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1、8,一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),一、,周期為,的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),定理,設(shè),是周期為,的周期函數(shù)，,且滿(mǎn)足收斂定理的條件，,則它的傅里葉級(jí)數(shù),在,上收斂,且,(1),(2),當(dāng),為連續(xù)點(diǎn)時(shí)，,級(jí)數(shù)收斂于,為間斷點(diǎn)時(shí)，,級(jí)數(shù)收斂于,當(dāng),其中,(1),(2),證,,,,作換元,，則在此變換下,區(qū)間,變?yōu)?區(qū)間,是周期為,的周期函數(shù),可以驗(yàn)證：,的傅氏級(jí)數(shù),在,上收斂，且,其中,(*),由,與,復(fù)合而成,是,的連續(xù)點(diǎn),是,的連續(xù)點(diǎn),由,與,復(fù)合而成,是,的連續(xù)點(diǎn),是,的連續(xù)點(diǎn),即：,是,的連續(xù)點(diǎn),是,的連續(xù)點(diǎn),,,將,代入,(*)式，,得,的連續(xù)點(diǎn),,,,,是,的間斷點(diǎn),是,其中,即(1)(2)式
2、。,證畢。,說(shuō)明,(1),當(dāng),上是奇函數(shù)時(shí)，,奇函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)是正弦級(jí)數(shù),在,(3),其中，,按(3)式計(jì)算。,當(dāng),上是偶函數(shù)時(shí)，,偶函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)是余弦級(jí)數(shù),在,(4),其中，,按(4)式計(jì)算。,(2),若,只在,上有定義，,且滿(mǎn)足收斂,定理的條件，,也可將它展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)。,方法：,首先，,將,進(jìn)行周期延拓，,將它,拓廣為周期為,的周期函數(shù),；,然后,將,展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)；,最后，,再將,限制在,上，,就得到,的傅氏級(jí)數(shù),展開(kāi)式。,即：,按(1)、(2)式求出,從而得到,的,傅氏級(jí)數(shù),在點(diǎn),，,是,的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，,級(jí)數(shù)收斂于,；,是,的間斷點(diǎn)時(shí)，,級(jí)數(shù)收斂于,在端點(diǎn),，,級(jí)數(shù)收斂于,(3),若
3、,只在,上有定義，,且滿(mǎn)足收斂,定理的條件，,可將它展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦,首先，,將,進(jìn)行奇延拓，,將它拓廣,為,上的奇函數(shù),；,然后，,將,展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)(正弦級(jí)數(shù))；,最后，,再將,限制在,上，,就得到,的正弦級(jí)數(shù),即：,級(jí)數(shù)。,展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)的方法：,展開(kāi)式。,按(3)式求出,從而得到,的正弦級(jí)數(shù),在點(diǎn),，,是,的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，,級(jí)數(shù)收斂于,；,是,的間斷點(diǎn)時(shí)，,級(jí)數(shù)收斂于,在端點(diǎn),，,級(jí)數(shù)收斂于,首先，,將,進(jìn)行偶延拓，,將它拓廣,為,上的偶函數(shù),；,然后，,將,展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)(余弦級(jí)數(shù))；,最后，,再將,限制在,上，,就得到,的余弦級(jí)數(shù),即：,展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)的方法：,展開(kāi)式。,按(4)式
4、求出,從而得到,的余弦級(jí)數(shù),在點(diǎn),，,是,的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，,級(jí)數(shù)收斂于,是,的間斷點(diǎn)時(shí)，,級(jí)數(shù)收斂于,在端點(diǎn),，,級(jí)數(shù)收斂于,，,級(jí)數(shù)收斂于,例1,設(shè),是周期為,的周期函數(shù)，,它在,上的表達(dá)式為,將,展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)。,解,滿(mǎn)足收斂定理的條件，,它在點(diǎn),處間斷，,在其它點(diǎn)處連續(xù)。,由收斂定理，得,當(dāng),時(shí)，,傅氏級(jí)數(shù)收斂于,當(dāng),時(shí)，,傅氏級(jí)數(shù)收斂于,計(jì)算傅氏系數(shù)：,的傅氏級(jí)數(shù)為：,例2,將函數(shù),展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù).,解,將,偶延拓.,在,上連續(xù),當(dāng),時(shí)，,余弦級(jí)數(shù)收斂于,在端點(diǎn),，,余弦級(jí)數(shù)收斂于,令,在端點(diǎn),，,余弦級(jí)數(shù)收斂于,，,求,按公式(4)得：,余弦級(jí)數(shù)為,例3,將函數(shù),展開(kāi)成,以,為周期的傅氏級(jí)數(shù)。,解,令,，則在此變換下，,變?yōu)閰^(qū)間,區(qū)間,這樣，,記,下面將,展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)。,在,上連續(xù),的傅氏級(jí)數(shù)收斂于,在點(diǎn),，,在端點(diǎn),的傅氏級(jí)數(shù)收斂于,，,,奇函數(shù),,偶函數(shù),的傅氏級(jí)數(shù)為,將,換回，得,即,補(bǔ)充題：,將函數(shù),展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)。,作業(yè),補(bǔ)充題答案：,
一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù).ppt
