專題1-2解三角形 重難點(diǎn)、易錯點(diǎn)突破(含答案)

6、 隱含條件2.三角形的內(nèi)角范圍 例2　已知△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，則△ABC的面積是________． 例3　在△ABC中，＝，試判斷三角形的形狀． 例4　在△ABC中，B＝3A，求的取值范圍． 　正弦、余弦定理三應(yīng)用 有些題目，表面上看不能利用正弦、余弦定理解決，但若能構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切?，就能利用兩定理，題目顯得非常容易，本文剖析幾例． 1．平面幾何中的長度問題 例1　如圖，在梯形ABCD中，CD＝2，AC＝，∠BAD＝60°，求梯形的高．

7、 2．求范圍 例2　如圖，等腰△ABC中，底邊BC＝1，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，求BD的取值范圍(注：0

8、定理和余弦定理 2sin Acos B＝sin C可化為2a·＝c， 即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，即a2＝b2，故a＝b. 所以△ABC是等腰三角形．故選B. 方法二　因?yàn)樵凇鰽BC中，A＋B＋C＝π， 即C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B)． 由2sin Acos B＝sin C， 得2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B， 即sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0. 又因?yàn)椋校糀－B＜π， 所以A－B＝0，即A＝B. 所以△ABC是等腰三角形，故選B. 答案　B 點(diǎn)評　根

9、據(jù)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系判斷三角形的形狀，一般需通過三角恒等變換，求出角(邊)之間的關(guān)系． 例2分析　先運(yùn)用正弦定理化角為邊，根據(jù)邊之間的關(guān)系即可判斷三角形的形狀． 解析　在△ABC中，由正弦定理，可得 ＝＝，整理得a(a＋c)＝b(b＋c)， 即a2－b2＋ac－bc＝0，(a－b)(a＋b＋c)＝0. 因?yàn)閍＋b＋c≠0，所以a－b＝0，即a＝b， 所以△ABC是等腰三角形．故選C. 答案　C 點(diǎn)評　本題也可化邊為角，但書寫復(fù)雜，式子之間的關(guān)系也不易發(fā)現(xiàn)． 　細(xì)說三角形中解的個數(shù) 例　分析　此題為“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形的問題，可以利用上述辦法來判斷

10、△ABC解的情況． 解　方法一　由正弦定理＝， 可得sin B＝sin 45°＝<1. 又因?yàn)閍>b，所以A>B，故B＝30°， 符合條件的△ABC只有一個． 方法二　由余弦定理得 22＝c2＋()2－2××ccos 45°， 即c2－2c－2＝0，解得c＝1±.而1－<0， 故僅有一解，符合條件的△ABC只有一個． 方法三　A為銳角，a>b，故符合條件的△ABC只有一個． 　挖掘三角形中的隱含條件 　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　[錯解]　∵c>b>a且△ABC為鈍角三角形， ∴C為鈍角． 由余弦定理得cos C＝＝＝<0. ∴k2－4k－12<0

11、，解得－20. 綜上所述，0k＋4.即k>2而不是k>0. [正解]　∵c>b>a，且△ABC為鈍角三角形， ∴C為鈍角． 由余弦定理得cos C＝＝<0. ∴k2－4k－12<0，解得－2k＋4，∴k>2， 綜上所述，k的取值范圍為2

12、C＝＝. ∴C＝60°，∴A＝90°. 則S△ABC＝AB·AC·sin A＝×2×2×1＝2. [點(diǎn)撥]　上述解法中在用正弦定理求C時丟了一解．實(shí)際上由sin C＝可得C＝60°或C＝120°，它們都滿足條件． [正解]　由正弦定理，得sin C＝＝. ∴C＝60°或C＝120°. 當(dāng)C＝60°時，A＝90°， ∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝2. 當(dāng)C＝120°時，A＝30°， ∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝. 故△ABC的面積是2或. 溫馨點(diǎn)評　利用正弦定理理解“已知兩邊及其中一邊對角，求另一角”問題時，由于三角形內(nèi)角的正弦值都為正的，而這個內(nèi)角可能為

13、銳角，也可能為鈍角，容易把握不準(zhǔn)確出錯. 例3　[錯解]?。?＝?＝?sin Acos A＝sin Bcos B?sin 2A＝sin 2B， ∴A＝B. ∴△ABC是等腰三角形． [點(diǎn)撥]　上述錯解忽視了滿足sin 2A＝sin 2B的另一個角之間的關(guān)系：2A＋2B＝180°. [正解]?。?＝?＝?sin Acos A＝sin Bcos B ?sin 2A＝sin 2B?2A＝2B或2A＋2B＝180°. ∴A＝B或A＋B＝90°. ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 溫馨點(diǎn)評　在△ABC中，sin A＝sin B?A＝B是成立的，但sin 2A＝sin 2B?2A＝2

14、B或2A＋2B＝180°. 例4　[錯解]　由正弦定理得＝＝＝＝ ＝cos 2A＋2cos2A＝4cos2A－1. ∵0≤cos2A≤1， ∴－1≤4cos2A－1≤3， ∵>0，∴0<≤3. [點(diǎn)撥]　忽略了三角形內(nèi)角和為180°，及角A、B的取值范圍，從而導(dǎo)致取值范圍求錯． [正解]　由正弦定理得＝＝ ＝＝＝cos 2A＋2cos2A＝4cos2A－1. ∵A＋B＋C＝180°，B＝3A.∴A＋B＝4A<180°， ∴0°

15、圍隱含在題目的條件中，若不仔細(xì)審題，深入挖掘，往往疏漏而導(dǎo)致解題失敗. 　正弦、余弦定理三應(yīng)用 例1　分析　如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE為所求的高．由∠BAD＝60°，知∠ADC＝120°，又邊CD與AC的長已知，故△ACD為已知兩邊和其中一邊的對角，可解三角形．解Rt△ADE，需先求AD的長，這只需在△ACD中應(yīng)用余弦定理． 解　由∠BAD＝60°，得∠ADC＝120°， 在△ACD中，由余弦定理得 AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC， 即19＝AD2＋4－2AD×2×， 解得AD＝3或AD＝－5(舍去)． 在△ADE中，DE＝AD·sin

16、 60°＝. 點(diǎn)評　依據(jù)余弦定理建立方程是余弦定理的一個妙用，也是函數(shù)與方程思想在解三角形中的體現(xiàn)． 2．求范圍 例2　分析　把BD的長表示為∠ABC的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域． 解　設(shè)∠ABC＝α. 因?yàn)椤螦BC＝∠C，所以∠A＝180°－2α， ∠BDC＝∠A＋∠ABD＝180°－2α＋＝180°－， 因?yàn)锽C＝1，在△BCD中，由正弦定理得 BD＝＝＝＝， 因?yàn)?°<<45°，所以

17、性求值域的方法；(2)數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想． 例3　解　(1)∵·＝cbcos A，·＝cacos B. 又·＝·， ∴bccos A＝accos B， ∴bcos A＝acos B. 方法一　∴sin Bcos A＝sin Acos B， 即sin Acos B－cos Asin B＝0， ∴sin(A－B)＝0， ∵－π＜A－B＜π，∴A＝B. ∴△ABC為等腰三角形． 方法二　利用余弦定理將角化為邊， ∵bcos A＝acos B， ∴b·＝a·， ∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2， ∴a2＝b2，∴a＝b. ∴△ABC為等腰三角形． (2)由(1)知：a＝b. ∴·＝bccos A＝bc·＝＝k， ∵c＝，∴k＝1.