《博弈論：原理、模型與教程》第02章Nash 均衡第02節(jié)重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為

《《博弈論：原理、模型與教程》第02章Nash 均衡第02節(jié)重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《博弈論：原理、模型與教程》第02章Nash 均衡第02節(jié)重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、博弈論：原理、模型與教程》 第一部分 完全信息靜態(tài)博弈 第2 章 Nash 均衡 :第2.1節(jié)占優(yōu)行為 I :第2.2節(jié)重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為 :第2.3節(jié)Nash均衡 2.2 重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為 （已精細訂正?。? I I 1、定義2-3 I ；【例2-3】 ；【例2-4J !【例2-51 I I 2、定義2-4 在“囚徒困境”中，“坦白”是小偷的占優(yōu)戰(zhàn)略，也就是說，相 對于戰(zhàn)略“抵賴”，“坦白”在任何情況下都是小偷的最優(yōu)選擇。因此， 小偷只會選擇戰(zhàn)略“坦白”。 440 4** 反過來也可以這么理解：相對于戰(zhàn)略“坦白”小偷選擇“抵賴” 所得到的支付都要小

2、于選擇“坦白”所的得到的。既然選擇“抵賴” 的所得總是小于選擇“坦白”的所得，小偷當然就不會選擇“抵賴”， 這也就相當于小偷將戰(zhàn)略“抵賴”從自己的選擇中剔除掉了。 考察更一般的n人博弈情形。在n人博弈中，如果存在參與人i的 占優(yōu)戰(zhàn)略S；，那么他在博弈中的戰(zhàn)略選擇問題就很簡單：選擇占優(yōu) 戰(zhàn)略s ； i 4*0 4** 但在大多數(shù)博弈問題中，參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略并不存在。雖然不存 在占優(yōu)戰(zhàn)略，但在某些博弈問題中，參與人i在對自己的戰(zhàn)略進行比 較時，可能會發(fā)現(xiàn)這樣的情形：存在兩個戰(zhàn)略S和s：（ S: , S.）, i i i i i s"雖然不是占優(yōu)戰(zhàn)略，但與*相比，自己在任何情況下選擇s"

3、的所 I I I 得都要大于選擇ss的所得。在這種情況下，理性參與人i的選擇又有 i 什么樣的特點呢？雖然不能確定參與人i最終會選擇什么樣的戰(zhàn)略， 但可以肯定的是，理性參與人i絕對不會選擇戰(zhàn)略s。因為參與人i選 擇戰(zhàn)略S,還不如直接選擇戰(zhàn)略S：（因為參與人i?在任何情況下選擇 s的所得都要大于選擇s的所得）。 定義2-3在n人博弈中，如對于參與人i?，存在戰(zhàn)略“，s\ S，對 1 1 i Vs.，有 一'j=1 J j主. u （s： s ） > u （s , s ） i i i i i i 則稱戰(zhàn)略s:為參與人i?的劣戰(zhàn)略，或者說戰(zhàn)略s〃相對于戰(zhàn)略s:占優(yōu)。 i

4、i i 4** 在博弈中，如果戰(zhàn)略s '是參與人i?劣戰(zhàn)略，那么參與人i?肯定不會 i 選擇戰(zhàn)略s。這也是相當于參與人i?將戰(zhàn)略s從自己的戰(zhàn)略集s.剔除 掉，直接從戰(zhàn)略集S \{s：}中選擇自己的戰(zhàn)略。參與人的這種選擇行為 ii 稱之為剔除劣戰(zhàn)略行為。剔除劣行為也是理性參與人選擇行為的基本 特征之一。 4** 考察戰(zhàn)略式博弈G = ：T； S，…,S ',???$ ; u，…,u ,u 如果戰(zhàn)略s-是 1 i n 1 i n ' 參與人i?的劣戰(zhàn)略，那么參與人i?將只會從戰(zhàn)略集S \{s：}中選擇自己 的戰(zhàn)略。令S \｛門，構(gòu)造一個新的戰(zhàn)略式博弈 i i i G = ：

5、T; S，…,S；…,S ;u，…，u,…，u ，。此時，對戰(zhàn)略式博弈G的求解問題 1 i n 1 i n 就可以轉(zhuǎn)換為對G，的求解。 例 2-3】 考察圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人1有兩個戰(zhàn)略 a和a，參與人2有二個戰(zhàn)略b , b和b。 1 2 1 2 3 a 1 參與人1 a 2 1, 0 2,2 1,1 ; 1 3, 2 0,1 i 1 2,0 ! 1 參與人2 b b 1 v2 r 圖2-4戰(zhàn)略式博弈 從圖2-4中可以看出：戰(zhàn)略b相對于戰(zhàn)略b占優(yōu)，也就是說b是 2 3 3 參與人 2 的劣戰(zhàn)略。因此，對圖2-4中博弈問題

6、的求解就可以轉(zhuǎn)換為 對圖 2-5中博弈的求解。 a 1 參與人1 a 2 1, 0 2, 2 3, 2 0, 1 參與人2 b b 1 2 圖2-5戰(zhàn)略式博弈 遵循上面的求解思路，如果在新構(gòu)造出來的戰(zhàn)略式博弈G中， f 存在參與人j的某個劣戰(zhàn)略s,那么又可以構(gòu)造出一個新的戰(zhàn)略式博 j 弈G"，其中參與人j的戰(zhàn)略集為S、S \｛門。此時，對戰(zhàn)略式博弈G j j j 的求解問題就可以轉(zhuǎn)換為對G的求解。而參與人的這種不斷剔除劣 戰(zhàn)略的行為稱為重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略行為。 例 2-4】 考察圖 2-6 中的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人1 有三個博弈 a， a和a，

7、參與人2有二個戰(zhàn)略b， b和b。 1 2 3 1 2 3 參與人2 b b b 1 2 3'1 I 1 h a 1 1, 0 3,2 1,1 1 1 1 : 1 參與人1 a2 3, 2 2,1 i 1 2, 1 )i a 3 2, 1 i 1,3 i I 1 1 3, ,2 I 1 > ; 7 1 圖2-6戰(zhàn)略式博弈 從圖2-6中可以看出：戰(zhàn)略b是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖 3 2-6中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-7中博弈的求解。 b 1 b 2 a 1 1, 0 3, 2

8、 a2 3, 3 2, 1 1 1 1 r ■ a3 : 2, 1 1, 3 3 1 1 J 3 - 參與人1 參與人2 圖2-7戰(zhàn)略式博弈 從圖2-7中又可以看出：戰(zhàn)略a是參與人1的劣戰(zhàn)略。因此，對 3 圖 2-7中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖 2-8中博弈的求解。也就 是對圖 2-6 中原博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖 2-8 中博弈的求 解。 參與人2 b b 1 2 a 1 1, 0 3, 2 參與人1 3, 2 2, 1 a 2 圖2-8戰(zhàn)略式博弈 4*

9、* 如果以上重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略的過程可以不斷進行下去，直到新構(gòu)造 出來的博弈中每個參與人都只有一個戰(zhàn)略，那么由所有的參與人剩下 的唯一戰(zhàn)略所構(gòu)成的戰(zhàn)略組合就是原博弈問題的解，稱之為“重復(fù)剔 除的占優(yōu)均衡”。此時，也稱原博弈問題是“重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略可解的”。 4** 【例2-51 考察圖2-9中的戰(zhàn)略式博弈，其中參與人1有三個戰(zhàn)略 a、a和a，參與人2有三個戰(zhàn)略b , b和b。 1 2 3 1 2 3 參與人2 b b b 1 2 3'1 I 1 h a 1 1, 0 3,3 1,1 1 1 : 1 參與人1 a2 3, 1 2, ,2 ' 1 2,0

10、 1 )i a 3 2, 4 1,3 : i 2 1廠 D , 1上 I 1 1 )1 ° 1 圖2-9戰(zhàn)略式博弈 從圖2-9中可以看出：戰(zhàn)略b是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此，對圖 3 2-9中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-10中博弈的求解。 從圖2-10中又可以看出：戰(zhàn)略a是參與人1的劣戰(zhàn)略。因此， 3 對圖2-10中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-11中博弈的求解 參與人2 b b 1 2 圖2-10戰(zhàn)略式博弈 b a 參與人1 1 a 1,0 i 3,3 : 3,1 2,2 - I br-- 參與人2 2

11、 廠 _ _ -I 圖2-11戰(zhàn)略式博弈 從圖2-11中又可以看出：戰(zhàn)略b是參與人2的劣戰(zhàn)略。因此， 1 參與人2 b 2 對圖2-11中博弈問題的求解就可以轉(zhuǎn)換為對圖2-12中博弈的求解 a 1 參與人1 a 2 圖2-12戰(zhàn)略式博弈 在圖2-12中，參與人2只有一個戰(zhàn)略b，參與人1選擇戰(zhàn)略a 21 因此原博弈問題的解為戰(zhàn)略組合(a , b )。而(a , b )就是所謂的重復(fù)剔 1 2 1 2 除的占優(yōu)均衡。 4** 440 在某些博弈問題中，參與人i在對自己的戰(zhàn)略進行比較時，還可 能會發(fā)現(xiàn)這樣的情形：存在兩個戰(zhàn)略"和S” ( " , s,

12、S)與"相 i i i i i i 比，雖然選擇S〃的所得并不一定總是大于選擇s的所得，但自己在任 i 1 何情況下選擇s〃的所得都不會比選擇S的所得小，而且在某些情況下 i 1 選擇s"的所得嚴格大于選擇S的所得。顯然，在這種情況下，理性的 i 1 參與人i將戰(zhàn)略S從自己的選擇中剔除掉也是有道理的。與定義2-3 中所定義的劣戰(zhàn)略相仿，稱戰(zhàn)略*、為參與人i的弱劣戰(zhàn)略 定義2-4在n人博弈中，如果對于參與人i，存在戰(zhàn)略s"，s"e S對 1 i 1 Vs.，有 "j = 1 J j主i u ( s : s ) > u (s" , s ) i i i i i i 且

13、士: ，使得 i j =1 j j主i u （S 〃，S ' ） > u （S ' , S '） i i 一 i i i 一 i 則稱戰(zhàn)略s‘為參與人i的弱劣戰(zhàn)略，或者說戰(zhàn)略S 〃相對于戰(zhàn)略S弱占 i i i 優(yōu)。 4** 有時為了表述方便，也將定義2-3所定義的劣戰(zhàn)略稱為嚴格劣戰(zhàn) 略，而將弱劣戰(zhàn)略和嚴格劣戰(zhàn)略統(tǒng)稱為劣戰(zhàn)略。 與重復(fù)剔除嚴格劣戰(zhàn)略的思路一樣，也可以采用重復(fù)剔除弱劣戰(zhàn) 略的方法來求解博弈問題。 但需要注意的是，在重復(fù)剔除的過程中，如果每次可以剔除的劣 戰(zhàn)略（包括嚴格劣戰(zhàn)略和弱劣戰(zhàn)略）不只一個，那么各個劣戰(zhàn)略剔除 的順序不同，得到的博弈結(jié)果就有可能不同。除非每

14、次剔除的都是嚴 格列戰(zhàn)略。 下面通過一個例子來說明這個問題。（重點！） 考察圖2-13中的戰(zhàn)略式博弈。在圖2-13中，b和b是參與人2 23 的劣戰(zhàn)略。 參與人1 a2 3, 3 3, 1 1, 2 1, 1 2, 0 2, 0 3, 4 1, 3 3, 2 參與人2 b . b2 、人 圖2-13戰(zhàn)略式博弈 如果首先剔除劣戰(zhàn)略b ,那么在新博弈中，戰(zhàn)略a成為弱劣戰(zhàn)略， 33 如果再剔除a，則博弈的結(jié)果為戰(zhàn)略組合(a , b )；如果首先剔除劣戰(zhàn) 3 1 1 略b，那么在新博弈中，戰(zhàn)略a成為弱劣戰(zhàn)略，如果再剔除a，則博 2 1 1 弈的結(jié)果為

15、戰(zhàn)略組合(a , b )。 31 造成博弈結(jié)果不同的原因在于：在原博弈中，a和a原本互不占 13 優(yōu)，但是如果先剔除b，則a相對于a弱占優(yōu)，a就可能因此被剔除 3 1 3 3 掉；如果先剔除掉b，則a相對于a弱占優(yōu)，a就可能因此被剔除掉。 2 3 1 1 因此，當b和b的剔除順序不同時，參與人1保留下來的戰(zhàn)略就可能 23 不同。但是，如果只允許剔除嚴格劣戰(zhàn)略，那么無論是先剔除b還是 2 b，得到的博弈結(jié)果都是戰(zhàn)略組合(a , b )和(a ,b ) 3 1 1 3 1 4** 為了進一步說明問題，考察圖2-14中戰(zhàn)略式博弈，圖2-14中 博弈與圖2-13中博弈的不

16、同之處僅在于戰(zhàn)略組合(a ,b)下參與人1 的支付不同。 4, 3 3, 1 1, 2 1, 1 2, 0 2, 0 3, 4 1, 3 3, 2 a 1 參與人1 a2 a 3 圖2-14戰(zhàn)略式博弈 參與人2 b b b ! , 2.3 在圖2-14中，a和a也是互不占優(yōu)。但是，在剔除劣戰(zhàn)略b和b 1 3 2 3 的過程中，無論是先剔除b還是b ,只會出現(xiàn)a相對于a占優(yōu)的情形， 2 3 1 3 而不會出現(xiàn)a相對于a占優(yōu)或弱占優(yōu)的情形。因此，無論剔除劣戰(zhàn)略 31 的順序如何，博弈的結(jié)果都是戰(zhàn)略組合(a , b ) 4** 4*0 4**

17、 前面一再提到博弈分析是在假設(shè)博弈問題的結(jié)構(gòu)和參與人完全 理性為共同知識的前提下進行的，現(xiàn)在分析如果沒有這樣的假設(shè)，所 得到的博弈問題的解——占優(yōu)戰(zhàn)略均衡和重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡是否 存在。 當參與人理性時，如果參與人的占優(yōu)戰(zhàn)略，那么無論其他參與人 是否理性或者是否知道他是理性的，他都會選擇占優(yōu)戰(zhàn)略。因此，如 果博弈中存在占優(yōu)戰(zhàn)略均衡且所有的參與人都理性，那么博弈的結(jié)果 就是占優(yōu)戰(zhàn)略均衡。也就是說，不需要完全理性為共同知識就可確保 占優(yōu)戰(zhàn)略均衡為博弈的結(jié)果。但是，必須清楚：存在占優(yōu)戰(zhàn)略均衡的 博弈絕對只是博弈問題中的極少數(shù)，在大多數(shù)情況下占優(yōu)戰(zhàn)略均衡是 不存在的。 更重要的是，如果僅僅假設(shè)

18、參與人是理性的，就會發(fā)現(xiàn)及時博弈 問題是“重復(fù)剔除劣戰(zhàn)略可解的”，也無法保證博弈的結(jié)果就是重復(fù) 剔除的占優(yōu)均衡，這是因為：在重復(fù)剔除過程的每一步中，如果只假 設(shè)參與人理性，那么只能確保參與人將其劣戰(zhàn)略剔除掉；而如果其他 參與人不知道他是理性的，就不能確保其他參與人知道他已將劣戰(zhàn)略 剔除掉。在這種情況下，就不能講原博弈問題轉(zhuǎn)換為新的博弈問題， 也就是說，雖然剔除劣戰(zhàn)略行為是理性參與人選擇行為的基本特征， 但如果僅僅假設(shè)參與人理性是不能確保重復(fù)剔除的。 在例2-3中，如果參與人 1不知道參與人2的理性的，他就不知 道自己面臨的博弈問題已由圖2-4中的戰(zhàn)略式博弈轉(zhuǎn)換為圖2-5中的 博弈。同樣，如果

19、參與人 2 不知道參與人 1 知道自己是理性的，圖 2-4中的戰(zhàn)略式博弈也不能轉(zhuǎn)換為圖2-5中的博弈。 在例2-4中，要確保圖2-6的中博弈轉(zhuǎn)換為圖 2-8中的博弈，就 必須要求每個參與人都知道博弈問題轉(zhuǎn)換的每一步（即每一次剔除劣 戰(zhàn)略），而且還要知道其他參與人知道博弈問題轉(zhuǎn)換的每一步。 具體講就是： （1）參與人2 是理性； （2）參與人 1 知道到參與人 2 理性，參與人 2 知道參與人 1 知道到 參與人 2理性； （3）參與人 1 是理性，參與人 2 知道到參與人 1 理性，參與人 1 知 道參與人 2 知道到參與人 1 理性。 而在例 2-5 中，對參與人理性假設(shè)的要求就更為復(fù)雜，除了例 2-4中所要求的以上3點外，對理性還有進一步的要求。 所以，隨著博弈中參與人人數(shù)的增加及參與人戰(zhàn)略空間的增大， 重復(fù)剔除的過程就會越來越復(fù)雜，對理性假設(shè)的要求也就越來越高。 4*0 4** 因此，為了確保博弈分析的順利進行，一般都假設(shè)參與人完全理 性為共同知識。 基于同樣的理由，也假設(shè)博弈問題的結(jié)構(gòu)（包括參與人的支付） 為共同知識。