高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 3 條件概率與獨立事件 北師大版選修2-3

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1、3條件概率與獨立事件第二章概率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解條件概率與兩個事件相互獨立的概念.2.掌握條件概率的計算公式.3.能利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式解決一些簡單的實際問題.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考1知識點一條件概率試求P(A)、P(B)、P(AB).答案100件產(chǎn)品中有93件產(chǎn)品的長度合格，90件產(chǎn)品的質(zhì)量合格，85件產(chǎn)品的長度、質(zhì)量都合格.令A(yù)產(chǎn)品的長度合格，B產(chǎn)品的質(zhì)量合格，AB產(chǎn)品的長度、質(zhì)量都合格思考2任取一件產(chǎn)品，已知其質(zhì)量合格(即B發(fā)生)，求它的長度(即A發(fā)生)也合格(記為A|B)的概率.答案思考3P(B)、P(AB)、P(A|B)間有怎樣的關(guān)系.答案條件概率(

2、1)概念事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為 的條件概率，記為 .(2)公式P(A|B)(其中，AB也可以記成AB).(3)當(dāng)P(A)0時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A).梳理梳理B發(fā)生時A發(fā)生P(A|B)思考1知識點二獨立事件事件A發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率嗎？答案甲箱里裝有3個白球、2個黑球，乙箱里裝有2個白球，2個黑球.從這兩個箱子里分別摸出1個球，記事件A“從甲箱里摸出白球”，B“從乙箱里摸出白球”.答案答案不影響.思考2P(A)，P(B)，P(AB)的值為多少？答案思考3P(AB)與P(A)，P(B)有什么關(guān)系？答案答案P(AB)P(A)P(B).(3)拓展：若A1，A2，

3、An相互獨立，則有P(A1A2An).獨立事件(1)概念：對兩個事件A，B，如果 ，則稱A，B相互獨立.梳理梳理P(AB)P(A)P(B)BP(A1)P(A2)P(An)題型探究例例1在5道題中有3道理科題和2道文科題.如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；類型一條件概率解答解解設(shè)第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則第1次和第2次都抽到理科題為事件AB.從5道題中不放回地依次抽取2道題的事件數(shù)為n()20.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，n(A)12.(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；解答(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率.求條件概率

4、一般有兩種方法：一是對于古典概型類題目，可采用縮減基本事件總數(shù)的辦法來計算，P(B|A)，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件個數(shù)，n(A)表示事件A包含的基本事件個數(shù)；二是直接根據(jù)定義計算，P(B|A)，特別要注意P(AB)的求法.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1盒中裝有5個產(chǎn)品，其中3個一等品，2個二等品，不放回地從中取產(chǎn)品，每次取1個.求：(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率；解答解解記Ai為第i次取到一等品，其中i1,2.取兩次，兩次都取得一等品的概率，(2)取兩次，第二次取得一等品的概率；(3)取兩次，在第二次取得一等品的條件下，第一次取得的是二等品的概率.解答解解取兩次，第二次取得

5、一等品，則第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品，解解取兩次，已知第二次取得一等品，例例2一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)一個家庭中既有男孩又有女孩，B一個家庭中最多有一個女孩.對下列兩種情形，討論A與B的獨立性：(1)家庭中有兩個小孩；解答類型二獨立事件的判斷解解有兩個小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4個基本事件，由等可能性知概率都為 .這時A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，由此可知P(AB)P(A)P(B)，所以事件A，B不相互獨立.解解有三個小孩的家

6、庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女).由等可能性知這8個基本事件的概率均為 ，這時A中含有6個基本事件，B中含有4個基本事件，AB中含有3個基本事件.解答(2)家庭中有三個小孩.從而事件A與B是相互獨立的.三種方法判斷兩事件是否具有獨立性(1)定義法：直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.(2)公式法：檢驗P(AB)P(A)P(B)是否成立.(3)條件概率法：當(dāng)P(A)0時，可用P(B|A)P(B)判斷.反思與感悟解析解析根據(jù)事件相互獨立性的定義判斷，只要P(AB)P(A)

7、P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C)成立即可.利用古典概型概率公式計算可得P(A)0.5，P(B)0.5，P(C)0.5，P(AB)0.25，P(AC)0.25，P(BC)0.25.可以驗證P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C).所以根據(jù)事件相互獨立的定義，事件A與B相互獨立，事件B與C相互獨立，事件A與C相互獨立.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A是“第一枚為正面”，事件B是“第二枚為正面”，事件C是“兩枚結(jié)果相同”，則下列事件具有相互獨立性的是_.(填序號)A，B；A，C；B，C.答案解析類型三獨立

8、事件的概率例例3在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾要彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手.(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；解答解解設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”，因為事件A與B相互獨立，(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列.解答所以X的分布列為概率問題中的數(shù)學(xué)思想(1)正難則反：靈活應(yīng)用對立事件的概率關(guān)系(P

9、(A)P()1)簡化問題，是求解概率問題最常用的方法.(2)化繁為簡：將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系.“所求事件”分幾類(考慮概率加法公式，轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步(考慮概率乘法公式，轉(zhuǎn)化為相互獨立事件)組成.(3)方程思想：利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過解方程(組)使問題獲解.反思與感悟解答跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3甲、乙、丙三臺機床各自獨立加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為 ，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為 ，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為

10、 .(1)分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；解解設(shè)A，B，C分別為甲，乙，丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件.代入得27P(C)251P(C)220，(2)從甲、乙、丙三臺機床加工的零件中各取一個進行檢驗，求至少有一個一等品的概率.解答解解記D為從甲、乙、丙三臺機床加工的零件中各取一個進行檢驗，其中至少有一個一等品的事件，當(dāng)堂訓(xùn)練234511.一件產(chǎn)品要經(jīng)過2道獨立的加工程序，第一道工序的次品率為a，第二道工序的次品率為b，則產(chǎn)品的正品率為A.1ab B.1abC.(1a)(1b)D.1(1a)(1b)答案解析解析解析2道工序相互獨立，產(chǎn)品的正品率為(1a)(1b).2

11、34512.拋擲紅、藍兩個骰子，事件A“紅骰子出現(xiàn)4點”，事件B“藍骰子出現(xiàn)的點數(shù)是偶數(shù)”，則P(A|B)為答案解析3.市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到的一個甲廠的合格燈泡的概率是A.0.665 B.0.564 C.0.245 D.0.28523451答案解析解析解析記事件A為“甲廠產(chǎn)品”，事件B為“合格產(chǎn)品”，則P(A)0.7，P(B|A)0.95，P(AB)P(A)P(B|A)0.70.950.665.234514.壇子里放有3個白球，2個黑球，從中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2

12、次摸得白球，則A1與A2是A.互斥事件 B.相互獨立事件C.對立事件 D.不相互獨立事件解析解析解析互斥事件和對立事件是同一次試驗的兩個不同時發(fā)生的事件，故選項A、C錯.而事件A1的發(fā)生對事件A2發(fā)生的概率有影響，故兩者是不相互獨立事件.答案5.某田徑隊有三名短跑運動員，根據(jù)平時訓(xùn)練情況統(tǒng)計甲，乙，丙三人100 m跑(互不影響)的成績在13 s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為 ，若對這三名短跑運動員的100 m跑的成績進行一次檢測，求(1)三人都合格的概率；23451解答解解記“甲、乙、丙三人100米跑成績合格”分別為事件A，B，C，顯然事件A，B，C相互獨立，設(shè)恰有k人合格的概率為Pk(k0,1,

13、2,3).三人都合格的概率(2)三人都不合格的概率；23451解答解析解析三人都不合格的概率(3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大？23451解答解析解析恰有兩人合格的概率恰有一人合格的概率結(jié)合(1)(2)可知P1最大.所以出現(xiàn)恰有1人合格的概率最大.規(guī)律與方法1.計算條件概率時應(yīng)注意：(1)準(zhǔn)確理解條件概率的概念：條件概率中的兩個事件是互相影響的，其結(jié)果受兩個條件的概率的制約.(2)要正確求出條件概率，必須首先弄清楚“事件A發(fā)生”“事件A發(fā)生并且事件B也發(fā)生”“事件B在事件A發(fā)生的條件下發(fā)生”的概率之間的關(guān)系.2.互斥事件、對立事件、相互獨立事件的區(qū)別與聯(lián)系名稱區(qū)別聯(lián)系定義事件個數(shù)互斥事件在一次試驗中不能同時發(fā)生的事件兩個或兩個以上兩事件互斥，但不一定對立；反之一定成立.兩事件獨立，則不一定互斥(或?qū)α?.兩事件互斥(或?qū)α?，則不相互獨立對立事件在一次試驗中不能同時發(fā)生但必有一個發(fā)生的事件兩個獨立事件一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響兩個或兩個以上本課結(jié)束