（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題突破練28 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理 選修4-4

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1、專題突破練28　坐標(biāo)系與參數(shù)方程(選修4—4) 1.(2019吉林長春外國語學(xué)校高二下學(xué)期第二次月考)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=364cos2θ+9sin2θ. (1)若以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,求曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)若P(x,y)是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求x+2y的最大值. 2.已知直線l的參數(shù)方程為x=tcosα,y=tsinα(其中t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-2mρcos θ-4=0(其中m>0). (1

2、)若點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(3,3),且點(diǎn)M在曲線C內(nèi),求實(shí)數(shù)m的取值范圍; (2)若m=3,當(dāng)α變化時(shí),求直線l被曲線C截得的弦長的取值范圍. 3.(2019河北唐山第一中學(xué)高三下學(xué)期沖刺二)已知直線l:x=1+12t,y=32t(t為參數(shù)),曲線C1:x=cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù)). (1)設(shè)l與C1相交于AB兩點(diǎn),求|AB|; (2)若把曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的12倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來的32倍,得到曲線C2,設(shè)點(diǎn)P是曲線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值.

3、 4.(2019晉冀魯豫中原名校高三第三次聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中,O為極點(diǎn),點(diǎn)A2,π4,點(diǎn)B2,7π4. (1)以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,求經(jīng)過O,A,B三點(diǎn)的圓M的直角坐標(biāo)方程; (2)在(1)的條件下,圓N的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0(a>0),若圓M與圓N相切,求實(shí)數(shù)a的值. 5.(2019內(nèi)蒙古呼倫貝爾高三模擬統(tǒng)一考試)在直角坐標(biāo)系中,圓C的參數(shù)方程為x=1+2cosα,y=3+2sinα(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且長度單位相同. (

4、1)求圓C的極坐標(biāo)方程; (2)若直線l:x=tcosφ,y=tsinφ(t為參數(shù))被圓C截得的弦長為23,求直線l的傾斜角. 6.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為x=2+t,y=kt(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為x=-2+m,y=mk(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程; (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:ρ(cos θ+sin θ)-2=0,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑.

5、 7.(2019河北石家莊高中畢業(yè)班模擬)在極坐標(biāo)系中,曲線C的方程為ρcos2θ=asin θ(a>0),以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸所在直線為x軸建立直角坐標(biāo),直線l的參數(shù)方程為x=2-22t,y=-1+22t(t為參數(shù)),l與C交于M,N兩點(diǎn). (1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程; (2)設(shè)點(diǎn)P(2,-1),若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求a的值. 8.(2019湖南桃江第一中學(xué)高三5月模擬考試)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x+y-a=0,曲線C的參數(shù)方程為x=2cosα,y=s

6、inα(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程; (2)若直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),且直線OA與OB的斜率之積為54,求a. 專題突破練28　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 (選修4—4) 1.解(1)由題得4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36, 所以4x2+9y2=36,故x29+y24=1. 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x29+y24=1. (2)設(shè)P(3cosα,2sinα),所以x+2y=3cosα+4sinα=5sin(α+β)≤5. 其中β在第一象限,且tanβ=34. 所

7、以x+2y的最大值為5. 2.解(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得曲線C對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為(x-m)2+y2=m2+4. 由點(diǎn)M在曲線C的內(nèi)部, ∴(3-m)2+9

8、普通方程為y=3(x-1),C1的普通方程為x2+y2=1. 聯(lián)立方程組y=3(x-1),x2+y2=1,解得l與C1的交點(diǎn)為A(1,0),B12,-32,則|AB|=1. (2)C2的參數(shù)方程為x=12cosθ,y=32sinθ(θ為參數(shù)), 故點(diǎn)P的坐標(biāo)是12cosθ,32sinθ, 從而點(diǎn)P到直線l的距離是32cosθ-32sinθ-32=342sinθ-π4+2, 由此當(dāng)sinθ-π4=-1時(shí),d取得最小值,且最小值為64(2-1). 4.解(1)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,-1),可得圓M的圓心坐標(biāo)為(1,0),半

9、徑為1,所以圓M的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1. (2)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入圓N的極坐標(biāo)方程,可得圓N的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y+1-a2=0, 整理為x2+(y-1)2=a2,可得圓N的圓心為(0,1),半徑為a, 圓M與圓N的圓心距為2,若圓M與圓N相外切,有a+1=2, 所以a=2-1. 若圓M與圓N內(nèi)切,則有a-1=2,所以a=2+1. 綜上:實(shí)數(shù)a=2-1或a=2+1. 5.解(1)圓C:x=1+2cosα,y=3+2sinα,消去參數(shù)α,得(x-1)2+(y-3)2=4,即x2+y2-2x-23y=0. ∵ρ2=x2+y2,x=ρcos

10、θ,y=ρsinθ. ∴ρ2-2ρcosθ-23ρsinθ=0, 所以ρ=4cosθ-π3. 故圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ-π3. (2)直線l:x=tcosφ,y=tsinφ的極坐標(biāo)方程為θ=φ, 當(dāng)θ=φ時(shí),ρ=4cosφ-π3=23. 即cosφ-π3=32, ∴φ-π3=π6或φ-π3=-π6. ∴φ=π2或φ=π6. ∴直線l的傾斜角為π6或π2. 6.解(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2). 設(shè)P(x,y),由題設(shè)得y=k(x-2),y=1k(x+2).消去k得x2-y2=4(y≠0)

11、.所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0). (2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).聯(lián)立ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,ρ(cosθ+sinθ)-2=0, 得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ). 故tanθ=-13, 從而cos2θ=910,sin2θ=110. 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交點(diǎn)M的極徑為5. 7.解(1)由題意,曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2cos2θ=aρsinθ(a>0), 又由x=ρcosθ,y=ρsinθ(θ為參數(shù)),可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2=ay(a>0), 由

12、直線l的參數(shù)方程為x=2-22t,y=-1+22t(t為參數(shù)),消去參數(shù)t,得x+y-1=0,即直線l的普通方程為x+y-1=0. (2)把l的參數(shù)方程x=2-22t,y=-1+22t(t為參數(shù))代入拋物線的直角坐標(biāo)方程中,得t2-(42+2a)t+(8+2a)=0, 由Δ=2a2+8a>0,設(shè)方程的兩根分別為t1,t2,則t1+t2=42+2a>0,t1t2=8+2a>0,可得t1>0,t2>0. 所以|MN|=|t1-t2|,|PM|=t1,|PN|=t2. 因?yàn)閨PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列, 所以(t1-t2)2=t1t2,即(t1+t2)2=5t1t2. 則(42

13、+2a)2=5(8+2a),解得a=1或a=-4(舍去負(fù)值). 所以實(shí)數(shù)a=1. 8.解(1)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x+y-a=0的方程中, 所以直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ-a=0. 在曲線C的參數(shù)方程中,消去α,可得x24+y2=1, 將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x24+y2=1的方程中, 所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2(4sin2θ+cos2θ)=4. (2)直線l與曲線C的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組ρcosθ+ρsinθ-a=0,ρ2(4sin2θ+cos2θ)=4, 由方程組得a2(4sin2θ+cos2θ)=4(cosθ+sinθ)2,得4a2sin2θ+a2cos2θ=4(sin2θ+cos2θ+2cosθsinθ), 兩邊同除cos2θ,可化為4a2tan2θ+a2=4+8tanθ+4tan2θ, 即(4a2-4)tan2θ-8tanθ+a2-4=0. 設(shè)A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),則kOAkOB=tanθ1tanθ2=a2-44a2-4=54,解得a=±12. 13