2015年步步高二輪復(fù)習(xí)-專題六 第3講 圓錐曲線中的熱點問題

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1、 第3講　圓錐曲線中的熱點問題 考情解讀　1.本部分主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以橢圓或拋物線為背景，考查弦長、定點、定值、最值、范圍問題或探索性問題，試題難度較大.2.求軌跡方程也是高考的熱點與重點，若在客觀題中出現(xiàn)通常用定義法，若在解答題中出現(xiàn)一般用直接法、代入法、參數(shù)法或待定系數(shù)法，往往出現(xiàn)在解答題的第(1)問中． 1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (1)直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法： 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程．若Δ>0，則直線與橢圓相交；若Δ＝0，則直線與橢圓相切；若Δ<0，則直線與橢圓相離． (2)直線與雙曲線

2、的位置關(guān)系的判定方法： 將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，當(dāng)Δ>0時，直線與雙曲線相交；當(dāng)Δ＝0時，直線與雙曲線相切；當(dāng)Δ<0時，直線與雙曲線相離． ②若a＝0時，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個交點． (3)直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法： 將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①當(dāng)a≠0時，用Δ判定，方法同上． ②當(dāng)a＝0時，直線與拋物線的對稱軸平行，只有一個交點． 2．有關(guān)弦長問題 有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長

3、公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運(yùn)用，以簡化運(yùn)算． (1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長|P1P2|＝|x2－x1|或|P1P2|＝|y2－y1|，其中求|x2－x1|與|y2－y1|時通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形： |x2－x1|＝， |y2－y1|＝. (2)當(dāng)斜率k不存在時，可求出交點坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用兩點間距離公式)． 3．弦的中點問題 有關(guān)弦的中點問題，應(yīng)靈活運(yùn)用“點差法”，“設(shè)而不求法”來簡化運(yùn)算． 4．軌跡方程問題 (1)求軌跡方程的基本步驟： ①建立適當(dāng)?shù)钠?/p>

4、面直角坐標(biāo)系，設(shè)出軌跡上任一點的坐標(biāo)——解析法(坐標(biāo)法)． ②尋找動點與已知點滿足的關(guān)系式——幾何關(guān)系． ③將動點與已知點的坐標(biāo)代入——幾何關(guān)系代數(shù)化． ④化簡整理方程——簡化． ⑤證明所得方程為所求的軌跡方程——完成其充要性． (2)求軌跡方程的常用方法： ①直接法：將幾何關(guān)系直接翻譯成代數(shù)方程； ②定義法：滿足的條件恰適合某已知曲線的定義，用待定系數(shù)法求方程； ③代入法：把所求動點的坐標(biāo)與已知動點的坐標(biāo)建立聯(lián)系； ④交軌法：寫出兩條動直線的方程直接消參，求得兩條動直線交點的軌跡； (3)注意①建系要符合最優(yōu)化原則；②求軌跡與“求軌跡方程”不同，軌跡通常指的是圖形，而軌跡

5、方程則是代數(shù)表達(dá)式．步驟②⑤省略后，驗證時常用途徑：化簡是否同解變形，是否滿足題意，驗證特殊點是否成立等. 熱點一　圓錐曲線中的范圍、最值問題 例1　(2013·浙江)如圖，點P(0，－1)是橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2＋y2＝4的直徑．l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點，l2交橢圓C1于另一點D. (1)求橢圓C1的方程； (2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程． 思維啟迪　(1)P點是橢圓上頂點，圓C2的直徑等于橢圓長軸長；(2)設(shè)直線l1的斜率為k，將△ABD的面積表示為關(guān)于k的函數(shù)． 解　(1

6、)由題意得 所以橢圓C1的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)． 由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k， 則直線l1的方程為y＝kx－1. 又圓C2：x2＋y2＝4， 故點O到直線l1的距離 d＝， 所以|AB|＝2＝2. 又l2⊥l1，故直線l2的方程為x＋ky＋k＝0. 由 消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0， 故x0＝－. 所以|PD|＝. 設(shè)△ABD的面積為S， 則S＝|AB|·|PD|＝， 所以S＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)k＝±時取等號． 所以所求直線l1的方程為y＝±x－1. 思維升華　求最值及參

7、數(shù)范圍的方法有兩種：①根據(jù)題目給出的已知條件或圖形特征列出一個關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，將其代入由題目列出的不等式(即為消元)，然后求解不等式；②由題目條件和結(jié)論建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域． 　已知橢圓C的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過點P(1，)． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)線段PQ是橢圓過點F2的弦，且＝λ，求△PF1Q內(nèi)切圓面積最大時實數(shù)λ的值． 解　(1)e＝＝，P(1，)滿足＋＝1， 又a2＝b2＋c2，∵a2＝4，b2＝3， ∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)顯然直線PQ不與x軸重合， 當(dāng)直線PQ與x軸垂直時，|PQ|＝3，|F1

8、F2|＝2， S△PF1Q＝3； 當(dāng)直線PQ不與x軸垂直時，設(shè)直線PQ：y＝k(x－1)，k≠0代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程， 整理，得(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0， Δ>0，y1＋y2＝，y1·y2＝. S△PF1Q＝×|F1F2|×|y1－y2|＝12， 令t＝3＋4k2，∴t>3，k2＝， ∴S△PF1Q＝3， ∵0<<， ∴S△PF1Q∈(0,3)， ∴當(dāng)直線PQ與x軸垂直時S△PF1Q最大，且最大面積為3. 設(shè)△PF1Q內(nèi)切圓半徑為r， 則S△PF1Q＝(|PF1|＋|QF1|＋|PQ|)·r＝4r≤3. 即rmax＝，此時直線PQ與x軸垂直，△PF1Q內(nèi)

9、切圓面積最大， ∴＝，∴λ＝1. 熱點二　圓錐曲線中的定值、定點問題 例2　(2013·陜西)已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8. (1)求動圓圓心的軌跡C的方程； (2)已知點B(－1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明：直線l過定點． 思維啟迪　(1)設(shè)動圓圓心坐標(biāo)，利用圓的半徑、半弦長和弦心距組成的直角三角形求解；(2)設(shè)直線方程y＝kx＋b，將其和軌跡C的方程聯(lián)立，再設(shè)兩個交點坐標(biāo)，由題意知直線BP和BQ的斜率互為相反數(shù)，推出k和b的關(guān)系，最后證明直線過定點． (1)解　如圖，設(shè)動圓圓心為O1(

10、x，y)，由題意，得|O1A|＝|O1M|， 當(dāng)O1不在y軸上時，過O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點， ∴|O1M|＝， 又|O1A|＝， ∴＝， 化簡得y2＝8x(x≠0)． 又當(dāng)O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標(biāo)為(0,0)也滿足方程y2＝8x， ∴動圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x. (2)證明　如圖由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 將y＝kx＋b代入y2＝8x中， 得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0. 其中Δ＝－32kb＋64>0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝，① x1x2

11、＝，② ∵x軸是∠PBQ的角平分線， ∴＝－， 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0， (kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③ 將①②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0， ∴k＝－b，此時Δ>0， ∴直線l的方程為y＝k(x－1)，即直線l過定點(1,0)． 思維升華　(1)定值問題就是在運(yùn)動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān)．在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的． (2)由直線方程確定定點，若得到了直線方程的點斜式：y－

12、y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：y＝kx＋m，則直線必過定點(0，m)． 　已知橢圓C的中點在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線x2＝8y的焦點． (1)求橢圓C的方程； (2)已知點P(2,3)，Q(2，－3)在橢圓上，點A、B是橢圓上不同的兩個動點，且滿足∠APQ＝∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由． 解　(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 則b＝2.由＝，a2＝c2＋b2，得a＝4， ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)當(dāng)∠APQ＝∠BPQ時，PA、PB的斜率之和為0， 設(shè)直線P

13、A的斜率為k， 則PB的斜率為－k，PA的直線方程為y－3＝k(x－2)， 由整理得 (3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0， x1＋2＝， 同理PB的直線方程為y－3＝－k(x－2)， 可得x2＋2＝＝. ∴x1＋x2＝，x1－x2＝， kAB＝＝ ＝＝， ∴直線AB的斜率為定值. 熱點三　圓錐曲線中的探索性問題 例3　已知橢圓C1、拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上各取兩個點，將其坐標(biāo)記錄于下表中： x 3 －2 4 y －2 0 －4 (1)求C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程； (

14、2)是否存在直線l滿足條件：①過C2的焦點F；②與C1交于不同的兩點M，N，且滿足⊥？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 思維啟迪　(1)比較橢圓及拋物線方程可知，C2的方程易求，確定其上兩點，剩余兩點，利用待定系數(shù)法求C1方程. (2) 聯(lián)立方程，轉(zhuǎn)化已知條件進(jìn)行求解. 解　(1)設(shè)拋物線C2：y2＝2px(p≠0)， 則有＝2p(x≠0)， 據(jù)此驗證四個點知(3，－2)，(4，－4)在C2上， 易求得C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x. 設(shè)橢圓C1：＋＝1(a>b>0)， 把點(－2,0)，(，)代入得， 解得，所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)容易驗證當(dāng)直線

15、l的斜率不存在時，不滿足題意． 當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝k(x－1)， 與C1的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由 消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0， 于是x1＋x2＝，① x1x2＝.② 所以y1y2＝k2(x1－1)(x2－1) ＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1] ＝k2[－＋1]＝－.③ 由⊥，即·＝0，得x1x2＋y1y2＝0.(*) 將②③代入(*)式，得－＝＝0， 解得k＝±2，所以存在直線l滿足條件， 且直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0. 思維升華　解析幾何中的探索性問題，從類型

16、上看，主要是存在類型的相關(guān)題型．解決問題的一般策略是先假設(shè)結(jié)論成立，然后進(jìn)行演繹推理或?qū)С雒?，即可否定假設(shè)或推出合理結(jié)論，驗證后肯定結(jié)論，對于“存在”或“不存在”的問題，直接用條件證明或采用反證法證明．解答時，不但需要熟練掌握圓錐曲線的概念、性質(zhì)、方程及不等式、判別式等知識，還要具備較強(qiáng)的審題能力、邏輯思維能力以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題的能力． 　如圖，拋物線C：y2＝2px的焦點為F，拋物線上一定點Q(1,2)． (1)求拋物線C的方程及準(zhǔn)線l的方程． (2)過焦點F的直線(不經(jīng)過Q點)與拋物線交于A，B兩點，與準(zhǔn)線l交于點M，記QA，QB，QM的斜率分別為k1，k2，

17、k3，問是否存在常數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3成立，若存在λ，求出λ的值；若不存在，說明理由． 解　(1)把Q(1,2)代入y2＝2px，得2p＝4， 所以拋物線方程為y2＝4x，準(zhǔn)線l的方程：x＝－1. (2)由條件可設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，k≠0. 由拋物線準(zhǔn)線l：x＝－1，可知M(－1，－2k)． 又Q(1,2)，所以k3＝＝k＋1， 即k3＝k＋1. 把直線AB的方程y＝k(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x，并整理，可得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，知 x1＋x2＝，x1x2＝1. 又Q

18、(1,2)，則k1＝，k2＝. 因為A，F(xiàn)，B共線，所以kAF＝kBF＝k， 即＝＝k. 所以k1＋k2＝＋＝＋－＝2k－＝2k＋2， 即k1＋k2＝2k＋2. 又k3＝k＋1，可得k1＋k2＝2k3. 即存在常數(shù)λ＝2，使得k1＋k2＝λk3成立． 1．圓錐曲線的最值與范圍問題的常見求法 (1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決； (2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮： ①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)

19、的取值范圍； ②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系； ③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； ④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍； ⑤利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 2．定點、定值問題的處理方法 定值包括幾何量的定值或曲線過定點等問題，處理時可以直接推理求出定值，也可以先通過特定位置猜測結(jié)論后進(jìn)行一般性證明．對于客觀題，通過特殊值法探求定點、定值能達(dá)到事半功倍的效果． 3．探索性問題的解法 探索是否存在的問題，一般是先假設(shè)存在，然后尋找理由去確定結(jié)論，如果真的存在，則可以得出相應(yīng)存在的結(jié)論；若不存

20、在，則會由條件得出矛盾，再下結(jié)論不存在即可. 真題感悟 (2014·北京)已知橢圓C：x2＋2y2＝4. (1)求橢圓C的離心率； (2)設(shè)O為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y＝2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 解　(1)由題意，得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1， 所以a2＝4，b2＝2，從而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝. 故橢圓C的離心率e＝＝. (2)直線AB與圓x2＋y2＝2相切．證明如下： 設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0. 因為OA⊥OB，所以·＝0， 即tx0＋2y0

21、＝0，解得t＝－. 當(dāng)x0＝t時，y0＝－，代入橢圓C的方程，得t＝±， 故直線AB的方程為x＝±， 圓心O到直線AB的距離d＝. 此時直線AB與圓x2＋y2＝2相切． 當(dāng)x0≠t時，直線AB的方程為y－2＝(x－t)． 即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0. 圓心O到直線AB的距離 d＝. 又x＋2y＝4，t＝－， 故d＝＝＝. 此時直線AB與圓x2＋y2＝2相切． 押題精練 已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，其左、右焦點分別是F1、F2，過點F1的直線l交橢圓C于E、G兩點，且△EGF2的周長為4. (1)求橢圓C的方程； (2)若過

22、點M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設(shè)P為橢圓上一點，且滿足＋＝t(O為坐標(biāo)原點)，當(dāng)|－|<時，求實數(shù)t的取值范圍． 解　(1)由題意知橢圓的離心率e＝＝， ∴e2＝＝＝，即a2＝2b2. 又△EGF2的周長為4，即4a＝4， ∴a2＝2，b2＝1. ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)由題意知直線AB的斜率存在，即t≠0. 設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， 由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0. 由Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)>0，得k2<. x1＋x2＝，x1x2＝， ∵＋＝

23、t， ∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)， x＝＝， y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝. ∵點P在橢圓C上，∴＋2＝2， ∴16k2＝t2(1＋2k2)． ∵|－|<，∴|x1－x2|<， ∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<， ∴(1＋k2)[－4·]<， ∴(4k2－1)(14k2＋13)>0，∴k2>.∴

24、曲線－＝1的左、右焦點的距離之比為2∶3，則點M的軌跡方程為(　　) A．x2－y2＋26x＋25＝0 B．x2＋y2＋16x＋81＝0 C．x2＋y2＋26x＋25＝0 D．x2＋y2＋16x－81＝0 答案　C 解析　設(shè)點M(x，y)，F(xiàn)1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)， 則由題意得＝， 將坐標(biāo)代入，得＝， 化簡，得x2＋y2＋26x＋25＝0. 2．已知橢圓E的左、右焦點分別為F1、F2，過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P、Q兩點，若△PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題意可知，∠F1PF2是直

25、角，且tan∠PF1F2＝2， ∴＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴|PF1|＝，|PF2|＝. 根據(jù)勾股定理得2＋2＝(2c)2， 所以離心率e＝＝. 3．已知拋物線y2＝8x的焦點F到雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)漸近線的距離為，點P是拋物線y2＝8x上的一動點，P到雙曲線C的上焦點F1(0，c)的距離與到直線x＝－2的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B．y2－＝1 C.－x2＝1 D.－＝1 答案　C 解析　由題意得，拋物線y2＝8x的焦點F(2,0)， 雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的方程為ax－by

26、＝0， ∵拋物線y2＝8x的焦點F到雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)漸近線的距離為， ∴＝， ∴a＝2b. ∵P到雙曲線C的上焦點F1(0，c)的距離與到直線x＝－2的距離之和的最小值為3， ∴|FF1|＝3，∴c2＋4＝9，∴c＝， ∵c2＝a2＋b2，a＝2b，∴a＝2，b＝1. ∴雙曲線的方程為－x2＝1，故選C. 4．若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 答案　C 解析　設(shè)P(x0，y0)，則 ＋＝1，即y＝3－， 又因為F(－1,0)， 所以·＝x0·(x0＋1)

27、＋y＝x＋x0＋3 ＝(x0＋2)2＋2， 又x0∈[－2,2]，即·∈[2,6]， 所以(·)max＝6. 5．設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心，|FM|為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是(　　) A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　C 解析　依題意得F(0,2)，準(zhǔn)線方程為y＝－2， 又∵以F為圓心，|FM|為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交，且|FM|＝|y0＋2|， ∴|FM|>4，即|y0＋2|>4， 又y0≥0，∴y0>2. 6．已知雙曲線－＝1(a>0，b>

28、0)的左，右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若雙曲線上存在點P滿足＝，則該雙曲線的離心率的取值范圍為(　　) A．(1，＋1) B．(1，) C．(，＋∞) D．(＋1，＋∞) 答案　A 解析　根據(jù)正弦定理得＝， 所以由＝ 可得＝， 即＝＝e， 所以|PF1|＝e|PF2|. 因為e>1，所以|PF1|>|PF2|， 點P在雙曲線的右支上． 又|PF1|－|PF2|＝e|PF2|－|PF2| ＝|PF2|(e－1)＝2a， 解得|PF2|＝， 因為|PF2|>c－a， 所以>c－a，即>e－1， 即(e－1)2<2，解得1－

29、e>1，所以e∈(1，＋1)，故選A. 二、填空題 7．直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1恒有公共點，則m的取值范圍是________． 答案　m≥1且m≠5 解析　∵方程＋＝1表示橢圓， ∴m>0且m≠5. ∵直線y＝kx＋1恒過(0,1)點， ∴要使直線與橢圓總有公共點，應(yīng)有： ＋≤1，m≥1， ∴m的取值范圍是m≥1且m≠5. 8．在直線y＝－2上任取一點Q，過Q作拋物線x2＝4y的切線，切點分別為A、B，則直線AB恒過定點________． 答案　(0,2) 解析　設(shè)Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程變?yōu)閥＝x2，則y′＝x，則在點A處的切

30、線方程為y－y1＝x1(x－x1)，化簡得，y＝x1x－y1，同理，在點B處的切線方程為y＝x2x－y2.又點Q(t，－2)的坐標(biāo)滿足這兩個方程，代入得：－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2，則說明A(x1，y1)，B(x2，y2)都滿足方程－2＝xt－y，即直線AB的方程為：y－2＝tx，因此直線AB恒過定點(0,2)． 9．(2014·遼寧)已知橢圓C：＋＝1，點M與C的焦點不重合．若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|＋|BN|＝________. 答案　12 解析　橢圓＋＝1中，a＝3. 如圖，設(shè)MN的中點為D， 則|DF1|＋|DF2|＝2

31、a＝6. ∵D，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為MN，AM，BM的中點， ∴|BN|＝2|DF2|， |AN|＝2|DF1|， ∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12. 10．(2013·安徽)已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點．若該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為________． 答案　[1，＋∞) 解析　以AB為直徑的圓的方程為x2＋(y－a)2＝a， 由 得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0. 即(y－a)[y－(a－1)]＝0， 由已知解得a≥1. 三、解答題 11.如圖所示，橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的離心率為，x軸被曲

32、線C2：y＝x2－b截得的線段長等于C1的短軸長．C2與y軸的交點為M，過坐標(biāo)原點O的直線l與C2相交于點A，B，直線MA，MB分別與C1相交于點D，E. (1)求C1，C2的方程； (2)求證：MA⊥MB； (3)記△MAB，△MDE的面積分別為S1，S2，若＝λ，求λ的取值范圍． (1)解　由題意，知＝， 所以a2＝2b2. 又2＝2b，得b＝1. 所以曲線C2的方程y＝x2－1，橢圓C1的方程＋y2＝1. (2)證明　設(shè)直線AB：y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由題意，知M(0，－1)． 則?x2－kx－1＝0， ·＝(x1，y1＋1)·(x2，y2

33、＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－(1＋k2)＋k2＋1＝0， 所以MA⊥MB. (3)解　設(shè)直線MA：y＝k1x－1，MB：y＝k2x－1，k1k2＝－1，M(0，－1)， 由解得或 所以A(k1，k－1)． 同理，可得B(k2，k－1)． 故S1＝|MA|·|MB|＝·|k1||k2|. 由解得或 所以D(，)． 同理，可得E(，)． 故S2＝|MD|·|ME| ＝·， ＝λ＝＝≥， 則λ的取值范圍是[，＋∞)． 12．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的焦距為2，其一條漸近線的傾斜角為θ，且tan θ＝.以雙曲線C的實軸為長軸，虛軸為短

34、軸的橢圓記為E. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)點A是橢圓E的左頂點，P、Q為橢圓E上異于點A的兩動點，若直線AP、AQ的斜率之積為－，問直線PQ是否恒過定點？若恒過定點，求出該點坐標(biāo)；若不恒過定點，說明理由． 解　(1)雙曲線－＝1的焦距2c＝2， 則c＝，∴a2＋b2＝7.① 漸近線方程y＝±x， 由題意知tan θ＝＝.② 由①②得a2＝4，b2＝3， 所以橢圓E的方程為＋＝1. (2)在(1)的條件下，當(dāng)直線PQ的斜率存在時， 設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋m， 由，消去y得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2

35、)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， 又A(－2,0)， 由題意知kAP·kAQ＝·＝－， 則(x1＋2)(x2＋2)＋4y1y2＝0，且x1x2≠－2. 則x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋4(kx1＋m)(kx2＋m) ＝(1＋4k2)x1x2＋(2＋4km)(x1＋x2)＋4m2＋4＝0. 則m2－km－2k2＝0. ∴(m－2k)(m＋k)＝0.∴m＝2k或m＝－k. 當(dāng)m＝2k時，直線PQ的方程是y＝kx＋2k. 此時直線PQ過定點(－2,0)，顯然不符合題意． 當(dāng)m＝－k時，直線PQ的方程為y＝kx－k，此時直線PQ過定點(1,0)． 當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，若直線PQ過定點， P，Q點的坐標(biāo)分別是(1，)，(1，－)， 滿足kAP·kAQ＝－. 綜上，直線PQ恒過定點(1,0)．