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1、題型練3 大題專項(一)
三角函數(shù)、解三角形綜合問題
1.已知角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,它的終邊過點P-35,-45.
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β滿足sin(α+β)=513,求cos β的值.
2.(2019北京,文15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.
(1)求b,c的值;
(2)求sin(B+C)的值.
3.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc.
(1)證明:sin Asin B=sin C;
(2)若b2+c2-a2=6
2、5bc,求tan B.
4.已知函數(shù)f(x)=3cos2x-π3-2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求證:當x∈-π4,π4時,f(x)≥-12.
5.已知函數(shù)f(x)=sin2x+3sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x)在區(qū)間-π3,m上的最大值為32,求m的最小值.
6.(2019福建泉州5月質(zhì)檢,17)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a+b=5,(2a+b)·cos C+c·cos B=0.
(1)若△ABC的面積為32,求c;
(
3、2)若點D為線段AB的中點,∠ACD=30°,求a,b.
題型練3 大題專項(一)
三角函數(shù)、解三角形綜合問題
1.解(1)由角α的終邊過點P-35,-45,
得sinα=-45,所以sin(α+π)=-sinα=45.
(2)由角α的終邊過點P-35,-45,得cosα=-35,
由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±1213.
由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,
所以cosβ=-5665或cosβ=1665.
2.解(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
得b2=32+c2-2×3×c×-1
4、2.
因為b=c+2,
所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×-12.
解得c=5,所以b=7.
(2)由cosB=-12得sinB=32.
由正弦定理得sinA=absinB=3314.
在△ABC中,B+C=π-A.
所以sin(B+C)=sinA=3314.
3.(1)證明根據(jù)正弦定理,可設asinA=bsinB=csinC=k(k>0).
則a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.
代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,
變形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=
5、sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.
(2)解由已知,b2+c2-a2=65bc,
根據(jù)余弦定理,有cosA=b2+c2-a22bc=35.
所以sinA=1-cos2A=45.
由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
所以45sinB=45cosB+35sinB,
故tanB=sinBcosB=4.
4.(1)解f(x)=32cos2x+32sin2x-sin2x
=12sin2x+32cos2x=sin2x+π3.
所以f(x)的最小正周期T=2π2
6、=π.
(2)證明因為-π4≤x≤π4,
所以-π6≤2x+π3≤5π6.
所以sin2x+π3≥sin-π6=-12.
所以當x∈-π4,π4時,f(x)≥-12.
5.解(1)因為f(x)=1-cos2x2+32sin2x=32sin2x-12cos2x+12=sin2x-π6+12,所以f(x)的最小正周期為T=2π2=π.
(2)由(1)知f(x)=sin2x-π6+12.
因為x∈-π3,m,
所以2x-π6∈-5π6,2m-π6.
要使f(x)在-π3,m上的最大值為32,
即sin2x-π6在-π3,m上的最大值為1.
所以2m-π6≥π2,即m≥π3.
7、所以m的最小值為π3.
6.解(1)∵(2a+b)cosC+ccosB=0,
∴(2sinA+sinB)cosC+sinCcosB=0,
即2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0.
∴2sinAcosC+sin(B+C)=0,即2sinAcosC+sinA=0.
∵A∈(0,π),
∴sinA≠0.∴cosC=-12.
∵C∈(0,π),∴sinC=32.
∴S△ABC=12a·bsinC=3ab4=32.
∴ab=2.
在△ABC中,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-ab=25-2=23,∴c=23.
(2)∵cosC=-12,
∴C=120°.
又∠ACD=30°,∴∠BCD=90°.
記∠ADC=θ,AD=BD=m,在直角三角形BCD中,a=msinθ.
在△ACD中,msin30°=bsinθ,
∴b=2msinθ.
∴b=2a.
又a+b=5,∴a=53,b=103.
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