《（廣西課標(biāo)版）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練16 橢圓、雙曲線、拋物線 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（廣西課標(biāo)版）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練16 橢圓、雙曲線、拋物線 文（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題能力訓(xùn)練16 橢圓、雙曲線、拋物線
一、能力突破訓(xùn)練
1.(2018全國(guó)Ⅰ,文4)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為( )
A.13 B.12 C.22 D.223
2.已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則△APF的面積為( )
A.13 B.12
C.23 D.32
3.(2019黑龍江大慶二模,8)已知F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),過點(diǎn)R(2,1)的直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),R為線段AB的中點(diǎn).若|FA|+|FB|=5,則直線l的斜率為( )
2、
A.3 B.1
C.2 D.12
4.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為( )
A.x24-y212=1 B.x212-y24=1
C.x23-y2=1 D.x2-y23=1
5.(2018全國(guó)Ⅱ,文11)已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為( )
A.1-32 B.2-3
C.3-12 D.3-1
6.(2019全國(guó)Ⅲ,文10)已知F是雙曲線C:x24-y25=1的一個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,
3、O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|OP|=|OF|,則△OPF的面積為( )
A.32 B.52
C.72 D.92
7.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是 .?
8.已知直線l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,拋物線C:y2=16x,P是C上一動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到l1與l2距離之和的最小值為 .?
9.如圖,已知拋物線C1:y=14x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過點(diǎn)P(t,0)(t>0)作不過原點(diǎn)O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為
4、切點(diǎn).
(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);
(2)求△PAB的面積.
注:直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且與拋物線的對(duì)稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱該公共點(diǎn)為切點(diǎn).
10.如圖,動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)構(gòu)成△MAB,且直線MA,MB的斜率之積為4,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線y=x+m(m>0)與y軸相交于點(diǎn)P,與軌跡C相交于點(diǎn)Q,R,且|PQ|<|PR|,求|PR||PQ|的取值范圍.
11.設(shè)橢圓x2a2+y23=1(a>3)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,
5、其中O為原點(diǎn),e為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直線l的斜率.
二、思維提升訓(xùn)練
12.(2019四川成都外國(guó)語學(xué)校月考,11)已知點(diǎn)F1,F2是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)F1的直線l與雙曲線的左支交于點(diǎn)A,與右支交于點(diǎn)B.若|AF1|=2a,∠F1AF2=2π3,則S△AF1F2S△ABF2=( )
A.1 B.12 C.13 D.23
13.(2019全國(guó)Ⅰ,文12)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1
6、(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為( )
A.x22+y2=1 B.x23+y22=1
C.x24+y23=1 D.x25+y24=1
14.已知拋物線x2=16y的焦點(diǎn)為F,雙曲線x24-y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)F1,F2,點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn),則|PF|+|PF1|的最小值為 .?
15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程
7、為 .?
16.已知圓C:(x+1)2+y2=20,點(diǎn)B(1,0),點(diǎn)A是圓C上的動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線與線段AC交于點(diǎn)P.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程;
(2)設(shè)M0,15,N為拋物線C2:y=x2上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)N作拋物線C2的切線交曲線C1于P,Q兩點(diǎn),求△MPQ面積的最大值.
17.已知?jiǎng)狱c(diǎn)C是橢圓Ω:x2a+y2=1(a>1)上的任意一點(diǎn),AB是圓G:x2+(y-2)2=94的一條直徑(A,B是端點(diǎn)),CA·CB的最大值是314.
(1)求橢圓Ω的方程.
(2)已知橢圓Ω的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)F1,F2,過點(diǎn)F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓
8、Ω于P,Q兩點(diǎn).在線段OF2上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
專題能力訓(xùn)練16 橢圓、雙曲線、拋物線
一、能力突破訓(xùn)練
1.C 解析因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),所以其焦點(diǎn)在x軸上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以橢圓C的離心率e=ca=22.
2.D 解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0).將x=2代入x2-y23=1,得y=±3,所以PF=3.又點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),故△APF的面積為12×3×(2-1)=32,故選D.
3.B 解析設(shè)
9、A(x1,y1),B(x2,y2).
因?yàn)镽(2,1)為線段AB的中點(diǎn),所以x1+x2=2×2=4.
根據(jù)拋物線的定義可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=2×2+p=5,解得p=1.
所以拋物線方程為y2=2x.
所以y12=2x1,y22=2x2,兩式相減并化簡(jiǎn)得y2-y1x2-x1=2y1+y2=22×1=1,即直線l的斜率為1,故選B.
4.D 解析∵雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,且△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y=bax上,
∴c=2,ba=tan60°,a2+b2=c2,解得a=1,b
10、=3.
∴雙曲線的方程為x2-y23=1.
故選D.
5.D 解析不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),則|PF1|+|PF2|=2a.
∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,
∴3c+c=2a,即(3+1)c=2a.
∴e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1.
6.B 解析設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則x024-y025=1.①
又|OP|=|OF|=4+5=3,
∴x02+y02=9.②
由①②得,y02=259,即|y0|=53.
∴S△OPF=12|OF|·|y0|=12×3×53=52
11、.故選B.
7. 2 解析由題意不妨設(shè)AB=3,則BC=2.
設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N,如圖,
則在Rt△BMN中,MN=2,
故BN=BM2+MN2=322+22=52.
由雙曲線的定義可得2a=BN-BM=52-32=1,
而2c=MN=2,所以雙曲線的離心率e=2c2a=2.
8.922 解析在同一坐標(biāo)系中畫出直線l1,l2和曲線C如圖.
P是C上任意一點(diǎn),由拋物線的定義知,|PF|=d2,
∴d1+d2=d1+|PF|,顯然當(dāng)PF⊥l1,
即d1+d2=|FM|時(shí),距離之和取到最小值.
∵|FM|=922,
∴所求最小值為922.
9.解(1)由
12、題意知直線PA的斜率存在,故可設(shè)直線PA的方程為y=k(x-t),
由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,
由于直線PA與拋物線相切,得k=t.
因此,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t,t2).
設(shè)圓C2的圓心為D(0,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),由題意知:點(diǎn)B,O關(guān)于直線PD對(duì)稱,
故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.
因此,點(diǎn)B的坐標(biāo)為2t1+t2,2t21+t2.
(2)由(1)知|AP|=t·1+t2和直線PA的方程tx-y-t2=0.
點(diǎn)B到直線PA的距離是d=t21+t2.
設(shè)△PA
13、B的面積為S(t),
所以S(t)=12|AP|·d=t32.
10.解(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)x=-1時(shí),直線MA的斜率不存在;
當(dāng)x=1時(shí),直線MB的斜率不存在.
于是x≠1,且x≠-1.
此時(shí),MA的斜率為yx+1,MB的斜率為yx-1.
由題意,有yx+1·yx-1=4.
整理,得4x2-y2-4=0.
故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為4x2-y2-4=0(x≠±1).
(2)由y=x+m,4x2-y2-4=0消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①
對(duì)于方程①,其判別式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,
而當(dāng)1或-1為方程①的根時(shí),
14、m的值為-1或1.
結(jié)合題設(shè)(m>0)可知,m>0,且m≠1.
設(shè)Q,R的坐標(biāo)分別為(xQ,yQ),(xR,yR),
則xQ,xR為方程①的兩根,
因?yàn)閨PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|.
因?yàn)閤Q=m-2m2+33,xR=m+2m2+33,且Q,R在同一條直線上,
所以|PR||PQ|=xRxQ=21+3m2+121+3m2-1=1+221+3m2-1.此時(shí)1+3m2>1,且1+3m2≠2,
所以1<1+221+3m2-1<3,
且1+221+3m2-1≠53,
所以1<|PR||PQ|=xRxQ<3,且|PR||PQ|=xRxQ≠53.
綜上所述,|PR||PQ
15、|的取值范圍是1,53∪53,3.
11.解(1)設(shè)F(c,0).由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,
又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
所以,橢圓的方程為x24+y23=1.
(2)設(shè)直線l的斜率為k(k≠0),則直線l的方程為y=k(x-2).設(shè)B(xB,yB),由方程組x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.
解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由題意得xB=8k2-64k2+3,從而yB=-12k4k2+3.
由(1)知,F(1,
16、0),設(shè)H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.
由BF⊥HF,得BF·FH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.因此直線MH的方程為y=-1kx+9-4k212k.
設(shè)M(xM,yM),由方程組y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).在△MAO中,∠MOA=∠MAO?|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM2=xM2+yM2,化簡(jiǎn)得xM=1,即20k2+912(k2+1)=1,解得k=-64,或k=64.所以,直線l的斜率為-64或64.
17、
二、思維提升訓(xùn)練
12. B 解析如圖,根據(jù)雙曲線的定義,可得|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.
∵|AF1|=2a,
∴|AF2|=4a,|AB|=|BF2|.
又∠F1AF2=2π3,∴∠F2AB=π3.
∴△ABF2是等邊三角形.
∴|AB|=4a.
∴S△AF1F2S△ABF2=|AF1||AB|=12.
13.B 解析如圖,由已知可設(shè)|F2B|=n,|BF1|=m.
由|AB|=|BF1|,則|AF2|=m-n,|AB|=m.
又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.
由橢圓的定義及|AF2|=
18、2|F2B|,
得m-n=2n,m+n=2a,解得m=3a2,n=a2.
∴|AF1|=a,|AF2|=a.
∴點(diǎn)A為(0,-b).
∴kAF2=b1=b.
過點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)P.
由題意可知△OAF2∽△PBF2.
又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.
∴|F2P|=12.
又kAF2=|BP||F2P|=|BP|12=b,
∴|BP|=12b.∴點(diǎn)B32,12b.
把點(diǎn)B坐標(biāo)代入橢圓方程x2a2+y2b2=1中,得a2=3.
又c=1,故b2=2.
所以橢圓方程為x23+y22=1.
14.9 解析由題意得拋物線x2=16y的焦點(diǎn)為
19、F(0,4),
雙曲線x24-y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-3,0),F2(3,0).
∵點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn),∴|PF1|=|PF2|+4.
∴|PF|+|PF1|=|PF|+(|PF2|+4)=|PF|+|PF2|+4≥|FF2|+4=5+4=9,
當(dāng)且僅當(dāng)F,P,F2三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.
∴|PF|+|PF1|的最小值為9.
15.y=±22x 解析拋物線x2=2py的焦點(diǎn)F0,p2,準(zhǔn)線方程為y=-p2.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4·p2=2p.
所以y1+y2=p.
聯(lián)立
20、雙曲線與拋物線方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,
消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.
所以y1+y2=2pb2a2=p,
所以b2a2=12.
所以該雙曲線的漸近線方程為y=±22x.
16.解(1)由已知可得,點(diǎn)P滿足|PB|+|PC|=|AC|=25>2=|BC|,
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1是一個(gè)橢圓,其中2a=25,2c=2.
動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程為x25+y24=1.
(2)設(shè)N(t,t2),則PQ的方程為
y-t2=2t(x-t)?y=2tx-t2.
聯(lián)立方程組y=2tx-t2,x25+y24=1,消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x
21、+5t4-20=0,
有Δ=80(4+20t2-t4)>0,x1+x2=20t34+20t2,x1x2=5t4-204+20t2.
而|PQ|=1+4t2×|x1-x2|=1+4t2×80(4+20t2-t4)4+20t2,點(diǎn)M到PQ的高為h=15+t21+4t2,
由S△MPQ=12|PQ|h代入化簡(jiǎn),得
S△MPQ=510-(t2-10)2+104≤510×104=1305,當(dāng)且僅當(dāng)t2=10時(shí),S△MPQ可取最大值1305.
17.解(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),則x2a+y2=1.
連接CG,由CA=CG+GA,CB=CG+GB=CG-GA,又G(0,2),CG=(-x,
22、2-y),
可得CA·CB=CG2-GA2=x2+(y-2)2-94=a(1-y2)+(y-2)2-94=-(a-1)y2-4y+a+74,其中y∈[-1,1].
因?yàn)閍>1,所以當(dāng)y=42(1-a)≤-1,即1-1,即a>3時(shí),CA·CB的最大值是4(1-a)a+74-164(1-a),
由條件得4(1-a)a+74-164(1-a)=314,
即a2-7a+10=0,
解得a=5或a=2(舍去).
綜上所述,橢圓Ω的方程是x25+y2=1.
(2)設(shè)點(diǎn)P(
23、x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則滿足x125+y12=1,x225+y22=1,兩式相減,
整理,得y2-y1x2-x1=-x2+x15(y2+y1)=-x05y0,
從而直線PQ的方程為y-y0=-x05y0(x-x0).
又右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)是(2,0),
將點(diǎn)F2的坐標(biāo)代入PQ的方程得
-y0=-x05y0(2-x0),
因?yàn)橹本€l與x軸不垂直,所以2x0-x02=5y02>0,從而0
（廣西課標(biāo)版）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練16 橢圓、雙曲線、拋物線 文
