（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列與不等式 第3講 數(shù)列的綜合問題課件.ppt

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1、第3講 數(shù)列的綜合問題,專題三 數(shù)列與不等式,板塊三 專題突破核心考點(diǎn),,[考情考向分析],1.數(shù)列的綜合問題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式. 2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點(diǎn)探求參數(shù)的值或范圍. 3.與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，主要涉及到的方法有作差法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等．,,,熱點(diǎn)分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點(diǎn)分類突破,,熱點(diǎn)一 利用Sn，an的關(guān)系式求an,1.數(shù)列{an}中，an與Sn的關(guān)系,2.求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式. (2)在已知數(shù)列{an}中，滿足an

2、＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an.,(4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).,例1 (2018浙江)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿足b1＝1，數(shù)列{(bn＋1－bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2＋n. (1)求q的值；,解答,解 由a4＋2是a3，a5的等差中項(xiàng)， 得a3＋a5＝2a4＋4， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8.,因?yàn)閝>1，所以q＝2.,(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.,解答,解 設(shè)cn＝(bn＋1－bn)an

3、，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn.,由(1)可得an＝2n－1，,當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝1也滿足上式，,給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.,,跟蹤演練1 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：a1an＝S1＋Sn. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；,解答,解 由已知a1an＝S1＋Sn， ①,當(dāng)n≥2時(shí)，由已知可得a1an－1＝S1＋Sn－1， ②,若a1＝0，則an＝0，此時(shí)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝0.,即此時(shí)數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公

4、比的等比數(shù)列， 故an＝2n(n∈N*). 綜上所述，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝0或an＝2n(n∈N*).,解答,解 因?yàn)閍n>0，故an＝2n.,由n－5≥0，解得n≥5，所以當(dāng)n＝4或n＝5時(shí)，Tn最小，,數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化.,,熱點(diǎn)二 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題,(1)若x≥0時(shí)，f(x)≤0，求λ的最小值；,解答,解 由已知可得f(0)＝0，,①若λ≤0，則當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增， ∴f(x)≥f(0)＝0，不合題意；,則當(dāng)x>0時(shí)，f′(x

5、)<0，f(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤f(0)＝0，符合題意.,證明,以上各式兩邊分別相加可得,解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點(diǎn) (1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別重視. (2)解題時(shí)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件. (3)不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.,,跟蹤演練2 設(shè)fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2. (1)求fn′(2)；,解答,解 由題設(shè)fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1， 所以fn′(2)＝1＋22＋…＋(n－1)2n－2＋n2n－1， ① 則2fn′(2)＝2＋222＋…＋

6、(n－1)2n－1＋n2n， ② 由①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n2n,所以fn′(2)＝(n－1)2n＋1.,證明,證明 因?yàn)閒n(0)＝－10，,,熱點(diǎn)三 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,數(shù)列與不等式的綜合問題把數(shù)列知識與不等式的內(nèi)容整合在一起，形成了關(guān)于證明不等式、求不等式中的參數(shù)取值范圍、求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)、比較數(shù)列中項(xiàng)的大小等問題，求解方法既要用到不等式知識，又要用到數(shù)列的基礎(chǔ)知識，經(jīng)常涉及到放縮法和數(shù)學(xué)歸納法的使用.,例3 (2018浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋(－1)n(n∈N*).,證明,證明 ∵an＋1＝2an＋(－1

7、)n，,證明,證明,數(shù)列中的不等式問題主要有證明數(shù)列不等式、比較大小或恒成立問題，解決方法如下： (1)利用數(shù)列(或函數(shù))的單調(diào)性. (2)放縮法：①先求和后放縮；②先放縮后求和，包括放縮后成等差(或等比)數(shù)列再求和，或者放縮后用裂項(xiàng)相消法求和. (3)數(shù)學(xué)歸納法.,,跟蹤演練3 (2018杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋ (c>0，n∈N*). (1)證明：an＋1>an≥1；,證明,證明 因?yàn)閏>0，a1＝1，,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an≥1. ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1≥1； ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，ak≥1，,所以當(dāng)n∈N*時(shí)，an≥1. 所以an＋1>an≥1.,證明,證

8、明 由(1)知當(dāng)n≥m時(shí)，an≥am≥1，,證明,真題押題精練,真題體驗(yàn),1.(2018全國Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn＝2an＋1，則S6＝________.,解析,答案,－63,解析 ∵Sn＝2an＋1，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1＋1， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， 即an＝2an－1(n≥2). 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1. ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝－1，公比q＝2的等比數(shù)列，,∴S6＝1－26＝－63.,2.(2017浙江)已知數(shù)列{xn}滿足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*). 證明：當(dāng)n

9、∈N*時(shí)， (1)00. 假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，xk>0， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，若xk＋1≤0， 則00， 因此xn>0(n∈N*). 所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1， 因此0