2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 (必修第一冊) 第四章第5節(jié)　函數(shù)y=Asin(ωx φ)的圖象與性質(zhì)及三角函數(shù)模型的應(yīng)用 講義

《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 (必修第一冊) 第四章第5節(jié)　函數(shù)y=Asin(ωx φ)的圖象與性質(zhì)及三角函數(shù)模型的應(yīng)用 講義》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 (必修第一冊) 第四章第5節(jié)　函數(shù)y=Asin(ωx φ)的圖象與性質(zhì)及三角函數(shù)模型的應(yīng)用 講義（24頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第5節(jié)　 函數(shù)y=Asin(ωx+)的圖象與性質(zhì) 及三角函數(shù)模型的應(yīng)用 1.了解函數(shù)y=Asin(ωx+)的物理意義,能畫出y=Asin(ωx+)的圖象,了解參數(shù)A,ω,對函數(shù)圖象變化的影響. 2.會用三角函數(shù)解決一些簡單的實(shí)際問題,體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型. 1.y=Asin(ωx+)的有關(guān)概念 y=Asin(ωx+) (A>0,ω>0), x∈R 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T=2πω f=1T=ω2π ωx+ 2.用五點(diǎn)法畫y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,x∈R)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí),要找五個(gè)特征點(diǎn)

2、如表所示: x 0-φω π2-φω π-φω 3π2-φω 2π-φω ωx+ 0 π2 π 3π2 2π y=Asin(ωx+) 0 A 0 -A 0 3.函數(shù)y=sin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的圖象的兩種途徑 1.先平移變換再周期變換(伸縮變換),平移的量是||個(gè)單位長度;先周期變換(伸縮變換)再平移變換,平移的量是|φ|ω(ω>0)個(gè)單位 長度. 2.函數(shù)y=Asin(ωx+)的對稱軸由ωx+=kπ+π2,k∈Z確定;對稱中心由ωx+=kπ,k∈Z確定其橫坐標(biāo). 1.函數(shù)y=2sin(12x-

3、π3)的振幅、頻率和初相分別為(　C　) A.2,4π,π3 B.2,14π,π3 C.2,14π,-π3 D.2,4π,-π3 解析:由題意知A=2,f=1T=ω2π=14π,初相為-π3.故選C. 2.為了得到函數(shù)y=2sin(2x-π3)的圖象,可以將函數(shù)y=2sin 2x的圖象(　A　) A.向右平移π6個(gè)單位長度 B.向右平移π3個(gè)單位長度 C.向左平移π6個(gè)單位長度 D.向左平移π3個(gè)單位長度 解析:因?yàn)閥=2sin(2x-π3)=2sin[2(x-π6)].因此,為了得到函數(shù)y= 2 sin(2x-π3)的圖象,可將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向右平移π6

4、個(gè)單位長度.故選A. 3.把函數(shù)y=sin x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮小為原來的12,縱坐標(biāo)保持不變,再把圖象向右平移π6個(gè)單位長度,則所得圖象對應(yīng)的解析式為(　A　) A.y=sin(2x-π3) B.y=sin(2x-π6) C.y=sin(x2-π3) D.y=sin(x2-π6) 解析:把函數(shù)y=sin x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的12,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=sin 2x的圖象,再把y=sin 2x的圖象向右平移π6個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=sin[2(x-π6)]即y=sin(2x-π3)的圖象.故選A. 4.用五點(diǎn)法畫函數(shù)y=sin(x-π6)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),

5、主要確定的五個(gè)點(diǎn)是　　　　、　　　　、　　　　、　　　　、　　　　.? 答案:(π6,0)　(2π3,1)　(7π6,0)　(5π3,-1)　(13π6,0) 5.某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn):該地區(qū)近幾年的生豬收購價(jià)格每四個(gè)月會重復(fù)出現(xiàn).如表所示是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況. 月份x 1 2 3 4 收購價(jià)格y/(元/斤) 6 7 6 5 選用一個(gè)正弦型函數(shù)來近似描述收購價(jià)格(單位:元/斤)與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系為　 .? 解析:設(shè)y=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0),由題意得A=1,B=6,T=4,因?yàn)門=2πω,所以ω=π2,

6、 所以y=sin(π2x+)+6. 因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí),y=6,所以6=sin(π2+)+6, 結(jié)合表中數(shù)據(jù)得π2+=2kπ,k∈Z,可取=-π2, 所以y=sin(π2x-π2)+6. 答案:y=sin(π2x-π2)+6(答案不唯一) 函數(shù)y=Asin(ωx+)的圖象及變換 1.為了得到函數(shù)y=sin(2x+π6)的圖象,可將函數(shù)y=sin 2x的圖象(　B　) A.向右平移π12個(gè)單位長度 B.向左平移π12個(gè)單位長度 C.向右平移π6個(gè)單位長度 D.向左平移π6個(gè)單位長度 解析:因?yàn)閥=sin(2x+π6)=sin2(x+π12),因此,為了得到函數(shù)y=sin(

7、2x+π6)的圖象,可將函數(shù)y=sin 2x的圖象向左平移π12個(gè)單位長度.故選B. 2.(多選題)將函數(shù)y=sin(2x+)的圖象沿x軸向左平移π8個(gè)單位長度后,得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象,則的值可能是(　AB　) A.-34π B.π4 C.0 D.-π4 解析:將函數(shù)y=sin(2x+)的圖象沿x軸向左平移π8個(gè)單位長度后,得到y(tǒng)=sin(2x+π4+)的圖象, 由于所得函數(shù)為一個(gè)偶函數(shù),則π4+=kπ+π2,k∈Z,=π4+kπ,k∈Z,故當(dāng)k=0時(shí),=π4;當(dāng)k=-1時(shí),=-3π4.故選AB. 3.在函數(shù)y=sin(ωx+π6)的圖象向右平移2π3個(gè)單位長度后與原圖象重合,則正

8、數(shù)ω不可能是(　A　) A.2 B.3 C.6 D.9 解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=sin(ωx+π6)的圖象向右平移2π3個(gè)單位長度后得y=sin[ω(x-2π3)+π6], 所以當(dāng)ω=2時(shí),y=sin[2(x-2π3)+π6]≠sin(2x+π6), 當(dāng)ω=3時(shí),y=sin[3(x-2π3)+π6]=sin(3x+π6), 當(dāng)ω=6時(shí),y=sin[6(x-2π3)+π6]=sin(6x+π6), 當(dāng)ω=9時(shí),y=sin[9(x-2π3)+π6]=sin(9x+π6).故選A. 1.函數(shù)y=Asin(ωx+)的圖象可用“五點(diǎn)法”作簡圖得到,可通過變量代換z=ωx+計(jì)算五點(diǎn)坐標(biāo).

9、2.由函數(shù)y=sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+)的圖象有兩條途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”. 求函數(shù)y=Asin(ωx+)的解析式 (1)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω>0,||<π2)的部分圖象如圖所示,若x1,x2∈(-π6,π3),且f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)=(　　) A.12 B.22 C.32 D.1 (2)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+){ω>0,||<π2}的部分圖象如圖所示,則y=f(x+π6)取得最小值時(shí)x的集合為　　　　.? 解析:(1)由題圖知,T2=π2,即T=π,則ω=2,所以f(x)=s

10、in(2x+),因?yàn)辄c(diǎn)(π3,0)在函數(shù)f(x)的圖象上,所以sin(2×π3+)=0,即2π3+=2kπ+π,k∈Z,所以=2kπ+π3,k∈Z,又||<π2,所以=π3,所以f(x)=sin(2x+π3),因?yàn)閤1,x2∈(-π6,π3),且f(x1)=f(x2),所以x1+x22=π12,所以x1+x2=π6,所以f(x1+x2)=sin(2×π6+π3)=32.故選C. (2)根據(jù)所給圖象,可得周期T=4×(7π12-π3)=π,故π=2πω,所以ω=2,因此f(x)=sin(2x+),另外圖象經(jīng)過點(diǎn)(7π12,0),代入有2×7π12+=π+2kπ(k∈Z),再由||<π2,得=-

11、π6,所以f(x)=sin(2x-π6),所以f(x+π6)=sin(2x+π6),當(dāng)2x+π6=-π2+2kπ(k∈Z),即x=-π3+kπ(k∈Z)時(shí),y=f(x+π6)取得最小值.此時(shí)x的集合為{x|x=kπ-π3,k∈Z}. 答案:(1)C　(2){x|x=kπ-π3,k∈Z} 1.已知f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的部分圖象求其解析式時(shí),A比較容易看圖得出,利用周期性求ω,難點(diǎn)是“”的確定. 2.y=Asin(ωx+)中的確定方法 (1)代入法:把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入. (2)五

12、點(diǎn)法:確定值時(shí),往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突 破口. [針對訓(xùn)練] 1.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+),x∈R(其中A>0,ω>0,-π2<<π2),其部分圖象如圖所示,將f(x)的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變,再向右平移1個(gè)單位長度得到g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的解析式為(　　) A.g(x)=sin[π2(x+1)] B.g(x)=sin[π8(x+1)] C.g(x)=sin(π2x+1) D.g(x)=sin(π8x+1) 解析:由題圖可得f(x)=sin(π4x+π4),橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得y= sin(π8x+π4),再向右平移1

13、個(gè)單位長度,得g(x)=sin[π8(x-1)+π4]=sin(π8x+π8)=sin[π8(x+1)].故選B. 2.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<π)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為　　　　.? 解析:由題圖可知A=2. 法一　T4=7π12-π3=π4, 所以T=π,故ω=2, 因此f(x)=2sin(2x+), 又(π3,0)對應(yīng)五點(diǎn)法作圖中的第三個(gè)點(diǎn), 因此2×π3+=π+2kπ(k∈Z), 所以=π3+2kπ(k∈Z), 又||<π,所以=π3. 故f(x)=2sin(2x+π3). 法二　以(π3,0)為第二個(gè)“零點(diǎn)

14、”,x為7π12時(shí),ymin為-2, 列方程組ω·π3+φ=π,ω·7π12+φ=3π2,解得ω=2,φ=π3, 故f(x)=2sin(2x+π3). 答案:f(x)=2sin(2x+π3) 函數(shù)y=Asin(ωx+)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 已知函數(shù)f(x)=3sin(2ωx+π3)(ω>0)的圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π2. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)若將f(x)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象,且g(x)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)(-π3,0),求當(dāng)m取得最小值時(shí),g(x)在[-π6,7π12]上的單調(diào)遞增區(qū)間. 解:(1)函數(shù)f(x)的

15、圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π2,得函數(shù)f(x)的最小正周期為T=2×π2=2π2ω,得ω=1,故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=3sin(2x+π3). (2)將f(x)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)=3sin[2(x+m)+π3]=3sin(2x+2m+π3)的圖象,根據(jù)g(x)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)(-π3,0), 可得 3sin(-2π3+2m+π3)=0, 即sin(2m-π3)=0, 所以2m-π3=kπ(k∈Z), 解得m=kπ2+π6(k∈Z), 因?yàn)閙>0,所以當(dāng)k=0時(shí),m取得最小值,且最小值為π6. 此時(shí),g(x)=3sin(2x+2π3)

16、. 因?yàn)閤∈[-π6,7π12],所以2x+2π3∈[π3,11π6]. 當(dāng)2x+2π3∈[π3,π2],即x∈[-π6,-π12]時(shí),g(x)單調(diào)遞增, 當(dāng)2x+2π3∈[3π2,11π6],即x∈[5π12,7π12]時(shí),g(x)單調(diào)遞增. 綜上,g(x)在區(qū)間[-π6,7π12]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[-π6,-π12]和[5π12,7π12]. 函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題.此類問題常先通過三角恒等變換化簡函數(shù)解析式,再來研究其性質(zhì). [針對訓(xùn)練] 設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx-π6)+sin(ωx-π2),其中0<ω<3.已知f(π6)=0. (1)求ω; (2)將函

17、數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移π4個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在[-π4,3π4]上的最小值. 解:(1)因?yàn)閒(x)=sin(ωx-π6)+sin(ωx-π2), 所以f(x)=32sin ωx-12cos ωx-cos ωx =32sin ωx-32cos ωx =3(12sin ωx-32cos ωx) =3sin(ωx-π3). 由題設(shè)知f(π6)=0, 所以ωπ6-π3=kπ,k∈Z, 故ω=6k+2,k∈Z.又0<ω<3, 所以ω=2. (2)由(1)得f(x)=3sin(2x-π3

18、), 所以g(x)=3sin(x+π4-π3)=3sin(x-π12). 因?yàn)閤∈[-π4,3π4], 所以x-π12∈[-π3,2π3], 當(dāng)x-π12=-π3,即x=-π4時(shí), g(x)取得最小值-32. 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 如圖,某大風(fēng)車的半徑為2米,每12秒旋轉(zhuǎn)一周,它的最低點(diǎn)O離地面1米,點(diǎn)O在地面上的射影為A.風(fēng)車圓周上一點(diǎn)M從最低點(diǎn)O開始,逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40秒后到達(dá)P點(diǎn),則點(diǎn)P到地面的距離是 　　　　米.? 解析:以圓心O1為原點(diǎn),以水平方向?yàn)閤軸方向,以豎直方向?yàn)閥軸方向建立平面直角坐標(biāo)系,則根據(jù)大風(fēng)車的半徑為2米,圓上最低點(diǎn)O離地面1米,12秒轉(zhuǎn)動一

19、周,設(shè)∠OO1P=θ,運(yùn)動t秒后與地面的距離為f(t). 又周期T=12,所以θ=π6t, 則f(t)=3+2sin(θ-π2)=3-2cos π6t(t≥0), 當(dāng)t=40 s時(shí),f(t)=3-2cos(π6×40)=4. 答案:4 三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面:一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題;二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題. [針對訓(xùn)練] 據(jù)市場調(diào)查,某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上,按月呈f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<π2)的模型波動(x為月份),已知3月份達(dá)到最高價(jià)9千元,9月份價(jià)格最低為5千元

20、.則7月份的出廠價(jià)格為　　　　元.? 解析:作出函數(shù)簡圖如圖, 三角函數(shù)模型為y=Asin(ωx+)+B, 由題意知A=2 000,B=7 000,T=2×(9-3)=12, 所以ω=2πT=π6. 將(3,9 000)看成函數(shù)圖象的第二個(gè)特殊點(diǎn), 則有π6×3+=π2,所以=0, 故f(x)=2 000sinπx6+7 000(1≤x≤12,x∈N*). 所以f(7)=2 000×sin7π6+7 000=6 000. 故7月份的出廠價(jià)格為6 000元. 答案:6 000 為了得到函數(shù)y=sin(2x-π3)的圖象,只需把函數(shù)y=cos(2x-4π3)的圖象(

21、　　) A.向左平移π4個(gè)單位長度 B.向右平移π4個(gè)單位長度 C.向左平移π2個(gè)單位長度 D.向右平移π2個(gè)單位長度 解析:y=cos(2x-4π3)=sin[π2+(2x-4π3)]=sin(2x-5π6),故要得到函數(shù)y=sin(2x-π3)的圖象,只需要平移(x-π6)-(x-5π12)=π4個(gè)單位長度,又π4>0,所以應(yīng)向左平移.故選A. 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<π2)的部分圖象如圖所示,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長度后,得到函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π3,32)對稱,則m的值可能為(　　) A.π6

22、B.π2 C.7π6 D.7π12 解析:依題意得A+B=332,-A+B=-32,解得A=3,B=32, T2=πω=2π3-π6=π2, 故ω=2,則f(x)=3sin(2x+)+32. 又f(π6)=3sin(π3+)+32=332, 故π3+=π2+2kπ(k∈Z),即=π6+2kπ(k∈Z). 因?yàn)閨|<π2,故=π6, 所以f(x)=3sin(2x+π6)+32. 將函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位長度后得到g(x)=3sin(2x+π6+2m)+32的圖象,又函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π3,32)對稱,故3sin(2π3+π6+2m)=0,即5π6+2m=k

23、π(k∈Z),故m=kπ2-5π12(k∈Z).令k=2,則m=7π12.故選D. 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(A>0,||<π2,ω>0)的圖象的一部分如圖所示,則f(x)的圖象的對稱軸方程是　　　　.? 解析:由圖象知A=2, 又1=2sin(ω×0+),即sin =12, 又||<π2,所以=π6. 又11π12×ω+π6=2π,所以ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+π6), 令2x+π6=π2+kπ(k∈Z),得x=kπ2+π6(k∈Z). 所以f(x)=2sin(2x+π6)的對稱軸方程為x=kπ2+π6(k∈Z). 答案:x=kπ2+π6(k∈

24、Z) 知識點(diǎn)、方法 基礎(chǔ)鞏 固練 綜合運(yùn) 用練 應(yīng)用創(chuàng)新練 函數(shù)y=Asin(ωx+)的圖象及 變換 1,2,3,4,6 11 求函數(shù)y=Asin(ωx+)的解析式 7 10 函數(shù)y=Asin(ωx+)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 5,8 13 15 綜合問題 9,12,14 1.函數(shù)y=sin(2x-π3)在區(qū)間[-π2,π]上的簡圖是(　A　) 解析:令x=0得y=sin(-π3)=-32,排除B,D項(xiàng),由f(-π3)=0,f(π6)=0,排除C項(xiàng).故選A. 2.要得到y(tǒng)=sin(2x-π4)的圖象,只需將y=sin

25、 2x的圖象(　D　) A.向左平移π4個(gè)單位長度 B.向右平移π4個(gè)單位長度 C.向左平移π8個(gè)單位長度 D.向右平移π8個(gè)單位長度 解析:因?yàn)閥=sin(2x-π4)=sin2(x-π8), 因此,要得到y(tǒng)=sin(2x-π4)的圖象,只需將y=sin 2x的圖象向右平移π8個(gè)單位長度.故選D. 3.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6)(0<ω<2)滿足條件:f(-12)=0,為了得到函數(shù)y=f(x)的圖象,可將函數(shù)g(x)=cos ωx的圖象向右平移m(m>0)個(gè)單位長度,則m的最小值為(　A　) A.1 B.12 C.π6 D.π2 解析:由題意,得sin(-

26、12ω+π6)=0, 即-12ω+π6=kπ(k∈Z), 則ω=π3-2kπ(k∈Z), 結(jié)合0<ω<2,得ω=π3, 所以f(x)=sin(π3x+π6)=cos(π2-π3x-π6)=cos[π3(x-1)], 所以只需將函數(shù)g(x)=cosπ3x的圖象向右平移至少1個(gè)單位長度,即可得到函數(shù)y=f(x)的圖象.故選A. 4.將函數(shù)y=sin(2x+π5)的圖象向右平移π10個(gè)單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)(　A　) A.在區(qū)間[-π4,π4]上單調(diào)遞增 B.在區(qū)間[-π4,0]上單調(diào)遞減 C.在區(qū)間[π4,π2]上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間[π2,π]上單調(diào)遞減 解析:y=s

27、in(2x+π5)=sin 2(x+π10),將其圖象向右平移π10個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=sin 2x的圖象.由2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π4≤x≤kπ+π4,k∈Z.令k=0,可知函數(shù)y=sin 2x在區(qū)間[-π4,π4]上單調(diào)遞增.故選A. 5.(多選題)函數(shù)f(x)=2sin(2x-π3)的圖象為C,則下列結(jié)論正確的是(　AB　) A.f(x)的最小正周期為π B.對任意的x∈R,都有f(x+π6)+f(π6-x)=0 C.f(x)在(-π12,5π12)上是減函數(shù) D.由y=2sin 2x的圖象向右平移π3個(gè)單位長度可以得到圖象C 解析:由f(x)

28、=2sin(2x-π3),所以f(x)的最小正周期為2π2=π,故A正確;f(π6)=2sin(2×π6-π3)=0,即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π6,0)對稱,即對任意的x∈R,都有f(x+π6)+f(π6-x)=0成立,故B正確;當(dāng)x∈(-π12,5π12)時(shí),2x-π3∈(-π2,π2),所以f(x)在(-π12,5π12)上是增函數(shù),故C錯(cuò)誤;由y=2sin 2x的圖象向右平移π3個(gè)單位長度得到y(tǒng)=2sin 2(x-π3)= 2sin(2x-2π3)的圖象,故D錯(cuò)誤.故選AB. 6.函數(shù)y=sin x-3cos x的圖象可由函數(shù)y=sin x+ 3cos x的圖象至少向右平移　　　

29、　個(gè)單位長度得到.? 解析:y=sin x-3cos x=2sin(x-π3),y=sin x+3cos x=2sin(x+π3),故應(yīng)至少向右平移2π3個(gè)單位長度. 答案:2π3 7.已知函數(shù)y=sin(2x+)(-π2<<π2)的圖象關(guān)于直線x=π3對稱,則的值為　　　　.? 解析:由題意得f(π3)=sin(2π3+)=±1, 所以2π3+=kπ+π2,k∈Z, 所以=kπ-π6,k∈Z. 因?yàn)椤?-π2,π2), 所以=-π6. 答案:-π6 8.某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y=a+Acos[π6(x-6)](x=1,2,3,…,12

30、)來表示,已知6月份的月平均氣溫最高,為28 ℃,12月份的月平均氣溫最低,為18 ℃,則10月份的平均氣溫值為　　　　℃.? 解析:依題意知,a=28+182=23,A=28-182=5, 所以y=23+5cos[π6(x-6)], 當(dāng)x=10時(shí), y=23+5cos(π6×4)=20.5. 答案:20.5 9.(多選題)已知函數(shù)f(x)=sin 2x+2cos2x-1,則下列四個(gè)結(jié)論正確的是(　AB　) A.函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3π8,π8]上是增函數(shù) B.點(diǎn)(3π8,0)是函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對稱中心 C.函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=2sin 2x的圖象向

31、左平移π4個(gè)單位長度得到 D.若x∈[0,π2],則f(x)的值域?yàn)閇0,2] 解析:函數(shù)f(x)=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+π4). 若x∈[-3π8,π8],則2x+π4∈[-π2,π2], 因此函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3π8,π8]上是增函數(shù), 因此A正確; 因?yàn)閒(3π8)=2sin(3π4+π4)=2sin π=0, 因此點(diǎn)(3π8,0)是函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對稱中心,因此B正確; 由函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移π4個(gè)單位長度得到y(tǒng)=2sin[2(x+ π4)]=2cos 2x, 因此由函數(shù)y=2sin

32、2x的圖象向左平移π4個(gè)單位長度不能得到函數(shù)f(x)的圖象,因此C不正確; 若x∈[0,π2],則2x+π4∈[π4,5π4], 所以sin(2x+π4)∈[-22,1], 所以f(x)的值域?yàn)閇-1,2],因此D不正確.故選AB. 10.下列關(guān)于函數(shù)f(x)=2cos2x+3sin 2x-1的說法正確的是(　D　) A.x=π3是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn) B.函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]上是增函數(shù) C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上有且只有一個(gè)零點(diǎn) 5π12 D.函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移π12個(gè)單位長度得到 解析:函數(shù)f(x)=2cos2

33、x+3sin 2x-1=cos 2x+ 3sin 2x=2sin(2x+π6), 當(dāng)x=π3時(shí),2sin(2×π3+π6)=1,所以x=π3不是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),所以A不正確; 當(dāng)x=π6時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]上不是增函數(shù),所以B不正確; 由2sin(2x+π6)=0得2x+π6=kπ,k∈Z,則x=kπ2-π12,k∈Z,所以在區(qū)間(0,π)上有兩個(gè)零點(diǎn)5π12,11π12,所以C不正確; 由函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移π12個(gè)單位長度得到y(tǒng)=2sin[2(x+ π12)]=2sin(2x+π6)的圖象,所以D正確.故選D.

34、 11.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω>0,φ≤π2),x=-π4為f(x)的零點(diǎn),x=π4為y=f(x)的圖象的對稱軸,且f(x)在(π18,5π36)上單調(diào),則ω的最大值為(　B　) A.11 B.9 C.7 D.5 解析:因?yàn)閤=-π4為f(x)的零點(diǎn),x=π4為y=f(x)的圖象的對稱軸, 所以2n+14·T=π2,即2n+14·2πω=π2(n∈N), 即ω=2n+1(n∈N), 即ω為正奇數(shù), 因?yàn)閒(x)在(π18,5π36)上單調(diào),則5π36-π18= π12≤T2, 即T=2πω≥π6,解得ω≤12, 當(dāng)ω=11時(shí),-11π4+=kπ,k∈Z,

35、因?yàn)閨|≤π2, 所以=-π4, 此時(shí)f(x)在(π18,5π36)上不單調(diào),不滿足題意; 當(dāng)ω=9時(shí),-9π4+=kπ,k∈Z, 因?yàn)閨|≤π2, 所以=π4, 此時(shí)f(x)在(π18,5π36)上單調(diào),滿足題意. 故ω的最大值為9.故選B. 12.(2019·全國Ⅲ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn).下述四個(gè)結(jié)論: ①f(x)在(0,2π)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn); ②f(x)在(0,2π)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn); ③f(x)在(0,π10)單調(diào)遞增; ④ω的取值范圍是[125,2910). 其中所有正確結(jié)論的

36、編號是(　D　) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ 解析:如圖,根據(jù)題意知,xA≤2π

37、向左平移π3個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若x∈[-π2,π2],則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是　　　　.? 解析:因?yàn)閒(x)=1-23cos2x-(sin x-cos x)2=sin 2x-3cos 2x-3=2sin(2x-π3)-3, 所以g(x)=2sin[2(x+π3)-π3]-3=2sin(2x+π3)-3, 由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈Z), 得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ(k∈Z), 因?yàn)閤∈[-π2,π2], 所以函數(shù)g(x)在[-π2,π2]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[-5π12,π12]. 答案:[-5π12,π12] 14.

38、已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+){A>0,ω>0,||<π2}的部分圖象如圖所示. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)縮短到原來的12,再把所得的函數(shù)圖象向左平移π6個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,π8]上的最小值. 解:(1)設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T,由題圖可知A=1,T2=2π3-π6=π2, 即T=π,所以π=2πω,解得ω=2, 所以f(x)=sin(2x+),又f(x)的圖象過點(diǎn)(π6,0), 由0=sin(2×π6+)可得π3+=kπ(k∈Z), 則=kπ-π3(

39、k∈Z), 因?yàn)閨|<π2,所以=-π3, 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=sin(2x-π3). (2)根據(jù)條件得g(x)=sin(4x+π3), 當(dāng)x∈[0,π8]時(shí),4x+π3∈[π3,5π6], 所以當(dāng)x=π8時(shí),g(x)取得最小值,且g(x)min=12. 15.在①f(x)的圖象關(guān)于直線x=5π6對稱;②f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(5π18,0)對稱;③f(x)在[-π4,π4]上單調(diào)遞增這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,若問題中的正實(shí)數(shù)a存在,求出a的值;若a不存在,請說明理由. 已知函數(shù)f(x)=4sin(ωx+π6)+a(ω∈N*)的最小正周期不小于π3

40、,且　　　　,是否存在正實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在[0,π12]上有最大 值3?? 解:由于函數(shù)f(x)的最小正周期不小于π3,所以2πω≥π3,所以1≤ω≤6,ω∈N*. 若選擇①,即f(x)的圖象關(guān)于直線x=5π6對稱,則有5π6ω+π6=kπ+π2(k∈Z),解得ω=65k+25(k∈Z),由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,所以k=3,ω=4. 此時(shí),f(x)=4sin(4x+π6)+a. 由x∈[0,π12],得4x+π6∈[π6,π2],因此當(dāng)4x+π6=π2,即x=π12時(shí),f(x)取得最大值4+a,令4+a=3,解得a=-1,不符合題意. 故不存在正實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f

41、(x)在[0,π12]上有最大值3. 若選擇②,即f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(5π18,0)對稱,則有5π18ω+π6=kπ(k∈Z), 解得ω=185k-35(k∈Z),由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,所以k=1,ω=3. 此時(shí),f(x)=4sin(3x+π6)+a. 由x∈[0,π12],得3x+π6∈[π6,5π12],因此當(dāng)3x+π6=5π12,即x=π12時(shí),f(x)取得最大值4sin5π12+a=6+2+a,令6+2+a=3,解得a=3-6-2,不符合題意. 故不存在正實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在[0,π12]上有最大值3. 若選擇③,即f(x)在[-π4,π4]上單調(diào)遞增, 則有-ωπ4+π6≥2kπ-π2,ωπ4+π6≤2kπ+π2,(k∈Z), 解得ω≤-8k+83,ω≤8k+43, 由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,所以k=0,ω=1. 此時(shí),f(x)=4sin(x+π6)+a. 由x∈[0,π12],得x+π6∈[π6,π4],因此當(dāng)x+π6=π4,即x=π12時(shí),f(x)取得最大值22+a,令22+a=3,解得a=3-22,符合題意. 故存在正實(shí)數(shù)a=3-22,使得函數(shù)f(x)在[0,π12]上有最大值3.