2018-2019學年高中數學 第一章 三角函數 4.1 單位圓與任意角的正弦函數、余弦函數的定義 4.2 單位圓與周期性課件 北師大版必修4.ppt

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1、第一章 4 正弦函數和余弦函數的定義與誘導公式,4.1 單位圓與任意角的正弦函數、余弦函數的定義 4.2 單位圓與周期性,,學習目標 1.理解任意角的正弦函數、余弦函數的定義及其應用. 2.掌握同角的正弦、余弦函數值間的關系. 3.理解周期函數的定義.,,,問題導學,達標檢測,,題型探究,內容索引,問題導學,知識點一 任意角的正弦函數和余弦函數,使銳角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上任取一點P，PM⊥x軸于M，設P(x，y)，|OP|＝r. 思考1 角α的正弦、余弦分別等于什么？,答案 不會.,思考2 對確定的銳角α，sin α，cos α的值是否隨P點在終邊上的位置的

2、改變而改變？,思考3 若取|OP|＝1時，sin α，cos α的值怎樣表示？,答案 sin α＝y(tǒng)，cos α＝x.,梳理 (1)對于任意角α，使角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于唯一的點P(u，v)，那么點P的 定義為角α的正弦函數，記作 ；點P的 定義為角α的余弦函數，記作 . (2)對于給定的角α，點P的縱坐標v、橫坐標u都是唯一確定的，所以正弦函數、余弦函數都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標為函數值的函數.,縱坐標v,v＝sin α,橫坐標u,u＝cos α,知識點二 正弦、余弦函數的定義域,思考 對于任意角α，sin α，c

3、os α都有意義嗎？,答案 由三角函數的定義可知，對于任意角α，sin α，cos α都有意義.,梳理 正弦函數、余弦函數的定義域,知識點三 正弦、余弦函數值在各象限的符號,思考 根據三角函數的定義，你能判斷正弦、余弦函數的值在各象限的符號嗎？,答案 由三角函數定義可知，在平面直角坐標系中，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(u，v)，則sin α＝v，cos α＝u. 當α為第一象限角時，v>0，u>0，故sin α>0，cos α>0， 同理可得α在其他象限時三角函數值的符號.,梳理 正弦、余弦函數在各象限的符號,知識點四 周期函數,思考 由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z

4、)可知函數值隨著角的變化呈周期性變化，你能說一下函數的變化周期嗎？,答案 2π，4π，6π，－2π，…等都是函數的周期.,梳理 一般地，對于函數f(x)，如果存在 ，對定義域內的_____ _____x值，都有 ，我們就把f(x)稱為周期函數， 稱為這個函數的周期. 特別地，正弦函數、余弦函數是周期函數，稱2kπ(k∈Z，k≠0)為正弦函數、余弦函數的周期，其中2π是正弦函數、余弦函數正周期中 的一個，稱為 ，簡稱為周期.,非零實數T,任意,一個,f(x＋T)＝f(x),T,最小,最小正周期,[思考辨析 判斷正誤] 1.函數f(x)＝x2滿足f(－3＋6)＝f(－

5、3)，所以f(x)＝x2是以6為周期的周期函數.( ),提示 周期函數需滿足對定義域內每一個值x，都有f(x＋T)＝f(x)， 對于f(x)＝x2，f(0)＝0，f(0＋6)＝f(6)＝36，f(0)≠f(0＋6)， ∴f(x)＝x2不是以6為周期的周期函數.,2.任何周期函數都有最小正周期.( ),提示 對于常函數f(x)＝c，任意一個正實數都是其周期，因而不存在最小正周期.,,,答案,提示,題型探究,類型一 正弦函數、余弦函數定義的應用,命題角度1 已知角α終邊上一點坐標求三角函數值,解答,∵x≠0，∴x＝1. 當x＝1時，P(1，3)，,當x＝－1時，P(－1，3)，,反思與感悟 (1)

6、已知角α終邊上任意一點的坐標求三角函數值的方法 ①先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正、余弦函數的定義求出相應的三角函數值.,(2)當角α的終邊上點的坐標以參數形式給出時，要根據問題的實際情況對參數進行分類討論.,跟蹤訓練1 已知角α的終邊過點P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.,①若a>0，則r＝5a，角α在第二象限，,②若a0，則α為第一象限角，r＝2a，,若a<0，則α為第三象限角，r＝－2a，,解答,類型二 正弦、余弦函數值符號的判斷,例3 (1)若α是第二象限角，則點P(sin α，cos α)在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

7、D.第四象限,解析 ∵α為第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴點P在第四象限，故選D.,√,答案,解析,(2)判斷下列各式的符號. ①sin 145cos(－210)；,解 ∵145是第二象限角， ∴sin 145＞0， ∵－210＝－360＋150， ∴－210是第二象限角， ∴cos (－210)＜0， ∴sin 145cos(－210)＜0.,解答,②sin 3cos 4.,解答,∴sin 3＞0，cos 4＜0， ∴sin 3cos 4<0.,反思與感悟 準確確定正弦函數、余弦函數值中角所在象限是基礎，準確記憶正弦函數、余弦函數值在各象限的符號是解決正弦、余弦函數值符號

8、判斷問題的關鍵.,跟蹤訓練3 若三角形的兩內角A，B滿足sin Acos B＜0，則此三角形必為 A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.以上三種情況都有可能,解析 由題意知，A，B∈(0，π)， ∴sin A＞0，cos B＜0， ∴B為鈍角.故選B.,√,答案,解析,類型三 周期性,例4 (1)已知函數f(x)在其定義域上都滿足f(x＋2)＝－f(x)，求證：函數f(x)是以4為周期的周期函數；,證明 ∵f(x＋4)＝f [(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴由周期函數定義知，函數f(x)是以4為周期的周期函數.,證明,證明,∴由周期函數定義知，函

9、數f(x)是以4為周期的周期函數.,反思與感悟 (1)證明函數是周期函數，只需根據定義：存在非零常數T，對定義域內任意實數x，都有f(x＋T)＝f(x).,跟蹤訓練4 若函數y＝f(x)(x∈R)滿足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a0，cos α<0.,√,答案,解析,1,2,4,5,3,A.2 B.0 C.－1 D.－3,解析 ∵f(x)是以1為一個周期的函數， ∴k∈Z且k≠0，也是f(x)的周期.,√,又當x∈(－1，0)時，f(x)＝2x＋1，,1,2,4,5,3,答案,解析,4.點P(sin 2 016，cos 2 016)位于第 象限.,解析 ∵2 016＝5360

10、＋216， ∴2 016是第三象限角， ∴sin 2 016<0，cos 2 016＜0， ∴點P位于第三象限.,1,2,4,5,3,答案,解析,三,5.已知角α的終邊在直線y＝2x上，求sin α＋cos α的值.,1,2,4,5,3,解答,規(guī)律與方法,1.三角函數的定義是以后學習一切三角函數知識的基礎，要充分理解其內涵，把握住三角函數值只與角的終邊所在位置有關，與所選取的點在終邊上的位置無關這一關鍵點. 2.三角函數值的符號主要涉及開方、去絕對值等計算問題，同時也要注意終邊在坐標軸上的角的三角函數值情況，因角的終邊經過的點決定了三角函數值的符號，所以當點的位置不確定時注意進行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想. 3.正弦、余弦函數的周期性反映了終邊相同的角的三角函數值相等，作用是把求任意角的三角函數值轉化為求0～2π(或0～360)角的三角函數值.,