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1、第2節(jié)不等式的證明,最新考綱通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法.,知 識 梳 理,2ab,ab,ab,abc,ab,推理,論證,分析法:從要證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的_,所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證法稱為分析法,即“執(zhí)果索因”的證明方法.,充分條件,1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)比較法最終要判斷式子的符號得出結(jié)論.() (2)綜合法是從原因推導到結(jié)果的思維方法,它是從已知條件出發(fā),經(jīng)過逐步推理,最后達到待證的結(jié)論.() (3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法,是從待證結(jié)
2、論出發(fā),一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件,最后達到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實.() (4)使用反證法時,“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用.() 答案(1)(2)(3)(4),診 斷 自 測,答案A,3.(教材習題改編)已知ab0,M2a3b3,N2ab2a2b,則M,N的大小關(guān)系為_. 解析2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab). 因為ab0,所以ab0,ab0,2ab0, 從而(ab)(ab)(2ab)0,故2a3b32ab2a2b. 答案MN,答案4,5.已知x0,y0,證明:(1xy2)(1x2y)9xy. 證明因為x
3、0,y0,,考點一比較法證明不等式 【例11】 (2017江蘇卷)已知a,b,c,d為實數(shù),且a2b24,c2d216.試證明:acbd8. 證明(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2c2a2d2b2c2b2d2(a2c2b2d22acbd) b2c2a2d22acbd(bcad)20, (a2b2)(c2d2)(acbd)2, 又a2b24,c2d216. 因此(acbd)264,從而acbd8.,考點二綜合法證明不等式 【例21】 (2017全國卷)已知實數(shù)a0,b0,且a3b32. 證明:(1)(ab)(a5b5)4; (2)ab2.,證明(1)a0,b0,且a3b32. 則(ab)
4、(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a42a2b2b4)4ab(a2b2)24. (2)因為(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab),(2)證明由(1)知,當a,bM時,1a1,1b1, 從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21 (a21)(1b2)0, 所以(ab)2(1ab)2,因此|ab|1ab|.,規(guī)律方法1.綜合法證明不等式,要著力分析已知與求證之間,不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進行轉(zhuǎn)換,恰當選擇已知不等式,這是證明的關(guān)鍵. 2.在用綜合法證明不等式時,不等式的性質(zhì)和均值不等式是最常用的.在運用這些性質(zhì)時,要注意
5、性質(zhì)成立的前提條件.,(1)解當x3; 當1x2時,f(x)2(x1)(x2)x4, 此時,3f(x)6; 當x2時,f(x)2(x1)(x2)3x6. 綜上可知,f(x)的最小值m3.,規(guī)律方法1.當要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時,可用分析法來尋找證明途徑,使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆. 2.分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”,其框圖表示為:,(1)解依題意,原不等式等價于|x1|x3|8. 當x1時,則2x28,解得x3. 所以不等式f(x)f(x4)8的解集為x|x3或x5.,只需證|ab1|ba|, 只需證(ab1)2(ba)2. |a|0. 故(ab1)2(ba)2成立. 從而原不等式成立.,