2019年高考數(shù)學(xué) 高考題和高考模擬題分項(xiàng)版匯編 專題09 不等式、推理與證明 文（含解析）

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1、專題09 不等式、推理與證明 1．【2019年高考全國(guó)I卷文數(shù)】古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是．若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，則其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 【答案】B 【解析】方法一：如下圖所示. 依題意可知： ， 腿長(zhǎng)為105 cm得，即， ， ， 所以AD>169.89. ②

2、頭頂至脖子下端長(zhǎng)度為26 cm， 即AB<26， ， ， ， ， 所以. 綜上，. 故選B. 方法二：設(shè)人體脖子下端至肚臍的長(zhǎng)為x cm，肚臍至腿根的長(zhǎng)為y cm，則，得．又其腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm，所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故選B． 【名師點(diǎn)睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取類比法，利用轉(zhuǎn)化思想解題． 2．【2019年高考全國(guó)III卷文數(shù)】記不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈．命題；命題．下面給出了四個(gè)命題 ① ② ③ ④ 這四個(gè)命題中，所有真命

3、題的編號(hào)是 A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】A 【解析】根據(jù)題中的不等式組可作出可行域，如圖中陰影部分所示， 記直線， 由圖可知，， 所以p為真命題，q為假命題， 所以為假命題，為真命題， 所以為真命題，為假命題，為真命題，為假命題， 所以所有真命題的編號(hào)是①③.故選A. 【名師點(diǎn)睛】本題將線性規(guī)劃和不等式，命題判斷綜合到一起，解題關(guān)鍵在于充分利用取值驗(yàn)證的方法進(jìn)行判斷. 3．【2019年高考北京卷文數(shù)】在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=lg，其中星等為mk的星的亮度為

4、Ek（k=1，2）．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為 A． 1010.1 B． 10.1 C． lg10.1 D． 10–10.1 【答案】A 【解析】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令, . 故選：A． 【名師點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算. 4．【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【解析】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分. 目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線

5、在軸上的截距， 故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值. 由，得， 所以. 故選C. 【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域，分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值或范圍．即：一畫，二移，三求． 5．【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)，則“”是“”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】等價(jià)于，故推不出； 由能推出， 故“”是“”的必要不充分條件. 故選B. 【名師點(diǎn)睛

6、】充要條件的三種判斷方法： (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷； (2)集合法：根據(jù)由p，q成立的對(duì)象構(gòu)成的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷； (3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷．這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問題． 6．【2019年高考浙江卷】若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值是 A． B． 1 C． 10 D． 12 【答案】C 【解析】畫出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示. 因?yàn)?，所? 平移直線可知，當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值. 聯(lián)立兩直線方程可得，解得. 即點(diǎn)A坐標(biāo)為， 所以.故選C.

7、【名師點(diǎn)睛】解答此類問題，要求作圖要準(zhǔn)確，觀察要仔細(xì).往往由于由于作圖欠準(zhǔn)確而影響答案的準(zhǔn)確程度，也有可能在解方程組的過程中出錯(cuò). 7．【2019年高考浙江卷】若，則“”是 “”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立； 當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件. 【名師點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果. 8．【2019年高考

8、全國(guó)II卷文數(shù)】若變量x，y滿足約束條件則z=3x–y的最大值是______. 【答案】9 【解析】畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示， 陰影部分表示的三角形ABC區(qū)域，根據(jù)直線中的表示縱截距的相反數(shù)，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取最大值為9． 【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中最大值問題，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取圖解法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．搞不清楚線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義致誤，從線性目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線的截距觀察可行域，平移直線進(jìn)行判斷取最大值還是最小值． 9．【2019年高考全國(guó)II卷文數(shù)】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或

9、圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_________．（本題第一空2分，第二空3分．） 【答案】26， 【解析】【答案】26， 【解析】由圖可知第一層（包括上底面）與第三層（包括下底面）各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有個(gè)面． 如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為，則，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交正方體棱于，由半

10、正多面體對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形， ， ， 即該半正多面體棱長(zhǎng)為． 【名師點(diǎn)睛】本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實(shí)很簡(jiǎn)單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵．立體幾何平面化，無論多難都不怕，強(qiáng)大空間想象能力，快速還原圖形． 10．【2019年高考北京卷文數(shù)】若x，y滿足則的最小值為__________，最大值為__________． 【答案】；1 【解析】根據(jù)題中所給約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示. 設(shè)，則，求出滿足在可行域范圍內(nèi)z的最大值、最小值即可， 即在可行域內(nèi)，當(dāng)直線的縱截距最大時(shí)，z有最大值，當(dāng)直線的縱截距最小時(shí)，z有最小值.

11、 由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí),z有最大值， 聯(lián)立， 可得，即， 所以； 當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，z有最小值， 所以. 【名師點(diǎn)睛】本題是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查. 11．【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)，則的最小值為__________. 【答案】 【解析】. 因?yàn)椋? 所以， 即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立. 又因?yàn)? 所以的最小值為. 【名師點(diǎn)睛】使用基本不等式求最值時(shí)一定要驗(yàn)證等號(hào)是否能夠成立. 12．【2019年高考北京卷文數(shù)】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西

12、瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%． ①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________． 【答案】①130 ；②15. 【解析】（1）,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元. （2）設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為元, 元時(shí),李明得到的金額為,符合要求. 元時(shí),有恒成立,即,

13、即元. 所以的最大值為. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)?數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 13．（四川省棠湖中學(xué)2019屆高三高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理)試題）已知集合，，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 故，故選C. 【名師點(diǎn)睛】本題考查集合的交集，屬于基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意對(duì)數(shù)不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化. 14．【廣東省韶關(guān)市2019屆高考模擬測(cè)試（4月)數(shù)學(xué)試題】若，滿足約束條件，則的最大值為 A． B． C．5 D．6 【答案】C 【解析】變量

14、，滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示： 目標(biāo)函數(shù)是斜率等于1、縱截距為的直線， 當(dāng)直線經(jīng)過可行域的點(diǎn)時(shí)，縱截距取得最小值， 則此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值， 由可得， 目標(biāo)函數(shù)的最大值為：5 故選：C． 【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 15．【山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校2019屆高三聯(lián)合考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題】已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率， 當(dāng)位于時(shí)，此時(shí)的斜率最小，此時(shí)． 故選B． 【

15、名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點(diǎn)之間的斜率公式的計(jì)算，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵． 16．【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷)考試數(shù)學(xué)試題】設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)?，在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式的概率為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】畫出所表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示，易知， 所以的面積為， 滿足不等式的點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓面，其面積為， 由幾何概型的公式可得其概率為， 故選A. 【名師點(diǎn)睛】本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡(jiǎn)單題. 17．

16、【山西省2019屆高三高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練（三)數(shù)學(xué)試題】設(shè)，則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ,即，故. 又，所以. 故，所以選A. 【名師點(diǎn)睛】本題考查利用作差法、作商法比較大小，考查對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與計(jì)算，考查分析計(jì)算，化簡(jiǎn)求值的能力，屬中檔題. 18．【陜西省2019年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】若正數(shù)滿足，則的最小值為 A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】由題意，因?yàn)椋? 則， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立， 所以的最小值為，故選A. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問題，其中解答中合理構(gòu)造，利用基本不等式準(zhǔn)確運(yùn)

17、算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 19．【浙江省三校2019年5月份第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)卷】已知log2a-2+log2b-1≥1，則2a+b取到最小值時(shí)，ab= A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【解析】由log2a-2+log2b-1≥1，可得a-2>0，b-1>0且a-2b-1≥2. 所以2a+b=2a-2+b-1+5≥22a-2b-1+5≥22×2+5=9， 當(dāng)2a-2=b-1且a-2b-1=2時(shí)等號(hào)成立，解得a=b=3. 所以2a+b取到最小值時(shí)ab=3×3=9.故選D. 【名師點(diǎn)睛】本題考查基本不等式取得最值的條件，多次用不等式求最

18、值時(shí)要注意不等式取等的條件要同時(shí)滿足. 20．【北京市東城區(qū)2019屆高三第二學(xué)期綜合練習(xí)（一)數(shù)學(xué)試題】某校開展“我身邊的榜樣”評(píng)選活動(dòng)，現(xiàn)對(duì)3名候選人甲、乙、丙進(jìn)行不記名投票，投票要求詳見選票. 這3名候選人的得票數(shù)（不考慮是否有效）分別為總票數(shù)的 , ,，則本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為 A． B． C．96% D．98% 【答案】C 【解析】設(shè)投1票的有x,2票的y,3票的z，則,則,即, 由題投票有效率越高z越小，則x=0時(shí)，z=4,故本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為96%.故選：C. 【名師點(diǎn)睛】本題考查推理的應(yīng)用，考查推

19、理與轉(zhuǎn)化能力，明確有效率與無效票之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵,是中檔題. 21．【西南名校聯(lián)盟重慶市第八中學(xué)2019屆高三5月高考適應(yīng)性月考卷數(shù)學(xué)試題】甲、乙、丙、丁四個(gè)人參加某項(xiàng)競(jìng)賽，四人在成績(jī)公布前做出如下預(yù)測(cè)： 甲說：獲獎(jiǎng)?wù)咴谝冶∪酥校? 乙說：我不會(huì)獲獎(jiǎng)，丙獲獎(jiǎng)； 丙說：甲和丁中的一人獲獎(jiǎng)； 丁說：乙猜測(cè)的是對(duì)的. 成績(jī)公布后表明，四人中有兩人的預(yù)測(cè)與結(jié)果相符，另外兩人的預(yù)測(cè)與結(jié)果不相符.已知倆人獲獎(jiǎng)，則獲獎(jiǎng)的是 A．甲和丁 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁 【答案】D 【解析】乙、丁的預(yù)測(cè)要么同時(shí)與結(jié)果相符，要么同時(shí)與結(jié)果不符，若乙、丁的預(yù)測(cè)成立，則甲、丙的預(yù)測(cè)

20、不成立，可知矛盾，故乙、丁的預(yù)測(cè)不成立，從而獲獎(jiǎng)的是乙和丁，故選D. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理能力，假設(shè)法是解決此類問題常用的方法. 22．【廣東省深圳市深圳外國(guó)語學(xué)校2019屆高三第二學(xué)期第一次熱身考試數(shù)學(xué)試題】已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是__________． 【答案】 【解析】由約束條件可知可行域?yàn)閳D中陰影部分所示： 其中，， 又，可知的幾何意義為可行域中的點(diǎn)到直線距離的倍 可行域中點(diǎn)到直線距離最大的點(diǎn)為. ， 故填. 【名師點(diǎn)睛】本題考查利用線性規(guī)劃求解最值的問題，關(guān)鍵是能夠明確目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合來進(jìn)行求解． 23．【天津市和平區(qū)20

21、18-2019學(xué)年度第二學(xué)期高三年級(jí)第三次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題】已知，，且，則最小值為__________． 【答案】 【解析】， 結(jié)合可知原式， 且 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 即的最小值為. 【名師點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤． 24．【天津市河北區(qū)2019屆高三二模數(shù)學(xué)試題】已知首項(xiàng)與公比相等的等比數(shù)列an中，若m，，滿足aman2=a42，則2m+1n的最小值為__________． 【答案】1 【解析】設(shè)等比數(shù)列an公比為q，則首項(xiàng)a

22、1=q， 由aman2=a42得：a1qm-1?a1qn-12=a1q32， 則：qm+2n=q8，∴m+2n=8， ∴2m+1n=18?2m+1nm+2n=18?2+4nm+mn+2=18?4+4nm+mn， ，∴4nm>0,mn>0. 則4nm+mn≥24nm?mn=4（當(dāng)且僅當(dāng)4nm=mn，即2n=m時(shí)取等號(hào)） ∴2m+1nmin=18×4+4=1. 故填1. 【名師點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求解和最小值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)等比數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系，通過等比數(shù)列基本量得到m,n滿足的等式，從而配湊出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得結(jié)果. 25．【山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四

23、校2019屆高三聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題】觀察下列式子，，，，……，根據(jù)上述規(guī)律，第個(gè)不等式應(yīng)該為__________． 【答案】 【解析】根據(jù)題意，對(duì)于第一個(gè)不等式，，則有， 對(duì)于第二個(gè)不等式，，則有， 對(duì)于第三個(gè)不等式，，則有， 依此類推： 第個(gè)不等式為：， 故答案為：． 【名師點(diǎn)睛】本題考查歸納推理的應(yīng)用，分析不等式的變化規(guī)律． 26．【陜西省延安市2019屆高考模擬試題數(shù)學(xué)】甲、乙、丙三位教師分別在延安、咸陽、寶雞的三所中學(xué)里教不同的學(xué)科A，B，C，已知： ①甲不在延安工作，乙不在咸陽工作； ②在延安工作的教師不教C學(xué)科； ③在咸陽工作的教師教A學(xué)科； ④乙不教B學(xué)科. 可以判斷乙工作的地方和教的學(xué)科分別是______、_____． 【答案】寶雞，C 【解析】由③得在咸陽工作的教師教A學(xué)科；又由①得乙不在咸陽工作，所以乙不教A學(xué)科； 由④得乙不教B學(xué)科，結(jié)合③乙不教A學(xué)科，可得乙必教C學(xué)科， 所以由②得乙不在延安工作，由①得乙不在咸陽工作；所以乙在寶雞工作， 綜上，乙工作地方和教的學(xué)科分別是寶雞和C學(xué)科． 故答案為：寶雞，C． 【名師點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的合理推理，考查邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題． 19