2006年中考數(shù)學(xué)試題匯編及解析 探索型問題

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1、 2006年中考數(shù)學(xué)試題匯編及解析 探索型問題 探索型問題這類問題往往涉及面很廣，主要是探索題設(shè)結(jié)論是否存在，或是否成立，或是讓學(xué)生自己先猜想結(jié)論，再進(jìn)行研究從而得出正確的結(jié)論等等，這些題通常有一定的難度，幾乎在全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試卷中都能見到。 1、（2006浙江舟山）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A為邊在第四象限內(nèi)作等邊△AOB，點(diǎn)C為x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC>1），連結(jié)BC，以BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，直線DA交y軸于點(diǎn)E． （1）試問△OBC與△ABD全等嗎？并證明你的結(jié)論． （2）隨著點(diǎn)C位置的變化，點(diǎn)E的位置是否會(huì)發(fā)生變化，若

2、沒有變化，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若有變化，請(qǐng)說(shuō)明理由． （3）如圖2，以O(shè)C為直徑作圓，與直線DE分別交于點(diǎn)F、G，設(shè)AC=m，AF=n，用含n的代數(shù)式表示m． [解析] （1）兩個(gè)三角形全等 ∵△AOB、△CBD都是等邊三角形 ∴OBA=∠CBD=60° ∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC 即∠OBC=∠ABD ∵OB=AB，BC=BD △OBC≌△ABD （2）點(diǎn)E位置不變 ∵△OBC≌△ABD ∴∠BAD=∠BOC=60° ∠OAE=180°-60°-60°=60°

3、 在Rt△EOA中，EO=OA·tan60°= 或∠AEO=30°，得AE=2，∴OE= ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，） （3）∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知1·m=n·AG，即AG= 又∵OC是直徑，∴OE是圓的切線，OE2=EG·EF 在Rt△EOA中，AE==2 （）2=（2-）（2+n） 即2n2+n-2m-mn=0 解得m=. 2、（2006浙江金華）如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與軸,軸分別交于A(3,0),B(0,)兩點(diǎn), ,點(diǎn)C為線段AB上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)C作CD⊥軸于點(diǎn)D. (1)求直線AB的解析式

4、; (2)若S梯形OBCD＝,求點(diǎn)C的坐標(biāo); (3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以P,O,B為頂點(diǎn)的 三角形與△OBA相似.若存在,請(qǐng)求出所有符合條件 的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. [解析] （1）直線AB解析式為：y=x+． （2）方法一：設(shè)點(diǎn)Ｃ坐標(biāo)為（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．　　 ∴＝＝． 由題意： ＝，解得（舍去）　 ∴?。茫ǎ玻? 方法二：∵　,＝，∴． 由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD． ∴　＝CD×AD＝＝．可得CD＝． ∴　AD=１，OD＝２．∴C（２，）．　　 （３）當(dāng)∠OBP＝Rt∠時(shí)，如圖

5、 ①若△BOP∽△OBA，則∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3， ∴（3，）． ②若△BPO∽△OBA，則∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1． ∴（1，）．　　 當(dāng)∠OPB＝Rt∠時(shí) ③ 過點(diǎn)P作OP⊥BC于點(diǎn)P(如圖)，此時(shí)△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30° 過點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M． 方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝． ∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°， ∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．　　 方法二：設(shè)Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+ 由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠AB

6、O． ∵tan∠POM=== ，tan∠ABOC==． ∴x+＝x，解得x＝．此時(shí)，（，）． 　　　 ④若△POB∽△OBA(如圖)，則∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．　　　 　 ∴　PM＝OM＝． ∴　（，）（由對(duì)稱性也可得到點(diǎn)的坐標(biāo)）． 當(dāng)∠OPB＝Rt∠時(shí)，點(diǎn)P在ｘ軸上,不符合要求. 綜合得，符合條件的點(diǎn)有四個(gè)，分別是： （3，），（1，），（，），（，）． 3、（2006湖南常德）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)． （1）若拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，求拋物線的解析式，并判斷點(diǎn)是否在該拋物線上． （2）在（1）中的拋

7、物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最?。? （3）設(shè)為（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． [解析] （1）， 　　　　　， 　　　　　又在中，， 　　　　　 　　　　　的坐標(biāo)為 　　　　又兩點(diǎn)在拋物線上， 　　　　　解得 　　　　　拋物線的解析式為： 　　　　　當(dāng)時(shí)， 　　　　　點(diǎn)在拋物線上 　　　　（2） 　　　　　　　　 　　　　　　　拋物線的對(duì)稱軸方程為 　　　　　　　在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小． 　　　　　　　的長(zhǎng)為定值　　　要使周長(zhǎng)最小只需最?。?/p>

8、 　　　　　　　連結(jié)，則與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為使周長(zhǎng)最小的點(diǎn)． 　　　　　　　設(shè)直線的解析式為． 　　　　　　　由得 　　　　　　　直線的解析式為 　　　　　　　由得 　　　　　　　故點(diǎn)的坐標(biāo)為 　　　　?。?）存在，設(shè)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在拋物線上要使四邊形為平行四邊形，則且，點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)． 　　　　　　于是，過點(diǎn)作直線與拋物線交于點(diǎn) 　　　　　　由得 　　　　　　從而， 　　　　　　故在拋物線上存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形． 4、（2006湖南常德）把兩塊全等的直角三角形和疊放在一起，使三角板的銳角頂點(diǎn)與三角板的斜邊中點(diǎn)重合，其中，，，把三角板固定不動(dòng)，讓三角

9、板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線與射線相交于點(diǎn)，射線與線段相交于點(diǎn)． （1）如圖9，當(dāng)射線經(jīng)過點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，易證．此 時(shí)，　　　　　?。? （2）將三角板由圖1所示的位置繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其中 ，問的值是否改變？說(shuō)明你的理由． Ｂ Ｅ Ｐ Ａ Ｄ(Ｏ) Ｃ Ｑ Ｆ Ｍ Ｂ Ｅ Ｐ Ａ Ｃ Ｑ Ｆ Ｄ(Ｏ) Ｄ(Ｏ) B(Q) C F E A P 圖1 圖3 圖3 （3）在（2）的條件下，設(shè)，兩塊三角板重疊面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式． [解析] （1）8 Ｂ Ｅ Ｐ Ａ

10、Ｄ（Ｏ） Ｃ Ｑ Ｆ 　?。?）的值不會(huì)改變． 　　理由如下：在與中， 　　 　　 　　即 　　 Ｂ Ｅ Ｐ Ａ Ｄ（Ｏ） Ｃ Ｑ Ｆ Ｎ Ｍ Ｇ （3）情形1：當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)兩三角板重疊部分為四邊形，過作于，于， 　　 　　由（2）知：得 　　于是 　　　　 　　情形2：當(dāng)時(shí)，時(shí)，即，此時(shí)兩三角板重疊部分為， 　　由于，，易證：， 　　即解得 　　 　　于是 　　綜上所述，當(dāng)時(shí)， 　　　　　　　當(dāng)時(shí)， 　　　　　　　　　　　　　　　 法二：連結(jié)，并過作于點(diǎn)，在與中， 　　 即 　　 法

11、三：過作于點(diǎn)，在中， 　　 　　　　 　　　　 　于是在與中 　 　　　　　 　　　　　 即 5、（2006湖北宜昌）如圖，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（n，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)(n＜0）以AO為一邊作矩形AOBC，點(diǎn)C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o得矩形AGDE．過點(diǎn)A的直線y＝kx＋m 交y軸于點(diǎn)F，F(xiàn)B＝FA．拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)E、F、G且和直線AF交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M． (1)求k的值； (2)點(diǎn)A位置改變時(shí)，△AMH的面積和矩形AOBC 的面積的比值是否改變？說(shuō)明你的理由． [解析] （

12、1）根據(jù)題意得到：E（3n，0）， G（n，－n） 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝kx＋m＝m，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，m） ∵Rt△AOF中，AF2＝m2＋n2， ∵FB＝AF， ∴m2＋n2＝(-2n－m)2， 化簡(jiǎn)得：m＝－0.75n， 對(duì)于y＝kx＋m，當(dāng)x＝n時(shí)，y＝0， ∴0＝kn－0.75n， ∴k＝0.75 （2）∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)E、F、G， ∴ 解得：a＝，b＝－，c＝－0.75n ∴拋物線為y=x2－x－0.75n 解方程組： 得：x1＝5n，y1＝3n；x2＝0，y2＝－0.75n ∴H坐標(biāo)是：（5n，3n），HM＝－

13、3n，AM＝n－5n＝－4n， ∴△AMH的面積＝0.5×HM×AM＝6n2； 而矩形AOBC 的面積＝2n2，∴△AMH的面積∶矩形AOBC 的面積＝3:1，不隨著點(diǎn)A的位置的改變而改變． 6、（2006山東日照）如圖（1），在以AB為直徑的半圓O內(nèi)有一點(diǎn)P，AP、BP的延長(zhǎng)線分別交半圓O于點(diǎn)C、D．求證：AP·AC+BP·BD=AB2． 證明：連結(jié)AD、BC，過P作PM⊥AB，則∠ADB=∠AMP=90ｏ， ∴點(diǎn)D、M在以AP為直徑的圓上；同理：M、C在以BP為直徑的圓上． 由割線定理得： AP·AC=AM·AB，BP·BD=BM·BA， 所以，AP·AC+BP·BD=A

14、M·AB+BM·AB=AB·（AM+BM）=AB2． 當(dāng)點(diǎn)P在半圓周上時(shí)，也有AP·AC+BP·BD=AP2+BP2=AB2成立，那么： （1）如圖（2）當(dāng)點(diǎn)P在半圓周外時(shí)，結(jié)論AP·AC+BP·BD=AB2是否成立？為什么？ （2）如圖（3）當(dāng)點(diǎn)P在切線BE外側(cè)時(shí)，你能得到什么結(jié)論？將你得到的結(jié)論寫出來(lái)． [解析] （1）成立． 證明：如圖（2），∵∠PCM=∠PDM=900， ∴點(diǎn)C、D在以PM為直徑的圓上， ∴AC·AP=AM·MD，BD·BP=BM·BC， ∴AC·AP+BD·BP=AM·MD+BM·BC，

15、 由已知，AM·MD+BM·BC=AB2， ∴AP·AC+BP·BD=AB2． （2）如圖（3），過P作PM⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于M，連結(jié)AD、BC， 則C、M在以PB為直徑的圓上，∴AP·AC=AB·AM，① D、M在以PA為直徑的圓上，∴BP·BD=AB·BM，② 由圖象可知：AB=AM-BM，③ 由①②③可得：AP·AC-BP·BD=AB·（AM-BM）=AB2． 7、（2006江西南昌）問題背景；課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題： ①如圖1，在正三角形ABC中，M，

16、N分別是AC、AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=60°．則BM=CN： ②如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點(diǎn)．BM 與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=90°．則BM=CN. 然后運(yùn)用類似的思想提出了如下命題： ③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=108°，則BM=CN. 任務(wù)要求 (1)請(qǐng)你從①．②，③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明； (2) 請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索； ①如圖4，在正n(n≧3)邊形ABCDEF中，M，N分別是CD、DE

17、上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，試問當(dāng)∠BON等于多少度時(shí)，結(jié)論BM=CN成立(不要求證明) ②如圖5，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE，AE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，∠BON=108°時(shí)，試問結(jié)論BM=CN是否還 成立，若成立，請(qǐng)給予證明．若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 (I)我選 [解析] （1） 如選命題① 證明：在圖1中，∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60° ∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3 又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN ∴BM=CN （2）如選命題② 證明：在圖2中，∵∵∠BON=90°

18、∴∠1+∠2=90° ∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3 又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM≌ΔCDN ∴BM=CN （3）如選命題③ 證明；在圖3中，∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108° ∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3 又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108° ∴ΔBCM≌ΔCDN ∴BM=CN (2)①答：當(dāng)∠BON=時(shí)結(jié)論BM=CN成立． ②答當(dāng)∠BON=108°時(shí)。BM=CN還成立 證明；如圖5連結(jié)BD、CE. 在△BCI)和△CDE中 ∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,

19、CD=DE ∴ΔBCD≌ ΔCDE ∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN ∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN ∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108° ∴∠MBC=∠NCD 又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN ∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN 8、（2006江西南昌）已知拋物線，經(jīng)過點(diǎn)A(0，5)和點(diǎn)B（3 ，2） (1)求拋物線的解析式： (2)現(xiàn)有一半徑為l，圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)圓，問⊙P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在⊙P 與坐標(biāo)軸相切的情況？

20、若存在，請(qǐng)求出圓心P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)若⊙ Q的半徑為r，點(diǎn)Q 在拋物線上、⊙Q與兩坐軸都相切時(shí)求半徑r的值 [解析] (1)由題意，得； 拋物線的解析式為 (2)當(dāng)⊙P在運(yùn)動(dòng)過程中，存在⊙P與坐標(biāo)軸相切的情況． 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為()，則 則當(dāng)⊙P與y軸相切時(shí)，有=1，=±1 由= -1，得， 由= 1，得6 當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)有 ∵ 拋物線開口向上，且頂點(diǎn)在x軸的上方．∴=1 由=1，得，解得=2，B(2，1) 綜上所述，符合要求的圓心P有三個(gè)，其坐標(biāo)分別為：

21、(3)設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(x，y)，則當(dāng)⊙Q與兩條坐標(biāo)軸都相切時(shí)，有y=x 由y=x得，即，解得 由y=-x，得．即，此方程無(wú)解 ∴⊙O的半徑為 9、（2006湖南長(zhǎng)沙）如圖1，已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)． （1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求線段的垂直平分線的解析式； （3）如圖2，取與線段等長(zhǎng)的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在兩處．用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖在直線上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)將與構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形，這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由． P A

22、圖2 圖1 （1）解：依題意得解之得 （2）作的垂直平分線交軸，軸于兩點(diǎn)，交于（如圖1） 圖1 D M A C B Ｅ 由（1）可知： 過作軸，為垂足 由，得：， 同理： 設(shè)的解析式為 的垂直平分線的解析式為：． （3）若存在點(diǎn)使的面積最大，則點(diǎn)在與直線平行且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線上，并設(shè)該直線與軸，軸交于兩點(diǎn)（如圖2）． P A 圖2 H G B 拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)， ， 在直線中， 設(shè)到的距離為， 到的距離等于到的距離． ．