2、選C.
2．(2019·全國卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，則z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
答案 D
解析 由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故選D.
3．(2019·衡陽八中模擬)某地某高中2019年的高考考生人數(shù)是2015年高考考生人數(shù)的1.5倍．為了更好地對比該校考生的升學(xué)情況，統(tǒng)計了該校2015年和2019年高考情況，得到如下餅狀圖：
2019年的數(shù)據(jù)信息與2015年的相比，下列結(jié)論正確的是( )
A．一本達(dá)線人數(shù)減少
B．二本達(dá)線人數(shù)增加了0.5倍
C．藝體達(dá)線人數(shù)相同
D．不達(dá)線的人數(shù)有所增加
3、答案 D
解析 不妨設(shè)2015年的高考考生人數(shù)為100，則2019年的高考考生人數(shù)為150.2015年一本達(dá)線人數(shù)為28,2019年一本達(dá)線人數(shù)為36，可見一本達(dá)線人數(shù)增加了，故A錯誤；2015年二本達(dá)線人數(shù)為32,2019年二本達(dá)線人數(shù)為60，顯然2019年二本達(dá)線人數(shù)不是增加了0.5倍，故B錯誤；藝體達(dá)線比例沒變，但是高考考生人數(shù)是不相同的，故C錯誤；2015年不達(dá)線人數(shù)為32,2019年不達(dá)線人數(shù)為42，不達(dá)線人數(shù)有所增加，故D正確．
4．(2019·長葛市一模)下列各點中，可以作為函數(shù)y＝sinx－cosx＋1圖象的對稱中心的是( )
A. B.
C. D.
答案
4、A
解析 ∵y＝sinx－cosx＋1＝2sin＋1，∴函數(shù)的對稱中心橫坐標(biāo)x滿足x－＝kπ，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z.可知該函數(shù)圖象的對稱中心為，當(dāng)k＝0時，為該函數(shù)的一個對稱中心，故選A.
5．(2019·昆明一中二模)已知函數(shù)f (x)＝當(dāng)x1≠x2時，<0，則a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵當(dāng)x1≠x2時，<0，∴f (x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，∵f (x)＝∴∴00)的焦點，點A(2，y1)，B分別是拋物線上位于第一、四象限的點，若|AF|＝10，則
5、|y1－y2|＝( )
A．4 B．8 C．12 D．16
答案 C
解析 ∵|AF|＝2＋＝10，∴p＝16，則拋物線的方程為y2＝32x，把x＝代入拋物線方程，得y＝－4(y＝4舍去)，即B，把x＝2代入拋物線方程，得y＝8(y＝－8舍去)，即A(2,8)，則|y1－y2|＝|8－(－4)|＝12，故選C.
7．(2019·濰坊市一模)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出的y值為1，則輸入的x的值為( )
A．0 B．e C．0或e D．0或1
答案 C
解析 程序?qū)?yīng)的函數(shù)為y＝若x≤0，由y＝1，得ex＝1，即x＝0，滿足條件．若x＞0，由y＝2－ln x
6、＝1，得ln x＝1，即x＝e，滿足條件．綜上，x＝0或x＝e，故選C.
8．(2019·長春一模)正方形ABCD邊長為2，點E為BC邊的中點，F(xiàn)為CD邊上一點，若·＝5，則||＝( )
A．3 B．5 C. D.
答案 D
解析 ∵正方形ABCD的邊長為2，點E為BC邊的中點，F(xiàn)為CD邊上一點，∴AE＝，∵·＝5＝||2，∴||||cos∠EAF＝||2，
∴||cos∠EAF＝||，由數(shù)量積的幾何意義可知EF⊥AE，由E是BC中點，可得EC＝1，EF＝，AF＝，∵AE2＋EF2＝AF2，即5＋1＋CF2＝4＋(2－CF)2，∴CF＝，∴||＝AF＝.故選D.
9．(
7、2019·河南濮陽二模)記[m]表示不超過m的最大整數(shù)．若在x∈上隨機(jī)取1個實數(shù)，則使得[log2x]為偶數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 若x∈，則log2x∈(－3，－1)，要使得[log2x]為偶數(shù)，則log2x∈[－2，－1)．所以x∈，故所求概率P＝＝.故選A.
10．(2019·福州一模)已知函數(shù)f (x)＝xsinx，f′(x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)f′(x)的部分圖象大致為( )
答案 A
解析 函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝sinx＋xcosx為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除C，D；設(shè)g(x)＝f′(x)，則g′(x
8、)＝2cosx－xsinx，g′(0)＝2＞0，排除B，故選A.
11．(2019·長沙一中三模)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acosB＋bcosA＝4sinC，則△ABC的外接圓面積為( )
A．16π B．8π C．4π D．2π
答案 C
解析 設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，∵acosB＋bcosA＝4sinC，∴由余弦定理可得a·＋b·＝＝c＝4sinC，∴2R＝＝4，解得R＝2，∴△ABC的外接圓面積為S＝πR2＝4π，故選C.
12．(2019·青島一模)已知函數(shù)f (x)＝若方程f (x)＝a(a為常數(shù))有兩個不相等的實根，則實數(shù)a的取值
9、范圍是( )
A．(－∞，0) B.
C．(－∞，0]∪ D．(－∞，0)∪
答案 D
解析 當(dāng)x＞0時，函數(shù)f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，由f′(x)＞0，得1－ln x＞0，得ln x＜1，得0＜x＜e，由f′(x)＜0，得1－ln x＜0，得ln x＞1，得x＞e，當(dāng)x的值趨向于正無窮大時，y的值趨向于負(fù)無窮大，即當(dāng)x＝e時，函數(shù)f (x)取得極大值，極大值為f (e)＝2e－eln e＝2e－e＝e；當(dāng)x≤0時，f (x)＝－x2－x＝－2＋是二次函數(shù)，在對稱軸x＝－處取得最大值.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f (x)和y＝a的圖象如圖所示，要使方程f (
10、x)＝a(a為常數(shù))有兩個不相等的實根，則a＜0或＜a＜e，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)∪，故選D.
第Ⅱ卷 (非選擇題，共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．(2019·天津高考)曲線y＝cosx－在點(0,1)處的切線方程為________．
答案 y＝－x＋1
解析 y′＝－sinx－，將x＝0代入，
可得切線斜率為－.
所以切線方程為y－1＝－x，
即y＝－x＋1.
14．(2019·河北衡水中學(xué)一模)已知實數(shù)x，y滿足約束條件則z＝3x＋y的最大值為________．
答案 5
解析 畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影
11、部分所示，作出直線y＝－3x＋z，可知z要取得最大值，即直線經(jīng)過點C.解方程組得C(2，－1)，所以zmax＝3×2＋(－1)＝5.
15．(2019·四川綿陽二診)已知點P是橢圓C：＋y2＝1上的一個動點，點Q是圓E：x2＋(y－4)2＝3上的一個動點，則|PQ|的最大值為________．
答案 4
解析 由題知，圓E的圓心坐標(biāo)為E(0,4)，半徑R＝，
設(shè)P(m，n)是橢圓上的任意一點，則＋n2＝1，
則|EP|2＝m2＋(n－4)2＝9－9n2＋(n－4)2＝－8n2－8n＋25，
當(dāng)n＝－時，|EP|2有最大值27，
所以|PQ|的最大值為3＋R＝4.
16．
12、(2019·青島二模)在四棱錐中P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若在這個四棱錐內(nèi)有一個球，則此球的最大表面積為________．
答案 (14－6)π
解析 在這個四棱錐內(nèi)有一個球，則此球有最大表面積時，對應(yīng)的球是內(nèi)切球，此時球的半徑最大，設(shè)內(nèi)切球的球心為O、半徑為R，連接OP，OA，OB，OC，OD，構(gòu)成五個小棱錐，則五個小棱錐的體積之和即為大棱錐的體積，即×S四邊形ABCD×PD＝×SP－ABCD×R，根據(jù)AB⊥AD，PD⊥AB，可得AB⊥平面PDA，故得AB⊥PA，PA＝＝PC，同理得BC⊥PC，四棱錐P－ABCD的表面積為SP－ABC
13、D＝×2××2＋×1×2×2＋2×2＝6＋2，×(6＋2)×R＝×4×1，得R＝，此時球的表面積為4π2＝(14－6)π.
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
(一)必考題：60分．
17．(本小題滿分12分)(2019·成都二模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比q＞1，且a2＋1為a1，a3的等差中項，S3＝14.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)記bn＝an·log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解 (1)∵a2＋1是a1，a3的等差中
14、項，
∴2(a2＋1)＝a1＋a3，
∴a1(q2＋1)＝2a1q＋2，又a1(1＋q＋q2)＝14，
以上兩式消去a1得2q2－5q＋2＝0，
∵q＞1，∴解得q＝2，∴a1＝2.∴an＝2n.
(2)bn＝an·log2an＝n·2n.
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.
2Tn＝2×2＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.
∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1.
∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.
18．(本小題滿分12分)(2019·合肥二模)如圖，三棱臺ABC－EFG的底面是正三角形，平面
15、ABC⊥平面BCGF，CB＝2GF，BF＝CF.
(1)求證：AB⊥CG；
(2)若△ABC和梯形BCGF的面積都等于，求三棱錐G－ABE的體積．
解 (1)證明：取BC的中點為D，連接DF.
由ABC－EFG是三棱臺得，平面ABC∥平面EFG，
∴BC∥FG.
∵CB＝2GF，
∴CD綊GF，
∴四邊形CDFG為平行四邊形，∴CG∥DF.
∵BF＝CF，D為BC的中點，
∴DF⊥BC，∴CG⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BCGF，且交線為BC，CG?平面BCGF，∴CG⊥平面ABC，而AB?平面ABC，
∴CG⊥AB.
(2)∵三棱臺ABC－EFG的底面是正三
16、角形，且CB＝2GF，∴AC＝2EG，∴S△ACG＝2S△AEG，
∴VG－ABE＝VB－AEG＝VB－ACG＝VG－ABC.
由(1)知，CG⊥平面ABC.
∵正△ABC的面積等于，∴BC＝2，GF＝1.
∵直角梯形BCGF的面積等于，
即＝，∴CG＝，
∴VG－ABE＝VG－ABC＝··S△ABC·CG＝.
19．(本小題滿分12分)(2019·臨沂二模)按國家規(guī)定，某型號運營汽車的使用年限為8年．某二手汽車交易市場對2018年成交的該型號運營汽車交易前的使用時間進(jìn)行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如下圖．
(1)記事件A：“在2018年成交的該型號運營汽車中，隨機(jī)選取1輛，該
17、車的使用年限不超過4年”，試估計事件A的概率；
(2)根據(jù)該二手汽車交易市場的歷史資料，得到下表，其中x(單位：年)表示該型號運營汽車的使用時間，y(單位：萬元)表示相應(yīng)的平均交易價格．由下表提供的數(shù)據(jù)可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝x＋，并預(yù)測該型號運營汽車使用7年的平均交易價格．
相關(guān)公式：＝，＝－.
使用時間x(單位：年)
1
2
3
4
5
平均交易價格y(單位：萬元)
25
23
20
18
17
解 (1)由頻率分布直方圖可知，在2018年成交的該型號運營汽車的使用年限不超過4年的頻率為(0.10
18、＋0.20)×2＝0.6，所以估計事件A的概率為0.6.
(2)由題上表，可求得＝3，＝20.6，
xiyi＝288，x＝55，
∴＝＝－2.1，
＝20.6＋2.1×3＝26.9，
∴y＝－2.1x＋26.9.
∴當(dāng)x＝7時，y＝12.2.
所以預(yù)測該型號運營汽車使用7年的平均交易價格為12.2萬元．
20．(本小題滿分12分)(2019·榆林二模)設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓上C：＋y2＝1(1
19、過點N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點F.
解 (1)左頂點A的坐標(biāo)為(－a,0)，
因為＝，所以|a－5|＝3，
又1
20、(－x0，－2y0)，
所以·＝(－x0，－2y0)·(2，t)＝6－2x0－2y0t＝0，
所以NF⊥OP，
故過點N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點F.
21．(本小題滿分12分)(2019·湖南湘潭一模)已知函數(shù)f (x)＝ex－x2－ax.
(1)證明：當(dāng)a≤2－2ln 2時，f (x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的最小值不小于0；
(2)當(dāng)x>0時，f (x)≥1－x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解 (1)證明：f′(x)＝ex－2x－a，
令g(x)＝ex－2x－a，則g′(x)＝ex－2.
則當(dāng)x∈(－∞，ln 2)時，g′(x)<0，當(dāng)x∈(ln 2，＋∞)時，g′(
21、x)>0.
所以函數(shù)g(x)在x＝ln 2處取得最小值，又a≤2－2ln 2，所以g(ln 2)＝2－2ln 2－a≥0.
即當(dāng)a≤2－2ln 2時，f (x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的最小值不小于0.
(2)當(dāng)x>0時，ex－x2－ax≥1－x，即a≤－x－＋1.
令h(x)＝－x－＋1(x>0)，則h′(x)＝＝.
令φ(x)＝ex－x－1(x>0)，則φ′(x)＝ex－1>0.
當(dāng)x∈(0，＋∞)時，φ(x)單調(diào)遞增，φ(x)>φ(0)＝0.
則當(dāng)x∈(0,1)時，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增．
所以h(x)min
22、＝h(1)＝e－1，所以a≤e－1，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，e－1]．
(二)選考題：10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．
22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
(2019·福建寧德二模)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ.
(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；
(2)求C1與C2交點的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解 (1)曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，
轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋(y
23、－4)2＝4，
轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcosθ－8ρsinθ＋16＝0.
(2)曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ.
轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＝0，
所以
整理得公共弦的直線方程為x＋y－4＝0，
聯(lián)立
解得或
轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)為或.
23．(本小題滿分10分)[選修4－5：不等式選講]
(2019·榆林二模)已知f (x)＝|x＋a|(a∈R)．
(1)若f (x)≥|2x－1|的解集為[0,2]，求a的值；
(2)若對任意x∈R，不等式f (x)＋|x－a|≥3a－2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解 (1)不等式f (x)≥|2x－1|，即|x＋a|≥|2x－1|，
兩邊平方整理得3x2－(2a＋4)x＋1－a2≤0，
由題意知0和2是方程3x2－(2a＋4)x＋1－a2＝0的兩個實數(shù)根，
即解得a＝1.
(2)因為f (x)＋|x－a|＝|x＋a|＋|x－a|≥|(x＋a)－(x－a)|＝2|a|，
所以要使不等式f (x)＋|x－a|≥3a－2恒成立，只需2|a|≥3a－2，
當(dāng)a≥0時，2a≥3a－2，解得a≤2，即0≤a≤2；
當(dāng)a<0時，－2a≥3a－2，解得a≤，即a<0；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，2]．
12
（2019高考題 2019模擬題）2020高考數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)鞏固練（四）文（含解析）
