的表面積為3a2.() (3)若一個球的體積為4 ,則它的表面積為12.() (4)在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=120,使ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為9.() (5)將圓心角為 ,面積為3的扇形作為圓錐的側(cè)面,則圓錐的表面積等于4.(),答案,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,2.一個幾何體的三視圖如圖所示
3、,其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為2的兩個全等的等腰直角三角形,俯視圖是圓心角為 的扇形,則該幾何體的側(cè)面積為(),答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,3.(2017全國,理8)已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為(),答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,4.(2017天津,理10)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積為.,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,5.(2017寧夏石嘴山第三中學模擬,理15)三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的表面上,SA平面ABC,
4、ABAC,又SA=AB=AC=1,則球O的表面積為.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,例1(1)下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為() A.20B.24C.28D.32,答案,解析,考點1,考點2,考點3,(2)(2017廣東、江西、福建十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示,則它的表面積為(),答案,解析,考點1,考點2,考點3,思考求幾何體的表面積的關(guān)鍵是什么? 解題心得1.求幾何體的表面積,關(guān)鍵在于根據(jù)三視圖還原幾何體,要掌握常見幾何體的三視圖,并且要弄明白幾何體的尺寸跟三視圖尺寸的關(guān)系;有時候還可以利用外部補形法,將幾何體補成長方體或者正方體等常見幾何體
5、. 2.求不規(guī)則幾何體的表面積時,通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體,先求這些柱、錐、臺體的表面積,再通過求和或作差求得幾何體的表面積.,考點1,考點2,考點3,對點訓練1(1)(2017江西宜春中學3月模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是(),答案,解析,考點1,考點2,考點3,(2)如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是 ,則它的表面積是() A.17B.18C.20D.28,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考向1根據(jù)幾何體的三視圖計算體積 例2(1)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直
6、線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(),答案,解析,考點1,考點2,考點3,(2)某幾何體的三視圖如圖所示,圖中四邊形都是邊長為2的正方形,兩條虛線相互垂直,則該幾何體的體積是() 思考由三視圖求解幾何體體積的一般思路是什么?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考向2求空間幾何體的體積 例3(1)(2017江蘇無錫一模,6)已知正四棱錐的底面邊長是2,側(cè)棱長是 ,則該正四棱錐的體積為. (2)如圖所示,BD是邊長為3的正方形ABCD的對角線,將BCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的體積等于. 思考求解幾何體體積的一般思路是什么?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,解題心
7、得1.以三視圖為載體考查幾何體的體積,解題的一般思路是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)成,并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系,然后在直觀圖中求解. 2.求旋轉(zhuǎn)體體積的一般思路是理解所得旋轉(zhuǎn)體的幾何特征,確定得到計算體積所需要的幾何量. 3.計算柱、錐、臺的體積的關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應的底面積和高. 4.注意求體積的一些特殊方法:分割法、補體法、轉(zhuǎn)化法等,它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算常用的方法,應熟練掌握.,考點1,考點2,考點3,對點訓練2(1)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(),考點1,考點2,考點3,(2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何
8、體的體積是(),考點1,考點2,考點3,(3)如圖,在多面體ABCDEF中,已知ABCD是邊長為1的正方形,且ADE,BCF均為正三角形,EFAB,EF=2,則該多面體的體積為(),考點1,考點2,考點3,答案: (1)D(2)C(3)A,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,例4(1)(2017河北保定二模,理8)已知一個球的表面上有A,B,C三點,且AB=AC=BC=2 ,若球心到平面ABC的距離為1,則該球的表面積為() A.20B.15C.10D.2 (2)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,則球O的半徑
9、為(),考點1,考點2,考點3,(3)四棱錐P-ABCD的五個頂點都在一個球面上,該四棱錐的三視圖如圖所示,E,F分別是棱AB,CD的中點,直線EF被球面所截得的線段長為2 ,則該球的表面積為(),考點1,考點2,考點3,答案: (1)A(2)C(3)D,解析: (1)由題意可得平面ABC截球面所得的截面圓恰為正三角形ABC的外接圓O, 設(shè)球O的半徑為R, 球心到平面ABC的距離為1, 由勾股定理可得r2+12=R2,解得R2=5, 球O的表面積S=4R2=20,故選A.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考如何求解球的表面積、體積及與球有關(guān)的切、接問
10、題中的表面積、體積問題? 解題心得1.求解球的表面積、體積問題的關(guān)鍵是求出球的半徑,一般方法是依據(jù)條件建立關(guān)于半徑的等式. 2.多面體的外接球和內(nèi)切球問題,其解題關(guān)鍵在于確定球心在多面體中的位置,找到球的半徑或直徑與多面體相關(guān)元素之間的關(guān)系,結(jié)合原有多面體的特性求出球的半徑,然后利用球的表面積和體積公式進行正確計算.常見的方法是將多面體還原到正方體或長方體中再去求解. 3.球的截面問題,首先需理解兩個基本性質(zhì):球的任何一個截面都是圓面,球心和截面圓的圓心的連線垂直于截面.然后利用性質(zhì)解三角形求出球的半徑.,考點1,考點2,考點3,對點訓練3(1)(2017河北張家口4月模擬,理10)已知三棱柱
11、ABC-A1B1C1的六個頂點都在球O的球面上,且側(cè)棱AA1平面ABC,若AB=AC=3,BAC= ,AA1=8,則球的表面積為() (2)(2017福建廈門一中考前模擬,理9)在底面為正方形的四棱錐S-ABCD中,SA=SB=SC=SD,異面直線AD與SC所成的角為60,AB=2.則四棱錐S-ABCD的外接球的表面積為() A.6B.8C.12D.16,答案: (1)C(2)B,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,(2)取底面中心O,BC中點E,連接SO,SE,OE, SOOE, ADBC,SCB為異面直線AD, SC所成的角,即SCB=60, SB=SC,SBC是等邊三角形,,考點1,考點2,考點3,1.求柱體、錐體、臺體與球的表面積、體積的問題,要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點與平面幾何知識來解決. 2.求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面. 3.與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時要認真分析圖形,明確切點和接點的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖. 1.求組合體的表面積時,組合體的銜接部分的面積問題易出錯. 2.由三視圖計算幾何體的表面積與體積時,由于幾何體的還原不準確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認識不準易導致錯誤. 3.易混側(cè)面積與表面積的概念.,
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