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1、方法1與圓錐曲線相關(guān)的最值、范圍問題的解題方法 1.幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決,此法稱為幾何法. 2.代數(shù)法:根據(jù)題目構(gòu)造關(guān)于變量的等式或不等式,從而采用方程思想或函數(shù)思想求解最值或范圍的方法稱為代數(shù)法.利用代數(shù)法解決最值和范圍問題的常見思路:利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的范圍;利用已知參數(shù)范圍,求新參數(shù)的范圍,解決這類問題的核心為構(gòu)建所求變量與已知變量的函數(shù)關(guān)系式;利用隱含的不等關(guān)系建立不等,方法技巧,式,從而求出所需要的參數(shù)范圍;利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;利用函數(shù)的值域,確定參數(shù)的取值范圍.,例1(20
2、17浙江,21,15分)如圖,已知拋物線x2=y,點(diǎn)A,B,拋 物線上的點(diǎn)P(x,y).過點(diǎn)B作直線AP的垂線,垂足為Q. (1)求直線AP斜率的取值范圍; (2)求|PA||PQ|的最大值.,(1) (2),解題導(dǎo)引,解析(1)設(shè)直線AP的斜率為k,k==x-, 因?yàn)?
3、在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因此當(dāng)k=時(shí),| PA||PQ|取得最大值. 解法二:如圖,連接BP,|AP||PQ|=|AP||PB|cosBPQ==(- )=-.,易知P(x,x2), 則=2x+1+2x2-=2x2+2x+,=+=x2+x++x4-x2 +=x4+x2+x+. |AP||PQ|=-x4+x2+x+.,設(shè)f(x)=-x4+x2+x+, 則f (x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2, f(x)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù), f(x)max=f(1)=. 故|AP||PQ|的最大值為.,方法2圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題的解題方法 1.圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題往往
4、與圓錐曲線中的“常數(shù)”有關(guān),如橢圓的長、短軸的長,雙曲線的虛、實(shí)軸的長,拋物線的焦參數(shù)等,可通過直接計(jì)算求解,也可用“特殊位置法”和“相關(guān)曲線系數(shù)”求解. 2.解決定點(diǎn)、定值問題常用的思想有兩種:從特殊入手,求含參變量的定點(diǎn)、定值,再證明這個定點(diǎn)、定值與變量無關(guān);直接推理計(jì)算,并在計(jì)算的過程中消去變量,從而得到定點(diǎn)、定值.,例2(2016北京文,19,14分)已知橢圓C:+=1過A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn). (1)求橢圓C的方程及離心率; (2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證:四邊形ABNM的面積為定值. 解題導(dǎo)引,解析(1)由題意得
5、,a=2,b=1. 所以橢圓C的方程為+y2=1. 又c==, 所以離心率e==. (2)證明:設(shè)P(x0,y0)(x0<0,y0<0),則+4=4. 又A(2,0),B(0,1), 所以,直線PA的方程為y=(x-2). 令x=0,得yM=-,從而|BM|=1-yM=1+. 直線PB的方程為y=x+1.,令y=0,得xN=-, 從而|AN|=2-xN=2+. 所以四邊形ABNM的面積 S=|AN||BM| = = ==2. 從而四邊形ABNM的面積為定值.,例3已知橢圓C:+y2=1(a0),過橢圓C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線與圓 x2+y2=相切. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)M是橢圓C的
6、上頂點(diǎn),過點(diǎn)M分別作直線MA,MB交橢圓C于A,B兩點(diǎn),設(shè)這兩條直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=2,證明:直線AB過定點(diǎn). 解題導(dǎo)引,解析(1)直線過點(diǎn)(a,0)和(0,1), 直線的方程為x+ay-a=0, 直線與圓x2+y2=相切, =, 解得a2=2,橢圓C的方程為+y2=1. (2)證明:由題意得M(0,1).當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),設(shè)A(x0,y0),則B(x0,-y0),由k1+k2=2得+=2,解得x0=-1.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)AB 的方程為y=kx+m(m1),A(x1,y1),B(x2,y2), 由(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,得x1+x2
7、=,x1x2=,由k,1+k2=2+=2=2, 即(2-2k)x1x2=(m-1)(x1+x2)(2-2k)(2m2-2)=(m-1)(-4km),即(1-k)(m2-1)=-km(m-1), 由m1,得(1-k)(m+1)=-kmk=m+1, 所以y=kx+m=(m+1)x+mm(x+1)=y-x, 故直線AB過定點(diǎn)(-1,-1). 綜上,直線AB過定點(diǎn)(-1,-1).,方法3存在性問題的解題策略 1.此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件,則可先假設(shè)條件成立,再驗(yàn)證結(jié)論是否成立,成立則存在,否則不存在;若探究結(jié)論,則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式,再針對其表達(dá)式進(jìn)行討論,往往涉及對參數(shù)的
8、討論. 2.反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題的常用方法.,例4如圖,曲線C由上半橢圓C1:+=1(ab0,y0)和部分拋物線C2: y=-x2+1(y0)連接而成,C1與C2的公共點(diǎn)為A,B,其中C1的離心率為. (1)求a,b的值; (2)過點(diǎn)B的直線l與C1,C2分別交于點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A,B),是否存在直線l,使得以PQ為直徑的圓恰好過點(diǎn)A?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.,解題導(dǎo)引,解析(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1, 且A(-1,0),B(1,0)是上半橢圓C1的左、右頂點(diǎn). 由e==及a2-c2=b2=1可得a=2, a=2,b=1. (2)存在
9、.由(1)知,上半橢圓C1的方程為+x2=1(y0). 由題易知,直線l與x軸不重合也不垂直, 設(shè)其方程為y=k(x-1)(k0). 代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP), 直線l過點(diǎn)B,,x=1是方程(*)的一個根. 由求根公式,得xP=,從而yP=, 點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 同理,由得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-k-1,-k2-2k). =(k,-4),=-k(1,k+2). 連接AP、AQ,依題意可知APAQ, =0,即k-4(k+2)=0,,k0,k-4(k+2)=0,解得k=-. 經(jīng)檢驗(yàn),k=-符合題意,故直線l的方程為y=-(x-1).,
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