江西省萍鄉(xiāng)市高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.2 簡單多面體課件 北師大版必修2.ppt

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1、1.2簡單多面體,1.知道多面體、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征,并能結(jié)合這些結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)常見幾何體.2.掌握棱錐、棱臺(tái)平行于底面的截面的性質(zhì).3.知道棱柱、棱錐、棱臺(tái)的分類及表示方法,認(rèn)識(shí)正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征及性質(zhì).,1.多面體(1)概念:若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫作多面體.(2)棱柱、棱錐、棱臺(tái)是簡單多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫作多面體的面;相鄰兩個(gè)面的公共邊叫作多面體的棱;棱與棱的公共點(diǎn)叫作多面體的頂點(diǎn).,,,,,2.棱柱(1)概念:兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,這些面圍成的幾何體叫作棱柱.這里兩個(gè)互相平行的面叫作棱柱的底面,

2、其余各面叫作棱柱的側(cè)面;兩個(gè)面的公共邊叫作棱柱的棱,其中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫作棱柱的側(cè)棱,底面多邊形與側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫作棱柱的頂點(diǎn).如圖所示.,,,,,,,(2)表示:通常用底面各頂點(diǎn)的字母表示棱柱.如上圖中的棱柱可記作:五棱柱ABCDE-ABCDE.(3)分類:按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱(4)特殊的棱柱:側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱,底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱.(5)棱柱的性質(zhì)有:側(cè)棱互相平行且相等,側(cè)面都是平行四邊形.兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形,如圖所示.過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形,如圖所示.,,,,,,名師點(diǎn)撥四棱柱是一種常見的棱柱,它的側(cè)

3、棱與底面的變化會(huì)產(chǎn)生一系列特殊的四棱柱.,【做一做1-1】棱柱的側(cè)面不可能是()A.三角形B.平行四邊形C.矩形D.正方形答案:A【做一做1-2】一個(gè)棱柱至少有個(gè)面,個(gè)頂點(diǎn),條棱.答案:569,3.棱錐(1)概念:有一個(gè)面是多邊形,其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,這些面圍成的幾何體叫作棱錐.這個(gè)多邊形叫作棱錐的底面,其余各面叫作棱錐的側(cè)面,各側(cè)面的公共點(diǎn)叫作棱錐的頂點(diǎn),相鄰側(cè)面的公共邊叫作棱錐的側(cè)棱.如圖所示.(2)表示:用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示棱錐.如上圖中的棱錐可記作:四棱錐S-ABCD.(3)分類:按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐,,,,,(4)特殊的棱錐:如果棱錐的底

4、面是正多邊形,且各側(cè)面全等,就稱作正棱錐.(5)棱錐的性質(zhì)有:側(cè)棱有公共點(diǎn),即棱錐的頂點(diǎn),側(cè)面都是三角形.底面與平行于底面的截面是相似多邊形,如圖所示.過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是三角形,如圖所示.,【做一做2】在正方形ABCD中,E,F分別為BC,CD的中點(diǎn),沿AE,AF,EF將其折成一個(gè)多面體,則此多面體是.答案:三棱錐,4.棱臺(tái)(1)概念:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分叫作棱臺(tái).原棱錐的底面和截面叫作棱臺(tái)的下底面和上底面,其他各面叫作棱臺(tái)的側(cè)面,相鄰側(cè)面的公共邊叫作棱臺(tái)的側(cè)棱.如圖所示.(2)表示:用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱臺(tái).如上圖中的棱臺(tái)可記作:四棱臺(tái)ABC

5、D-ABCD.(3)分類:按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái),,,,,(4)特殊的棱臺(tái):用正棱錐截得的棱臺(tái)叫作正棱臺(tái).正棱臺(tái)的側(cè)面是全等的等腰梯形.(5)棱臺(tái)的性質(zhì):側(cè)棱延長后交于一點(diǎn),側(cè)面是梯形.兩底面與平行于底面的截面是相似多邊形,如圖所示.過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是梯形,如圖所示.,,,【做一做3】三棱臺(tái)的三條側(cè)棱()A.互相平行B.延長后交于一點(diǎn)C.互相垂直D.相等答案:B,題型一,題型二,題型三,題型四,【例1】如圖所示,已知長方體ABCD-A1B1C1D1.(1)這個(gè)長方體是棱柱嗎?如果是,是幾棱柱?為什么?(2)用平面BCFE把這個(gè)長方體分成兩部分后,各部分形成的幾何體

6、還是棱柱嗎?如果是,判斷是幾棱柱并找出棱柱的底面;如果不是,請說明理由.分析:利用棱柱的定義進(jìn)行判斷.,題型一,題型二,題型三,題型四,解:(1)是棱柱,且是四棱柱.因?yàn)橐蚤L方體相對的兩個(gè)面作為底面,它們互相平行且都是四邊形,其余各面都是矩形,當(dāng)然是平行四邊形,并且四條側(cè)棱互相平行,符合棱柱的概念.(2)截面BCFE右上方部分是棱柱,且是三棱柱,其中BEB1和CFC1是底面.截面BCFE左下方部分也是棱柱,且是四棱柱,其中四邊形ABEA1和四邊形DCFD1是底面.反思對于棱柱,不要只認(rèn)為底面就是在上下位置,也可以在前后位置或左右位置.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練1】下列命題中,

7、正確的是()A.有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫作棱柱的底面C.棱柱的側(cè)面是平行四邊形,而底面不是平行四邊形D.棱柱的側(cè)棱相等,側(cè)面是平行四邊形,解析:A選項(xiàng)漏掉了側(cè)棱平行的特點(diǎn);對于B選項(xiàng),如圖所示,構(gòu)造四棱柱ABCD-A1B1C1D1,令四邊形ABCD是梯形,可知平面ABB1A1平面DCC1D1,但這兩個(gè)面不能作為棱柱的底面;C選項(xiàng)中,若棱柱是平行六面體,則它的底面是平行四邊形;D選項(xiàng)說明了棱柱的特點(diǎn),故選D.答案:D,題型一,題型二,題型三,題型四,【例2】給出下列結(jié)論:棱錐的側(cè)面為三角形,且所有的側(cè)面都有一個(gè)公共頂點(diǎn);多面體至少有四個(gè)面;棱

8、臺(tái)的側(cè)棱所在直線均相交于同一點(diǎn).其中,錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3,題型一,題型二,題型三,題型四,解析:顯然是正確的;對于,顯然一個(gè)圖形要成為空間幾何體,它至少需有四個(gè)頂點(diǎn),因?yàn)槿齻€(gè)頂點(diǎn)只圍成一個(gè)三角形,當(dāng)有四個(gè)頂點(diǎn)時(shí),易知它可以圍成四個(gè)面,因而一個(gè)多面體至少應(yīng)有四個(gè)面,而且這樣的面必是三角形,故是正確的;對于,棱臺(tái)的側(cè)棱所在的直線就是原棱錐的側(cè)棱所在的直線,而棱錐的側(cè)棱都有一個(gè)公共的點(diǎn),即棱錐的頂點(diǎn),于是棱臺(tái)的側(cè)棱所在的直線均相交于同一點(diǎn),故是正確的.答案:A反思只有理解并掌握好各種簡單多面體的概念及相應(yīng)的結(jié)構(gòu)特征,才能對問題作出正確的判斷.,題型一,題型二,題型三,題型四,【

9、變式訓(xùn)練2】有下列四個(gè)命題:棱臺(tái)的上、下底面多邊形是相似的;用一個(gè)平面去截棱錐,夾在底面和截面間的幾何體是棱臺(tái);棱臺(tái)的上、下底面邊長之比等于棱臺(tái)的高與截得此棱臺(tái)的棱錐的高的比;兩個(gè)底面平行且相似,其余各面是梯形的幾何體是棱臺(tái).其中正確的命題有(填寫所有正確命題的序號(hào)).,解析:根據(jù)棱臺(tái)的定義和結(jié)構(gòu)特征知正確;中截面不一定平行于底面,所得幾何體不一定是棱臺(tái),故不正確;棱臺(tái)的上、下底面邊長的比等于被截去的小棱錐與原棱錐的高之比,故不正確;如圖所示,AA1,BB1,CC1,DD1延長后沒有交于同一點(diǎn),故不正確.答案:,題型一,題型二,題型三,題型四,【例3】已知,在正三棱錐V-ABC中,底面邊長為8

10、,側(cè)棱長為2,計(jì)算它的高和斜高.分析本題主要考查正三棱錐中基本量的計(jì)算,關(guān)鍵是把已知量與未知量放到直角三角形中求解.,題型一,題型二,題型三,題型四,解如圖所示,設(shè)O是底面中心,連接AO并延長,交BC于點(diǎn)D,則D為BC的中點(diǎn),VAO和VCD都是直角三角形.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思正棱錐中基本量的計(jì)算要借助構(gòu)造的直角三角形.一般包括高、斜高和底面內(nèi)切圓半徑組成的直角三角形;高、側(cè)棱和底面外接圓半徑組成的直角三角形;斜高、側(cè)棱和底面邊長的一半組成的直角三角形.類似地,在正棱臺(tái)中,有三個(gè)重要的直角梯形:兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形;兩底面中心連線、側(cè)棱和相應(yīng)兩底面

11、正多邊形的頂點(diǎn)與中心連線組成一個(gè)直角梯形;斜高、側(cè)棱和上、下兩底面邊長的一半組成一個(gè)直角梯形.正棱臺(tái)的計(jì)算問題,實(shí)際上就是這幾個(gè)直角梯形的計(jì)算問題.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練3】一個(gè)正四棱臺(tái)的高是17cm,上、下底面邊長分別為4cm和16cm.求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長和斜高.解:如圖所示,取上、下底面的中心O1,O,B1C1和BC的中點(diǎn)E1,E.連接O1O,OE,EE1,O1E1,OB,O1B1.A1B1=4cm,AB=16cm,O1E1=2cm,OE=8cm,,題型一,題型二,題型三,題型四,易錯(cuò)點(diǎn):對概念理解不清而致誤【例4】下列關(guān)于棱柱的四個(gè)命題:若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面,則該

12、四棱柱為直四棱柱;若過相對棱的兩個(gè)截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱;若側(cè)面兩兩全等,則該四棱柱為直四棱柱;若四棱柱的四條對角線兩兩相等,則該四棱柱為直四棱柱.其中,真命題的序號(hào)是.錯(cuò)解:錯(cuò)因分析:中必須是兩個(gè)相鄰的側(cè)面,對概念理解不透徹而誤認(rèn)為也是正確的.,題型一,題型二,題型三,題型四,正解:錯(cuò),必須是兩個(gè)相鄰的側(cè)面;正確;錯(cuò)誤,反例:斜四棱柱;正確,對角線兩兩相等,則此對角線組成的平行四邊形為矩形,故填.答案:,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練4】下列命題中:有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形所圍成的幾何體一定是棱柱;有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形所圍成的幾何體是棱

13、錐;用一個(gè)平行于棱錐底面的平面截棱錐,得到的幾何體是棱臺(tái).真命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3解析:命題不符合棱柱及棱錐的定義,命題,用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,得到的幾何體一個(gè)是棱臺(tái),另一個(gè)是棱錐,故錯(cuò)誤.答案:A,12345,,,,,,1.正五棱柱中,若不同在任一側(cè)面且不同在任一底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對角線,則一個(gè)正五棱柱對角線的條數(shù)共有()A.20B.15C.12D.10解析:方法一:在上底面選一個(gè)點(diǎn),同時(shí)在下底面選一個(gè)點(diǎn),且這兩個(gè)點(diǎn)不在同一側(cè)面上,這樣上底面每個(gè)點(diǎn)對應(yīng)2條對角線,所以共有10條.方法二:過正五棱柱任意不相鄰的兩條側(cè)棱可得一個(gè)截面,每個(gè)截面可得到正五棱柱

14、的兩條對角線,5個(gè)截面共可得到10條對角線.答案:D,12345,,,,,,2.下列說法錯(cuò)誤的是()A.多面體至少有四個(gè)面B.九棱柱有9條側(cè)棱,9個(gè)側(cè)面,側(cè)面為平行四邊形C.長方體、正方體都是棱柱D.三棱柱的側(cè)面為三角形解析:多面體中面數(shù)最少的是三棱錐,有四個(gè)面,故A正確.根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征知B正確.長方體、正方體符合棱柱的結(jié)構(gòu)特征,C正確.D中三棱柱的側(cè)面為平行四邊形,D錯(cuò)誤.答案:D,12345,,,,,,3.如圖所示,下列幾何體中,是棱柱,是棱錐,是棱臺(tái).解析:由棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義知,符合棱柱的定義;符合棱錐的定義;符合棱臺(tái)的定義.答案:,12345,,,,,,4.說出四棱臺(tái)有多少個(gè)頂點(diǎn)?多少條棱?多少個(gè)面?四棱錐呢?解:作四棱錐P-ABCD,用平行于底面ABCD的平面A1B1C1D1截該棱錐得四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1,如圖所示,由圖得四棱臺(tái)有8個(gè)頂點(diǎn),12條棱,6個(gè)面;四棱錐有5個(gè)頂點(diǎn),8條棱,5個(gè)面.,12345,,,,,,5.如圖所示,已知該幾何體所有的棱長都相等,試分析此幾何體的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù),并判斷該幾何體是不是棱柱、棱錐、棱臺(tái)的一種.解:該幾何體有8個(gè)面,6個(gè)頂點(diǎn),12條棱,它不滿足棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義,故不是棱柱,也不是棱錐,也不是棱臺(tái),但它是一個(gè)多面體.,