2006年中考數(shù)學(xué)試題匯編及解析 探索型問題

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1、2006年中考數(shù)學(xué)試題匯編及解析 探索型問題探索型問題這類問題往往涉及面很廣，主要是探索題設(shè)結(jié)論是否存在，或是否成立，或是讓學(xué)生自己先猜想結(jié)論，再進(jìn)行研究從而得出正確的結(jié)論等等，這些題通常有一定的難度，幾乎在全國各地的中考數(shù)學(xué)試卷中都能見到。1、（2006浙江舟山）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A為邊在第四象限內(nèi)作等邊AOB，點(diǎn)C為x軸的正半軸上一動點(diǎn)（OC1），連結(jié)BC，以BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊CBD，直線DA交y軸于點(diǎn)E（1）試問OBC與ABD全等嗎？并證明你的結(jié)論（2）隨著點(diǎn)C位置的變化，點(diǎn)E的位置是否會發(fā)生變化，若沒有變化，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若有變化，請說明理由

2、（3）如圖2，以O(shè)C為直徑作圓，與直線DE分別交于點(diǎn)F、G，設(shè)AC=m，AF=n，用含n的代數(shù)式表示m解析 （1）兩個三角形全等 AOB、CBD都是等邊三角形 OBA=CBD=60 OBA+ABC=CBD+ABC 即OBC=ABD OB=AB，BC=BD OBCABD （2）點(diǎn)E位置不變 OBCABD BAD=BOC=60 OAE=180-60-60=60 在RtEOA中，EO=OAtan60= 或AEO=30，得AE=2，OE=點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，） （3）AC=m，AF=n，由相交弦定理知1m=nAG，即AG= 又OC是直徑，OE是圓的切線，OE2=EGEF 在RtEOA中，AE=2 （）2

3、=（2-）（2+n） 即2n2+n-2m-mn=0 解得m=.2、（2006浙江金華）如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與軸,軸分別交于A(3,0),B(0,)兩點(diǎn), ,點(diǎn)C為線段AB上的一動點(diǎn),過點(diǎn)C作CD軸于點(diǎn)D.(1)求直線AB的解析式;(2)若S梯形OBCD,求點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以P,O,B為頂點(diǎn)的三角形與OBA相似.若存在,請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解析 （1）直線AB解析式為：y=x+ （2）方法一：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+），那么ODx，CDx+ 由題意： ，解得（舍去）（，）方法二：,，由OA=OB，得BAO30，AD=CDC

4、DAD可得CD AD=，ODC（，）（）當(dāng)OBPRt時，如圖 若BOPOBA，則BOPBAO=30，BP=OB=3，（3，） 若BPOOBA，則BPOBAO=30,OP=OB=1（1，）當(dāng)OPBRt時 過點(diǎn)P作OPBC于點(diǎn)P(如圖)，此時PBOOBA，BOPBAO30過點(diǎn)P作PMOA于點(diǎn)M方法一： 在RtPBO中，BPOB，OPBP 在RtPO中，OPM30， OMOP；PMOM（，）方法二：設(shè)（x ，x+），得OMx ，PMx+由BOPBAO,得POMABOtanPOM= ，tanABOC=x+x，解得x此時，（，） 若POBOBA(如圖)，則OBP=BAO30，POM30 PMOM（，）（

5、由對稱性也可得到點(diǎn)的坐標(biāo)）當(dāng)OPBRt時，點(diǎn)P在軸上,不符合要求.綜合得，符合條件的點(diǎn)有四個，分別是：（3，），（1，），（，），（，）3、（2006湖南常德）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)（1）若拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，求拋物線的解析式，并判斷點(diǎn)是否在該拋物線上（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上求一點(diǎn)，使得的周長最?。?）設(shè)為（1）中的拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解析 （1），又在中，的坐標(biāo)為 又兩點(diǎn)在拋物線上，解得拋物線的解析式為： 當(dāng)時，點(diǎn)在拋物線上（2）拋物線的對稱軸

6、方程為 在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)，使的周長最小的長為定值要使周長最小只需最小連結(jié)，則與對稱軸的交點(diǎn)即為使周長最小的點(diǎn)設(shè)直線的解析式為由得直線的解析式為由得故點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3）存在，設(shè)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，在拋物線上要使四邊形為平行四邊形，則且，點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)于是，過點(diǎn)作直線與拋物線交于點(diǎn)由得從而，故在拋物線上存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形4、（2006湖南常德）把兩塊全等的直角三角形和疊放在一起，使三角板的銳角頂點(diǎn)與三角板的斜邊中點(diǎn)重合，其中，把三角板固定不動，讓三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線與射線相交于點(diǎn)，射線與線段相交于點(diǎn)（1）如圖9，當(dāng)射線經(jīng)過點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時，易證此時，（2）將三角板由圖1

7、所示的位置繞點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為其中，問的值是否改變？說明你的理由()()()B(Q)CFEAP圖1圖3圖3（3）在（2）的條件下，設(shè)，兩塊三角板重疊面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式解析 （1）8 （）（2）的值不會改變 理由如下：在與中，即 （）（3）情形1：當(dāng)時，即，此時兩三角板重疊部分為四邊形，過作于，于，由（2）知：得于是 情形2：當(dāng)時，時，即，此時兩三角板重疊部分為，由于，易證：，即解得于是綜上所述，當(dāng)時，當(dāng)時， 法二：連結(jié)，并過作于點(diǎn)，在與中，即法三：過作于點(diǎn)，在中，于是在與中即5、（2006湖北宜昌）如圖，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（n，0）是x軸上一動點(diǎn)(n0）以AO為一邊作矩形A

8、OBC，點(diǎn)C在第二象限，且OB2OA矩形AOBC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90o得矩形AGDE過點(diǎn)A的直線ykxm 交y軸于點(diǎn)F，F(xiàn)BFA拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)E、F、G且和直線AF交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HMx軸，垂足為點(diǎn)M(1)求k的值；(2)點(diǎn)A位置改變時，AMH的面積和矩形AOBC 的面積的比值是否改變？說明你的理由解析 （1）根據(jù)題意得到：E（3n，0）， G（n，n）當(dāng)x0時，ykxmm，點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，m）RtAOF中，AF2m2n2，F(xiàn)BAF，m2n2(-2nm)2，化簡得：m0.75n， 對于ykxm，當(dāng)xn時，y0，0kn0.75n，k0.75 （2）拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)

9、E、F、G， 解得：a，b，c0.75n 拋物線為y=x2x0.75n 解方程組： 得：x15n，y13n；x20，y20.75n H坐標(biāo)是：（5n，3n），HM3n，AMn5n4n，AMH的面積0.5HMAM6n2； 而矩形AOBC 的面積2n2，AMH的面積矩形AOBC 的面積3:1，不隨著點(diǎn)A的位置的改變而改變 6、（2006山東日照）如圖（1），在以AB為直徑的半圓O內(nèi)有一點(diǎn)P，AP、BP的延長線分別交半圓O于點(diǎn)C、D求證：APAC+BPBD=AB2證明：連結(jié)AD、BC，過P作PMAB，則ADB=AMP=90，點(diǎn)D、M在以AP為直徑的圓上；同理：M、C在以BP為直徑的圓上由割線定理得：

10、 APAC=AMAB，BPBD=BMBA，所以，APAC+BPBD=AMAB+BMAB=AB（AM+BM）=AB2當(dāng)點(diǎn)P在半圓周上時，也有APAC+BPBD=AP2+BP2=AB2成立，那么： （1）如圖（2）當(dāng)點(diǎn)P在半圓周外時，結(jié)論APAC+BPBD=AB2是否成立？為什么？（2）如圖（3）當(dāng)點(diǎn)P在切線BE外側(cè)時，你能得到什么結(jié)論？將你得到的結(jié)論寫出來解析 （1）成立 證明：如圖（2），PCM=PDM=900，點(diǎn)C、D在以PM為直徑的圓上， ACAP=AMMD，BDBP=BMBC，ACAP+BDBP=AMMD+BMBC， 由已知，AMMD+BMBC=AB2， APAC+BPBD=AB2 （2

11、）如圖（3），過P作PMAB，交AB的延長線于M，連結(jié)AD、BC，則C、M在以PB為直徑的圓上，APAC=ABAM，D、M在以PA為直徑的圓上，BPBD=ABBM， 由圖象可知：AB=AM-BM，由可得：APAC-BPBD=AB（AM-BM）=AB2 7、（2006江西南昌）問題背景；課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個命題： 如圖1，在正三角形ABC中，M，N分別是AC、AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON=60則BM=CN： 如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點(diǎn)BM 與CN相交于點(diǎn)O，若BON=90則BM=CN.然后運(yùn)用類似的思想提出了如下命題： 如圖3，

12、在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若BON=108，則BM=CN. 任務(wù)要求 (1)請你從，三個命題中選擇一個進(jìn)行證明； (2) 請你繼續(xù)完成下面的探索； 如圖4，在正n(n3)邊形ABCDEF中，M，N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，試問當(dāng)BON等于多少度時，結(jié)論BM=CN成立(不要求證明) 如圖5，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE，AE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，BON=108時，試問結(jié)論BM=CN是否還成立，若成立，請給予證明若不成立，請說明理由(I)我選 解析 （1） 如選命題 證明：在圖1中，BON=601+2=603

13、+2=60，1=3 又BC=CA，BCM=CAN=60BCMCAN BM=CN （2）如選命題證明：在圖2中，BON=901+2=903+2=90，1=3 又BC=CD，BCM=CDN=90BCMCDN BM=CN （3）如選命題證明；在圖3中，BON=1081+2=1082+3=1081=3 又BC=CD，BCM=CDN=108BCMCDN BM=CN (2)答：當(dāng)BON=時結(jié)論BM=CN成立 答當(dāng)BON=108時。BM=CN還成立 證明；如圖5連結(jié)BD、CE. 在BCI)和CDE中BC=CD, BCD=CDE=108,CD=DEBCD CDE BD=CE , BDC=CED, DBC=CE

14、N CDE=DEC=108, BDM=CEN OBC+ECD=108, OCB+OCD=108MBC=NCD又DBC=ECD=36, DBM=ECN BDM CNE BM=CN 8、（2006江西南昌）已知拋物線，經(jīng)過點(diǎn)A(0，5)和點(diǎn)B（3 ，2） (1)求拋物線的解析式： (2)現(xiàn)有一半徑為l，圓心P在拋物線上運(yùn)動的動圓，問P在運(yùn)動過程中，是否存在P 與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，請求出圓心P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由； (3)若 Q的半徑為r，點(diǎn)Q 在拋物線上、Q與兩坐軸都相切時求半徑r的值解析 (1)由題意，得； 拋物線的解析式為 (2)當(dāng)P在運(yùn)動過程中，存在P與坐標(biāo)軸相切的情況 設(shè)點(diǎn)

15、P坐標(biāo)為()，則 則當(dāng)P與y軸相切時，有=1，=1 由= -1，得， 由= 1，得6 當(dāng)P與x軸相切時有 拋物線開口向上，且頂點(diǎn)在x軸的上方=1 由=1，得，解得=2，B(2，1) 綜上所述，符合要求的圓心P有三個，其坐標(biāo)分別為： (3)設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(x，y)，則當(dāng)Q與兩條坐標(biāo)軸都相切時，有y=x 由y=x得，即，解得 由y=-x，得即，此方程無解 O的半徑為 9、（2006湖南長沙）如圖1，已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段的垂直平分線的解析式；（3）如圖2，取與線段等長的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在兩處用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖在直線上方的拋物線上移動，動點(diǎn)將與構(gòu)成無數(shù)個三角形，這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請簡要說明理由PA圖2圖1（1）解：依題意得解之得 （2）作的垂直平分線交軸，軸于兩點(diǎn)，交于（如圖1）圖1DMACB 由（1）可知： 過作軸，為垂足 由，得：， 同理： 設(shè)的解析式為 的垂直平分線的解析式為：（3）若存在點(diǎn)使的面積最大，則點(diǎn)在與直線平行且和拋物線只有一個交點(diǎn)的直線上，并設(shè)該直線與軸，軸交于兩點(diǎn)（如圖2） PA圖2HGB 拋物線與直線只有一個交點(diǎn)， ， 在直線中， 設(shè)到的距離為， 到的距離等于到的距離