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1、2015屆高三直升班第二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合與不等式第2講不等式與線性規(guī)劃知識(shí)主干1四類(lèi)不等式的解法（1）一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc0（a0），再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0（a0）的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集（2）簡(jiǎn)單分式不等式的解法變形0（0（1時(shí)，af（x）ag（x）f（x）g（x）；當(dāng)0aag（x）f（x）1時(shí)，logaf（x）logag（x）f（x）g（x）且f（x）0，g（x）0；當(dāng)0alogag（x）f（x）0，g（x）02五個(gè)重要不等式（1）|a|0，a20（aR） （2）a2b22ab（a、bR）（3）（a0
2、，b0） （4）ab（）2（a，bR）（5） （a0，b0）3二元一次不等式（組）和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃（1）線性規(guī)劃問(wèn)題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等（2）解不含實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟：畫(huà)出可行域；根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解；求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值4兩個(gè)常用結(jié)論（1）ax2bxc0（a0）恒成立的條件是（2）ax2bxc0（a0）恒成立的條件是熱點(diǎn)一一元二次不等式的解法例1（1）（2013安徽）已知一元二次不等式f（x）0的解集為（）Ax|xlg 2 Bx|1xlg 2 Dx|x0的解集為（）Ax|x2或x2 Bx|2x2 Cx|x4 Dx|0
3、x0若pq為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A（，2） B2,0） C（2,0） D0,2熱點(diǎn)二基本不等式的應(yīng)用例2（1）（2014湖北）某項(xiàng)研究表明：在考慮行車(chē)安全的情況下，某路段車(chē)流量F（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/時(shí)）與車(chē)流速度v（假設(shè)車(chē)輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車(chē)長(zhǎng)l（單位：米）的值有關(guān)，其公式為F如果不限定車(chē)型，l605，則最大車(chē)流量為_(kāi)輛/時(shí)；如果限定車(chē)型，l5，則最大車(chē)流量比中的最大車(chē)流量增加_輛/時(shí)（2）（2013山東）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（）A0 B1 C D3（3）已知關(guān)于x的不等式2x7在x（a
4、，）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（）A1 B C2 D熱點(diǎn)三簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題例3 （1）已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則w的最小值是（）A2 B2 C1 D1（2）（2013北京）設(shè)關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（x0，y0），滿足x02y02，求得m的取值范圍是（）A B C D（3）某旅行社租用A、B兩種型號(hào)的客車(chē)安排900名客人旅行，A、B兩種車(chē)輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車(chē)總數(shù)不超過(guò)21輛，且B型車(chē)不多于A型車(chē)7輛則租金最少為（）A31 200元 B36 000元 C36 800元 D38 400元新題型:例1
5、記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.設(shè)的三邊邊長(zhǎng)分別為，且，定義的傾斜度為（）若為等腰三角形，則_；（）設(shè)，則的取值范圍是_熱點(diǎn)一一元二次不等式的解法例1（1）（2013安徽）已知一元二次不等式f（x）0的解集為（）Ax|xlg 2 Bx|1xlg 2 Dx|x0的解集為（）Ax|x2或x2 Bx|2x2 Cx|x4 Dx|0x0（2）利用f（x）是偶函數(shù)求b，再解f（2x）0答案（1）D（2）C解析（1）由已知條件010x，解得x0f（2x）0即ax（x4）0，解得x4故選C思維升華二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也是高考的熱點(diǎn)，“三個(gè)二次”的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法（1）
6、不等式0的解集為（）A（，1 B，1 C（，）1，） D（，1，）（2）已知p：x0R，mx10，q：xR，x2mx10若pq為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A（，2） B2,0） C（2,0） D0,2答案（1）A（2）C解析（1）原不等式等價(jià)于（x1）（2x1）0或x10，即x1或x1，所以不等式的解集為（，1，選A（2）pq為真命題，等價(jià)于p，q均為真命題命題p為真時(shí)，m0；命題q為真時(shí)，m240，解得2m2故pq為真時(shí)，2m0，且1所以（）2（當(dāng)且僅當(dāng)，即m，n2時(shí)，取等號(hào)）所以，即mn3，所以mn的最大值為3（2）2x2（xa）2a22a42a，由題意可知42a7，得a，即實(shí)數(shù)a的
7、最小值為，故選B熱點(diǎn)三簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題例3（2013湖北）某旅行社租用A、B兩種型號(hào)的客車(chē)安排900名客人旅行，A、B兩種車(chē)輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車(chē)總數(shù)不超過(guò)21輛，且B型車(chē)不多于A型車(chē)7輛則租金最少為（）A31 200元 B36 000元 C36 800元 D38 400元思維啟迪通過(guò)設(shè)變量將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題答案C解析設(shè)租A型車(chē)x輛，B型車(chē)y輛時(shí)租金為z元，則z1 600x2 400y,x、y滿足畫(huà)出可行域如圖直線yx過(guò)點(diǎn)A（5,12）時(shí)縱截距最小，所以zmin51 6002 4001236 800，故租金最少為
8、36 800元思維升華（1）線性規(guī)劃問(wèn)題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍（2）解決線性規(guī)劃問(wèn)題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解（3）對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題，要準(zhǔn)確地設(shè)出變量，確定可行域和目標(biāo)函數(shù)（1）已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則w的最小值是（）A2 B2 C1 D1（2）（2013北京）設(shè)關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（x0，y0），滿足x02y02，求得m的取值范圍是（）A B C D答案（1）D（2）C解析（1）畫(huà)出可行域，如圖所示w表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)P（0，1）連線的斜
9、率，觀察圖形可知PA的斜率最小為1，故選D（2）當(dāng)m0時(shí)，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點(diǎn)P（x0，y0）滿足x02y02，因此m0如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域要使可行域內(nèi)包含yx1上的點(diǎn)，只需可行域邊界點(diǎn)（m，m）在直線yx1的下方即可，即mm1，解得m1幾類(lèi)不等式的解法一元二次不等式解集的端點(diǎn)值是相應(yīng)一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)的零點(diǎn)；分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）來(lái)解；以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化2基本不等式的作用二元基本不等式具有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積
10、式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)（式）的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問(wèn)題解決問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn)，并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景，如通過(guò)“代換”、“拆項(xiàng)”、“湊項(xiàng)”等技巧，改變?cè)降慕Y(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件利用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”的條件，三個(gè)條件缺一不可3線性規(guī)劃問(wèn)題的基本步驟（1）定域畫(huà)出不等式（組）所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號(hào)的對(duì)應(yīng)；（2）平移畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等于0時(shí)所表示的直線l，平行移動(dòng)直線，讓其與平面區(qū)域有公共點(diǎn)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，注
11、意要熟練把握最常見(jiàn)的幾類(lèi)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義；（3）求值利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值真題感悟1（2014山東）已知實(shí)數(shù)x，y滿足axay（0a Bln（x21）ln（y21）Csin xsin y Dx3y3答案D解析因?yàn)?a1，axy采用賦值法判斷，A中，當(dāng)x1，y0時(shí)，1，A不成立B中，當(dāng)x0，y1時(shí)，ln 10，數(shù)形結(jié)合知，滿足即可，解得1a所以a的取值范圍是1a押題精練1為了迎接2014年3月8日的到來(lái)，某商場(chǎng)舉行了促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算某產(chǎn)品的銷(xiāo)售量P萬(wàn)件（生產(chǎn)量與銷(xiāo)售量相等）與促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元滿足P3，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本（102P）萬(wàn)元（不含促銷(xiāo)費(fèi)
12、用），產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為（4）萬(wàn)元/萬(wàn)件則促銷(xiāo)費(fèi)用投入 萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？（）A1 B1.5 C2 D3答案A解析設(shè)該產(chǎn)品的利潤(rùn)為y萬(wàn)元，由題意知，該產(chǎn)品售價(jià)為2（）萬(wàn)元，所以y2（）P102Px16x（x0），所以y17（x1）17213（當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)取等號(hào)），所以促銷(xiāo)費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，故選A2若點(diǎn)P（x，y）滿足線性約束條件點(diǎn)A（3，），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)答案6解析由題意，知（3，），設(shè)（x，y），則3xy令z3xy，如圖畫(huà)出不等式組所表示的可行域，可知當(dāng)直線yxz經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值由解得即B（1，），故z的最大值為316即的最大值為6一、選
13、擇題1（2014四川）若ab0，cd B D答案D解析令a3，b2，c3，d2，則1，1，所以A，B錯(cuò)誤；，所以lg x（x0） Bsin x2（xk，kZ）Cx212|x|（xR） D1（xR）答案C解析應(yīng)用基本不等式：x，y0，（當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)）逐個(gè)分析，注意基本不等式的應(yīng)用條件及取等號(hào)的條件當(dāng)x0時(shí)，x22xx，所以lglg x（x0），故選項(xiàng)A不正確；運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證一正二定三相等，而當(dāng)xk，kZ時(shí)，sin x的正負(fù)不定，故選項(xiàng)B不正確；由基本不等式可知，選項(xiàng)C正確；當(dāng)x0時(shí)，有1，故選項(xiàng)D不正確3（2013重慶）關(guān)于x的不等式x22ax8a20）的解集為（x1，x2），且
14、x2x115，則a等于（）A B C D答案A解析由x22ax8a20，得（x2a）（x4a）0，所以不等式的解集為（2a,4a），即x24a，x12a，由x2x115，得4a（2a）15，解得a4（2014重慶）若log4（3a4b）log2，則ab的最小值是（）A62 B72 C64 D74答案D解析由題意得所以又log4（3a4b）log2，所以log4（3a4b）log4ab，所以3a4bab，故1所以ab（ab）（）77274，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故選D5已知變量x，y滿足約束條件，則zx2y1的最大值為（）A9 B8 C7 D6答案B解析約束條件所表示的區(qū)域如圖，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)
15、A（1,4）時(shí)取得最大值，故zx2y1的最大值為12418二、填空題6已知f（x）是R上的減函數(shù)，A（3，1），B（0,1）是其圖象上兩點(diǎn)，則不等式|f（1ln x）|1的解集是_答案（，e2）解析|f（1ln x）|1，1f（1ln x）1，f（3）f（1ln x）f（0），又f（x）在R上為減函數(shù)，01ln x3，1ln x2，x0，則的最小值為_(kāi)答案解析點(diǎn)A（1,1）在直線2mxny20上，2mn2，（）（21）（32），當(dāng)且僅當(dāng)，即nm時(shí)取等號(hào)，的最小值為三、解答題9設(shè)集合A為函數(shù)yln（x22x8）的定義域，集合B為函數(shù)yx的值域，集合C為不等式（ax）（x4）0的解集（1）求AB；
16、（2）若CRA，求a的取值范圍解（1）由x22x80得4x0，即x1時(shí)y211，此時(shí)x0，符合要求；當(dāng)x10，即x0時(shí)，Cx|4x，不可能CRA；當(dāng)a0時(shí)，Cx|x4或x，若CRA，則2，a2，a0故a的取值范圍為，0）10已知函數(shù)f（x）ax3bx2（2b）x1在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值，且0x11x20；（2）若za2b，求z的取值范圍（1）證明求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x）ax22bx2b由函數(shù)f（x）在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值，知x1、x2是f（x）0的兩個(gè)根，所以f（x）a（xx1）（xx2）當(dāng)x0，由xx10，xx20（2）解在題設(shè)下，0x11x22等
17、價(jià)于即化簡(jiǎn)得此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫鎍Ob上的三條直線：2b0，a3b20,4a5b20所圍成的ABC的內(nèi)部，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B（2,2），C（4,2）z在這三點(diǎn)的值依次為，6,8所以z的取值范圍為（，8）11某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：萬(wàn)元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式C3x，每日的銷(xiāo)售額S（單位：萬(wàn)元）與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式S已知每日的利潤(rùn)LSC，且當(dāng)x2時(shí)，L3（1）求k的值；（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大，并求出最大值解（1）由題意可得L因?yàn)楫?dāng)x2時(shí)，L3，所以3222，解得k18（2）當(dāng)0xb0，cd B Dlg x（x0） Bsin x2
18、（xk，kZ）Cx212|x|（xR） D1（xR）3關(guān)于x的不等式x22ax8a20）的解集為（x1，x2），且x2x115，則a等于（）A B C D4若log4（3a4b）log2，則ab的最小值是（）A62 B72 C64 D745已知變量x，y滿足約束條件，則zx2y1的最大值為（）A9 B8 C7 D66已知f（x）是R上的減函數(shù)，A（3，1），B（0,1）是其圖象上兩點(diǎn)，則不等式|f（1ln x）|0，則的最小值為_(kāi)解答題9設(shè)集合A為函數(shù)yln（x22x8）的定義域，集合B為函數(shù)yx的值域，集合C為不等式（ax）（x4）0的解集（1）求AB；（2）若CRA，求a的取值范圍10已知函數(shù)f（x）ax3bx2（2b）x1在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值，且0x11x20；（2）若za2b，求z的取值范圍11某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：萬(wàn)元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式C3x，每日的銷(xiāo)售額S（單位：萬(wàn)元）與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式S已知每日的利潤(rùn)LSC，且當(dāng)x2時(shí)，L3（1）求k的值；（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大，并求出最大值
專題一 第2講不等式與線性規(guī)劃
