【步步高】屆高三數學大一輪復習 平面向量的基本定理及坐標表示學案 理 新人教A版

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1、 學案26　平面向量的基本定理及坐標表示 導學目標： 1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件． 自主梳理 1．平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個________向量，那么對于這一平面內的任意向量a，__________一對實數λ1，λ2，使a＝______________. 我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組________． 2．夾角 （1）已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a

2、與b的________． (2)向量夾角θ的范圍是________，a與b同向時，夾角θ＝____；a與b反向時，夾角θ＝____. (3)如果向量a與b的夾角是________，我們說a與b垂直，記作________． 3．把一個向量分解為兩個____________的向量，叫做把向量正交分解． 4．在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內的一個向量a，有且只有一對實數x，y使a＝xi＋yj，我們把有序數對______叫做向量a的________，記作a＝________，其中x叫a在________上的坐標，y叫a在________

3、上的坐標． 5．平面向量的坐標運算 (1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和實數λ，那么a＋b＝________________________，a－b＝________________________，λa＝________________. （2）已知A（），B（），則＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的__________的坐標減去__________的坐標． 6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (b≠0)，則a∥b的充要條件是________________________． 7．

4、(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1P2的中點P的坐標為________________________________． (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則△P1P2P3的重心P的坐標為_______________． 自我檢測 1．(2010·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，則“x＝4”是“|a|＝5”的 (　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 2．設a＝，b＝，且a∥b，則銳角α為

5、 (　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 3.（2011·馬鞍山模擬）已知向量a=(6，-4)，b（0，2），＝c＝a＋λb，若C點在函數y＝sin x的圖象上，則實數λ等于 (　　) A. B. C．－ D．－ 4．(2010·陜西)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，則m＝________. 5.（2009·安徽）給

6、定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動，若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是______. 探究點一　平面向量基本定理的應用 例1 如圖所示，在△OAB中，＝，＝，AD與BC交于點M，設＝a，＝b，以a、b為基底表示. 變式遷移1 （2011·廈門模擬）如圖，平面內有三個向量、、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，則λ＋μ的值為________． 探究點二　平面向量的坐標運算 例2 已知A（-

7、2，4），B（3，-1），C（-3，-4），且＝3，＝2，試求點M，N和的坐標． 變式遷移2 已知點A（1，-2），若向量|與a＝(2,3)同向，||＝2，則點B的坐標為________． 探究點三　在向量平行下求參數問題 例3　(2011·嘉興模擬)已知平面內三個向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求滿足a＝mb＋nc的實數m、n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數k. 變式遷移3　(2009·江西)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k＝________. 1．在

8、解決具體問題時，合理地選擇基底會給解題帶來方便．在解有關三角形的問題時，可以不去特意選擇兩個基本向量，而可以用三邊所在的三個向量，最后可以根據需要任意留下兩個即可，這樣思考問題要簡單得多． 2.平面直角坐標系中，以原點為起點的向量＝a，點A的位置被a所唯一確定，此時a的坐標與點A的坐標都是(x，y)．向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即向量(x，y)向量點A(x，y)．要把點的坐標與向量的坐標區(qū)分開，相等的向量坐標是相同的，但起點、終點的坐標可以不同，也不能認為向量的坐標是終點的坐標，如A(1,2)，B(3,4)，則＝(2,2)． (滿分：75分) 一、選擇題(每

9、小題5分，共25分) 1.已知a,b是不共線的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b， (λ1，λ2∈R)，則A、B、C三點共線的充要條件為 (　　) A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1 C．λ1λ2－1＝0 D．λ1λ2＋1＝0 2.如圖所示，平面內的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括邊界）.若＝a＋b，且點P落在第Ⅲ部分，則實數a，b滿足 (　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0

10、C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 3．(2011·湛江月考)設兩個向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ、m、α為實數．若a＝2b，則的取值范圍是 (　　) A．[－6,1] B．[4,8] C．(－∞，1] D．[－1,6] 4.設0≤θ≤2π時，已知兩個向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，則向量長度的最大值是 (　

11、　) A. B. C．3 D．2 5.在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則等于(　　) A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4) 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6.（2011·煙臺模擬）如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點.過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若＝m，＝n，則m＋n的值為______． 7．在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC.

12、已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8，6)，則D點的坐標為________． 8.(2009·天津)在四邊形ABCD中，＝＝(1,1)，·＋·＝·，則四邊形ABCD的面積為________． 三、解答題(共38分) 9.（12分）已知A、B、C三點的坐標分別為（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且＝，＝.求證：∥. 10．(12分)(2011·宣城模擬)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知向量m＝(a，b)，向量n＝(cos A，cos B)，向量p＝(2sin，2sin A)，若m∥n，p2＝9，求證：△ABC為等邊三角形．

13、 11.（14分）如圖，在邊長為1的正△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，若＝m，＝n，m，n∈(0,1)．設EF的中點為M，BC的中點為N. (1)若A，M，N三點共線，求證：m＝n； （2）若m+n=1,求的最小值． 答案 自主梳理 1．不共線　有且只有　λ1e1＋λ2e2　基底　2.(1)夾角 (2)[0，π]　0　π　(3)　a⊥b　 3.互相垂直　4.(x，y)　坐標　(x，y)　x軸　y軸　5.(1)(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(λx1，λy1)　(2)終點　始點 6．x1y2－x2y1＝0　7.(1) (2

14、) 自我檢測 1．A　[由x＝4知|a|＝＝5；由|a|＝＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要條件．] 2．B　[∵a∥b，∴×－sin αcos α＝0， ∴sin 2α＝1,2α＝90°，α＝45°.] 3．A　[c＝a＋λb＝(6，－4＋2λ)，代入y＝sin x得， －4＋2λ＝sin ＝1，解得λ＝.] 4．－1 解析　a＋b＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c， 得1×2－(m－1)×(－1)＝0，所以m＝－1. 5．2 解析　建立如圖所示的坐標系， 則A(1,0)，B(cos 120°，sin 120°)， 即B(－，)

15、． 設＝,則＝ (cos α，sin α)． ∵＝x＋y ＝(x,0)＋＝(cos α，sin α)． ∴　∴ ∴x＋y＝sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x＋y有最大值2，當α＝60°時取最大值． 課堂活動區(qū) 例1　解題導引 本題利用方程的思想，設=ma+nb，通過建立關于m、n的方程求解，同時注意體會應用向量法解決平面幾何問題的方法. 解 設＝ma＋nb (m，n∈R)， 則＝－＝(m－1)a＋nb， ＝－＝b－a＝－a＋b. 因為A，M，D三點共線，所以＝，即m＋2n＝1. 而＝－

16、＝a＋nb， ＝－＝b－a＝－a＋b， 因為C，M，B三點共線，所以＝， 即4m＋n＝1.由　解得 所以＝a＋b. 變式遷移1　6 解析 如右圖，＝＋ ＝λ＋μ 在△OCD中，∠COD＝30°，∠OCD＝∠COB＝90°， 可求||＝4，同理可求||＝2， ∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6. 例2　解　∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， ∴＝(1,8)，＝(6,3)． ∴＝3＝(3,24)， ＝2＝(12,6)． 設M（x，y），則＝(x＋3，y＋4)＝(3,24)， ∴　∴　∴M(0,20)． 同理可得N（

17、9，2），因此=（9，－18）. ∴所求M（0，20），N（9，2），＝(9，－18)． 變式遷移2　(5,4) 解析　∵向量與a同向， ∴設＝(2t,3t) (t>0)． 由||＝2，∴4t2＋9t2＝4×13.∴t2＝4. ∵t>0，∴t＝2.∴＝(4,6)． 設B為(x，y)，∴　∴ 例3　解　(1)∵a＝mb＋nc，m，n∈R， ∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)． ∴　解之得 (2)∵(a＋kc)∥(2b－a)， 且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0，

18、∴k＝－. 變式遷移3　5 解析　∵a－c＝(3,1)－(k,7)＝(3－k，－6)， 且(a－c)∥b，∴＝，∴k＝5. 課后練習區(qū) 1．C　[∵A、B、C三點共線?與共線?＝k?∴λ1λ2－1＝0.] 2.B [由于點P落在第Ⅲ部分，且＝a＋b，則根據實數與向量的積的定義及平行四邊形法則知a>0，b<0.] 3．A　[∵2b＝(2m，m＋2sin α)，∴λ＋2＝2m， λ2－cos2α＝m＋2sin α，∴(2m－2)2－m＝cos2α＋2sin α， 即4m2－9m＋4＝1－sin2α＋2sin α. 又∵－2≤1－sin2α＋2sin α≤2， ∴－2≤4m2

19、－9m＋4≤2，解得≤m≤2， ∴≤≤4.又∵λ＝2m－2， ∴＝2－，∴－6≤2－≤1.] 6．2 解析　方法一　若M與B重合，N與C重合， 則m＋n＝2. 方法二 ∵2＝＋＝m＋n， ＝＝. ∵O、M、N共線，∴＋＝1. ∴m＋n＝2. 7．(0，－2) 解析　設D點的坐標為(x，y)， 由題意知＝， 即(2，－2)＝(x＋2，y)，所以x＝0，y＝－2，∴D(0，－2)． 8. S＝||＝||sin 60°＝××＝. 9．證明　設E、F兩點的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則依題意，得＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)

20、． ∴＝＝， ＝＝. ∴＝(x1，y1)－(－1,0)＝， ＝(x2，y2)－(3，－1)＝.…………………………………………………(4分) ∴(x1，y1)＝＋(－1,0) ＝， (x2，y2)＝＋(3，－1)＝. ∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝.…………………………………………………(8分) 又∵＝(4，－1)，∴4×－(－1)×＝0， ∴∥.……………………………………………………………………………(12分) 10．證明　∵m∥n，∴acos B＝bcos A. 由正弦定理，得sin Acos B＝sin Bcos A， 即sin(A－B)＝0. ∵A、

21、B為三角形的內角， ∴－π