《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 (必修第一冊(cè)) 第四章第4節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 講義》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 (必修第一冊(cè)) 第四章第4節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 講義（21頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第4節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.能畫(huà)出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖象,了解三角函數(shù)的周期性.
2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等),理解正切函數(shù)在區(qū)間(-π2,π2)內(nèi)的單調(diào)性.
1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
正弦函數(shù)y=sin x,x∈[0,2π]圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0,0),(π2,1),
(π,0),(3π2,-1),(2π,0).
余弦函數(shù)y=cos x,x∈[0,2π]圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是(0,1),(π2,0),
(π,-1),(3π2,0),(2π,1).
2、
2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
y=sin x
y=cos x
y=tan x
圖象
定義域
R
R
{x|x≠kπ+π2,
k∈Z}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
單調(diào)性
遞增區(qū)間:[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z),
遞減區(qū)間:[2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)
遞增區(qū)間:
[2kπ-π,2kπ]
(k∈Z),
遞減區(qū)間:
[2kπ,2kπ+π]
(k∈Z)
遞增區(qū)間:
(π-π2,kπ+π2)(k∈Z)
奇偶
性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
對(duì)稱性
對(duì)稱中心
(kπ,0
3、)(k∈Z)
對(duì)稱中心
(kπ+π2,0)
(k∈Z)
對(duì)稱中心
(kπ2,0)(k∈Z)
對(duì)稱軸
x=kπ+π2
(k∈Z)
對(duì)稱軸
x=kπ(k∈Z)
周期性
2π
2π
π
1.對(duì)稱性與周期
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是14個(gè)周期.
(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.
2.要注意求函數(shù)y=Asin(ωx+)的單調(diào)區(qū)間時(shí)A和ω的符號(hào),盡量化成ω>0,避免出現(xiàn)增減區(qū)間混淆的情況.
3.對(duì)于y=tan x不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù),而是在每個(gè)區(qū)間(kπ
4、-π2,kπ+π2)(k∈Z)內(nèi)為增函數(shù).
1.若函數(shù)y=2sin 2x+1的最小正周期為T(mén),最大值為A,則( A )
A.T=π,A=3 B.T=2π,A=3
C.T=π,A=2 D.T=2π,A=2
解析:最小正周期T=2π2=π,最大值A(chǔ)=2+1=3.故選A.
2.下列函數(shù)中最小正周期為π且圖象關(guān)于直線x=π3對(duì)稱的是( B )
A.y=2sin(2x+π3) B.y=2sin(2x-π6)
C.y=2sin(x2+π3) D.y=2sin(2x-π3)
解析:函數(shù)y=2sin(2x-π6)的周期T=2π2=π,
又sin(2×π3-π6)=1,所以函數(shù)y=2sin
5、(2x-π6)的圖象關(guān)于直線x=π3對(duì)稱.故選B.
3.(多選題)已知函數(shù)f(x)=sin(x-π2)(x∈R),則下列結(jié)論正確的是( ABC )
A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2π
B.函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]上是增函數(shù)
C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱
D.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
解析:由題意,可得f(x)=-cos x,
對(duì)于選項(xiàng)A,T=2π1=2π,所以選項(xiàng)A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B,y=cos x在[0,π2]上是減函數(shù),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]上是增函數(shù),所以選項(xiàng)B正確;
對(duì)于選項(xiàng)C,f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),所以函數(shù)是
6、偶函數(shù),所以其圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱,所以選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選ABC.
4.(必修第一冊(cè)P207練習(xí)T5改編)函數(shù)y=cos(π4-2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .?
解析:由y=cos(π4-2x)=cos(2x-π4),
得2kπ≤2x-π4≤2kπ+π(k∈Z),
解得kπ+π8≤x≤kπ+5π8(k∈Z),
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+π8,kπ+5π8](k∈Z).
答案:[kπ+π8,kπ+5π8](k∈Z)
5.已知函數(shù)f(x)=2asin(2x+π6)+a+b(a<0)的定義域?yàn)閇0,π2],值域?yàn)閇-5,1],則a+b= .?
解析:因?yàn)閤∈
7、[0,π2],所以2x+π6∈[π6,7π6],
所以sin(2x+π6)∈[-12,1].
因?yàn)閍<0,所以f(x)∈[3a+b,b].
因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)閇-5,1],所以3a+b=-5,b=1,所以a=-2,所以a+b=-1.
答案:-1
三角函數(shù)的定義域、值域
1.函數(shù)f(x)=-2tan(2x+π6)定義域是( D )
A.{xx≠π6}
B.{xx≠-π12}
C.{xx≠kπ+π6,k∈Z}
D.{xx≠kπ2+π6,k∈Z}
解析:由2x+π6≠π2+kπ,k∈Z,得x≠π6+kπ2,k∈Z.故選D.
2.函數(shù)y=2sin(πx6-π3)(0≤x≤9
8、)的最大值與最小值之和為( A )
A.2-3 B.0
C.-1 D.-1-3
解析:因?yàn)?≤x≤9,所以-π3≤πx6-π3≤7π6,
所以sin(πx6-π3)∈[-32,1].
所以y∈[-3,2],所以ymax+ymin=2-3.故選A.
3.函數(shù)y=sinx-cosx的定義域?yàn)椤 ??
解析:法一 要使函數(shù)有意義,必須使sin x-cos x≥0.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的圖象,如圖所示.
在[0,2π]內(nèi),滿足sin x=cos x的x的值為π4,5π4,再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π,所以函數(shù)y=sinx-
9、cosx的定義域?yàn)閧x2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z}.
法二 sin x-cos x=2sin(x-π4)≥0,將x-π4視為一個(gè)整體,由正弦函數(shù)y=sin x的圖象和性質(zhì)可知2kπ≤x-π4≤π+2kπ,k∈Z,解得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z.所以函數(shù)y=sinx-cosx的定義域?yàn)閧x2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z}.
答案:{x2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z}
4.函數(shù)y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π]的值域?yàn)椤 ??
解析:設(shè)t=sin x-cos x,
則t2=sin2x+cos2x-2sin
10、xcos x,
即sin xcos x=1-t22,且-1≤t≤2.
所以y=-t22+t+12=-12(t-1)2+1.
當(dāng)t=1時(shí),ymax=1;當(dāng)t=-1時(shí),ymin=-1.
所以函數(shù)的值域?yàn)閇-1,1].
答案:[-1,1]
1.求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上就是解簡(jiǎn)單的三角不等式,常借助于三角函數(shù)圖象來(lái)求解.
2.求三角函數(shù)的值域(最值)的常見(jiàn)題型及求解策略:
(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+)+k的形式,再求最值(值域);
(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函數(shù),可先設(shè)sin x=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)
11、求值域(最值);
(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函數(shù),可先設(shè)t=sin x±cos x,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).
三角函數(shù)的單調(diào)性
(1)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是減函數(shù),則a的最大值是( )
A.π4 B.π2
C.3π4 D.π
(2)函數(shù)f(x)=sin(-2x+π3)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .?
解析:(1)f(x)=cos x-sin x=2cos(x+π4),
由題意得a>0,故-a+π4<π4,
因?yàn)閒(x)=2cos(x+π4)在[-a,a]上是減函數(shù),
所以-a+
12、π4≥0,a+π4≤π,a>0,解得00,ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要視“ωx+”為一
13、個(gè)整體,通過(guò)解不等式求解.但如果ω<0,可借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù),防止把單調(diào)性弄錯(cuò).
(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后利用集合間的關(guān)系求解.
[針對(duì)訓(xùn)練]
1.函數(shù)f(x)=tan(2x-π3)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.[kπ2-π12,kπ2+5π12](k∈Z)
B.(kπ2-π12,kπ2+5π12)(k∈Z)
C.(kπ+π6,kπ+2π3)(k∈Z)
D.[kπ-π12,kπ+5π12](k∈Z)
解析:由kπ-π2<2x-π3
14、n(2x-π3)的單調(diào)遞增區(qū)間為
(kπ2-π12,kπ2+5π12)(k∈Z).故選B.
2.若函數(shù)f(x)=7sin(x+π10)在區(qū)間[π2,a]上單調(diào),則實(shí)數(shù)a的最大值為 .?
解析:因?yàn)閤∈[π2,a],所以(x+π10)∈[π2+π10,a+π10],注意到π2+π10在y=
sin x的單調(diào)遞減區(qū)間[π2,3π2]內(nèi),所以a+π10≤3π2,所以a≤7π5,所以a的最大值為7π5.
答案:7π5
三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性
三角函數(shù)的周期性與奇偶性
下列函數(shù)中,最小正周期為π且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是 .(填序號(hào))?
①y=cos(2x+
15、π2);②y=sin(2x+π2);③y=sin 2x+cos 2x;④y=sin x+cos x.
解析:y=cos(2x+π2)=-sin 2x,最小正周期T=2π2=π,且為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故①正確;
y=sin(2x+π2)=cos 2x,最小正周期為π,且為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故②不正確;
③,④均為非奇非偶函數(shù),其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故③,④不正確.
答案:①
(1)若f(x)=Asin(ωx+)(A,ω≠0),則
①f(x)為偶函數(shù)的充要條件是=π2+kπ(k∈Z);
②f(x)為奇函數(shù)的充要條件是=kπ(k∈Z).
(2)函數(shù)y=Asin
16、(ωx+)與y=Acos(ωx+)的最小正周期T=2π|ω|,y=Atan(ωx+)的最小正周期T=π|ω|.
三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性
(1)已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)的一條對(duì)稱軸為直線x=π3,一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)(π12,0),則ω有( )
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值1 D.最大值1
(2)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期為4π,則該函數(shù)的圖象( )
A.關(guān)于點(diǎn)(π3,0)對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)(5π3,0)對(duì)稱
C.關(guān)于直線x=π3對(duì)稱 D.關(guān)于直線x=5π3對(duì)稱
解析:(1)因?yàn)楹瘮?shù)的中心到對(duì)稱軸的最短距離是T
17、4,兩條對(duì)稱軸間的最短距離是T2,所以,對(duì)稱中心(π12,0)到對(duì)稱軸x=π3間的距離用周期可表示為π3-π12≥T4,又因?yàn)門(mén)=2πω,所以2πω4≤π4,所以ω≥2,所以ω有最小值2.故選A.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期為4π,而T=2πω=4π,所以ω=12,
即f(x)=2sin(x2+π6).
令x2+π6=π2+kπ(k∈Z),解得x=2π3+2kπ(k∈Z),
故f(x)的對(duì)稱軸為直線x=2π3+2kπ(k∈Z).
令x2+π6=kπ(k∈Z),解得x=-π3+2kπ(k∈Z),
故f(x)的對(duì)稱中心為(-π3+2kπ,0)(
18、k∈Z),對(duì)比選項(xiàng)可知B正確.故
選B.
(1)對(duì)于可化為f(x)=Asin(ωx+)形式的函數(shù),如果求f(x)的對(duì)稱軸,只需令ωx+=π2+kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),只需令ωx+=kπ(k∈Z),求x即可.
(2)對(duì)于可化為f(x)=Acos(ωx+)形式的函數(shù),如果求f(x)的對(duì)稱軸,只需令ωx+=kπ(k∈Z),求x即可;如果求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo),只需令ωx+=π2+kπ(k∈Z),求x即可.
[針對(duì)訓(xùn)練]
1.在函數(shù)①y=cos |2x|,②y=|cos x|,③y=cos(2x+π6),④y=tan(2x-π4)中,最小正周期
19、為π的所有函數(shù)為( )
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
解析:①y=cos |2x|=cos 2x,最小正周期為π;
②由函數(shù)圖象知y=|cos x|的最小正周期為π;
③y=cos(2x+π6)的最小正周期T=2π2=π;
④y=tan(2x-π4)的最小正周期T=π2.故選A.
2.若函數(shù)f(x)=asin ωx+bcos ωx(0<ω<5,ab≠0)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是x=π4ω,函數(shù)f′(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(π8,0),則f(x)的最小正周期是 .?
解析:由題設(shè)可知,有f(π4ω)=±a2+b2,
即22(a+b)=±a2+b2,由
20、此得到a=b.
又f′(π8)=0,所以aω(cosωπ8-sinωπ8)=0,
從而tan ωπ8=1,ωπ8=kπ+π4,k∈Z,
即ω=8k+2,k∈Z,
而0<ω<5,所以ω=2,于是f(x)=a(sin 2x+cos 2x)
=2asin(2x+π4),故f(x)的最小正周期是π.
答案:π
函數(shù)f(x)=3sin(2x-π6)在區(qū)間[0,π2]上的值域?yàn)? )
A.[-32,32] B.[-32,3]
C.[-332,332] D.[-332,3]
解析:因?yàn)閤∈[0,π2],
所以2x-π6∈[-π6,5π6],
所以sin(2x-π6)∈[-1
21、2,1],
所以3sin(2x-π6)∈[-32,3],
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]上的值域是[-32,3].故選B.
函數(shù)f(x)=cos 2x+6cos(π2-x)的最大值為( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:因?yàn)閒(x)=cos 2x+6cos(π2-x)=cos 2x+6sin x=1-2sin2x+
6sin x=-2(sin x-32)2+112,
又sin x∈[-1,1],所以當(dāng)sin x=1時(shí),f(x)取得最大值5.故選B.
函數(shù)y=lg(sin 2x)+9-x2的定義域?yàn)椤 ??
解析:由sin2x>0,9-x2≥0,得kπ
22、
23、合運(yùn)用練
應(yīng)用創(chuàng)新練
三角函數(shù)的定義域與值域
1,2,
12
三角函數(shù)的單調(diào)性
4,5,8
三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性
3,6,7,9
10,11,13
16
綜合問(wèn)題
14,15
1.函數(shù)y=tan(π4-x)的定義域是( D )
A.{xx≠π4}
B.{xx≠-π4}
C.{xx≠kπ+π4,k∈Z}
D.{xx≠kπ+3π4,k∈Z}
解析:y=tan(π4-x)=-tan(x-π4),由x-π4≠π2+kπ,k∈Z,得x≠kπ+3π4,k∈Z.故選D.
2.若函數(shù)f(x)=cos(ωx-π3) (ω>0)的最小正周期
24、為π2,則f(x)在[0,π4]上的值域?yàn)? B )
A.[-32,12] B.[-12,1]
C.[-32,1] D.[ 12,1]
解析:因?yàn)門(mén)=2πω=π2,所以ω=4,
f(x)=cos(4x-π3).
因?yàn)閤∈[0,π4],所以4x-π3∈[-π3,2π3],
所以-12≤f(x)=cos(4x-π3)≤1,
所以f(x)∈[-12,1].故選B.
3.(多選題)已知函數(shù)f(x)=32sin 2x-12cos 2x,則下列判斷正確的是( AC )
A.關(guān)于直線x=π3對(duì)稱
B.關(guān)于直線x=π6對(duì)稱
C.關(guān)于點(diǎn)(π12,0)對(duì)稱
D.關(guān)于點(diǎn)(π3,0)對(duì)稱
解
25、析:f(x)=32sin 2x-12cos 2x=sin(2x-π6),則f(π3)=sin(2×π3-π6)=
sin π2=1,即函數(shù)關(guān)于直線x=π3對(duì)稱,故A正確,D錯(cuò)誤;f(π6)=sin(2×
π6-π6)=sin π6=12,則函數(shù)不關(guān)于直線x=π6對(duì)稱,故B錯(cuò)誤;f(π12)=sin(2×
π12-π6)=0,即f(x)關(guān)于點(diǎn)(π12,0)對(duì)稱,故C正確.故選AC.
4.函數(shù)y=2sin(π6-2x) (x∈[0,π])的單調(diào)遞增區(qū)間是( C )
A.[0,π3] B.[ π12,7π12]
C.[ π3,5π6] D.[ 5π6,π]
解析:因?yàn)閥=2sin(π6
26、-2x)=-2sin(2x-π6),由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ,k∈Z,即函數(shù)在R上的單調(diào)遞增區(qū)間為[π3+kπ,5π6+kπ],k∈Z,所以函數(shù)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[π3,5π6].故選C.
5.函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)的圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=g(x)的圖象,并且函數(shù)g(x)在區(qū)間[π6,π3]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[π3,π2]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)ω的值為( C )
A.74 B.32 C.2 D.54
解析:因?yàn)閷⒑瘮?shù)f(x)=sin ωx(ω>0)的圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=
27、g(x)的圖象,所以g(x)=sin ω(x-π12),又函數(shù)g(x)在區(qū)間[π6,π3]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[π3,π2]上單調(diào)遞減,所以g(π3)=sin ωπ4=1且2πω≥π3,所以ω=8k+2(k∈Z),0<ω≤6, 所以ω=2.故選C.
6.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(ωx+π6)在[-π,π]上的圖象大致如圖,則f(x)的最小正周期為( C )
A.10π9 B.7π6 C.4π3 D.3π2
解析:由圖可得,函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(-4π9,0),
將它代入函數(shù)f(x)可得cos(-4π9·ω+π6)=0,
又(-4π9,0)是函數(shù)f(x)圖象與x軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn),所以-4π
28、9·ω+π6=-π2,解得ω=32,
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)=2πω=2π32=4π3.故選C.
7.已知函數(shù)f(x)=sin x+acos x的圖象關(guān)于直線x=5π3對(duì)稱,則實(shí)數(shù)a的值為 .?
解析:由x=5π3是f(x)圖象的對(duì)稱軸,
可得f(0)=f(10π3),即sin 0+acos 0=sin 10π3+acos 10π3,解得a=-33.
答案:-33
8.若函數(shù)f(x)=sin ωx(0<ω<2)在區(qū)間[0,π3]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[π3,π2]上單調(diào)遞減,則ω等于 .?
解析:根據(jù)題意知f(x)在x=π3處取得最大值1,
所以sin ωπ3
29、=1,所以ωπ3=2kπ+π2,k∈Z,
即ω=6k+32,k∈Z.
又0<ω<2,所以k=0時(shí),ω=32.
答案:32
9.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)f(x)= ,使之同時(shí)具有如下性質(zhì):?
①?x∈R,f(x)=f(4-x),②?x∈R,f(x+4)=f(x).
解析:f(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱,周期為4,可取f(x)=cos π2x.
答案:cos π2x(答案不唯一)
10.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(ωx+π3)-1(ω>0),將f(x)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度,縱坐標(biāo)不變,所得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(-π4,-1),則ω的最小值為( B )
A.27
30、 B.107
C.127 D.227
解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=cos(ωx+π3)-1(ω>0),將f(x)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度,縱坐標(biāo)不變,
可得函數(shù)y=cos(ωx-ωπ3+π3)-1的圖象,
所得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(-π4,-1),則cos[ω·(-π4)-ωπ3+π3]-1=
-1,所以cos[ω·(-π4)-ωπ3+π3]=0,即ω·(-π4)-ωπ3+π3=kπ+π2,即ω=-127k-27,k∈Z,所以ω的最小值為107.故選B.
11 函數(shù)f(x)=Asin(2x+)(||≤π,A>0)的部分圖象如圖所示,則f(x)( B )
31、
A.在(-5π12,π12)上是減函數(shù)
B.在(-5π12,π12)上是增函數(shù)
C.在(π3,5π6)上是減函數(shù)
D.在(π3,5π6)上是增函數(shù)
解析:由圖象可知A=2,函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(π3,0),所以有2sin(2·π3+)=
0?2·π3+=kπ(k∈Z)?=kπ-2π3(k∈Z).
因?yàn)閨|≤π,所以=π3或=-2π3,當(dāng)=-2π3時(shí),f(x)=2sin(2x-2π3),此時(shí)f(0)<0,不符合題意,所以=π3.所以f(x)=2sin(2x+π3).
當(dāng)x∈(-5π12,π12)時(shí),2x+π3∈(-π2,π2),
所以f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(π3,5π6)時(shí),2
32、x+π3∈(π,2π),
函數(shù)f(x)不具有單調(diào)性.故選B.
12.已知函數(shù)f(x)=2sin x+sin 2x,則f(x)的最小值是 .?
解析:f′(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2=4(cos x+1)(cos x-12),所以當(dāng)cos x<12時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)cos x>12時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,從而得到函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ-5π3,2kπ-π3] (k∈Z),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-π3,2kπ+π3] (k∈Z),所以當(dāng)x=2kπ-π3,k∈Z時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,此時(shí)sin x=-3
33、2,sin 2x=-32,所以f(x)min=2×(-32)-32=-332.
答案:-332
13.關(guān)于函數(shù)f(x)=sin x+1sinx有如下四個(gè)命題:
①f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;
②f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
③f(x)的圖象關(guān)于直線x=π2對(duì)稱;
④f(x)的最小值為2,屬于真命題的序號(hào)是 .?
解析:對(duì)于命題①,f(π6)=12+2=52,f(-π6)=-12-2=-52,則f(-π6)≠f(π6),
所以,函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱,命題①錯(cuò)誤;
對(duì)于命題②,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ,k∈Z},定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
f(-x)=s
34、in(-x)+1sin(-x)=-sin x-1sinx=-(sin x+1sinx)=-f(x),
所以,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,命題②正確;
對(duì)于命題③,因?yàn)閒(π2-x)=sin(π2-x)+1sin(π2-x)=cos x+1cosx,
f(π2+x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x)=cos x+1cosx,則f(π2-x)=f(π2+x),
所以,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=π2對(duì)稱,命題③正確;
對(duì)于命題④,當(dāng)-π
35、2x+π4).
(1)求函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)當(dāng)x∈[π4,3π4]時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.
解:(1)令2x+π4=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π8,k∈Z.
所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程是x=kπ2+π8,k∈Z.
(2)令2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z.
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-3π8,kπ+π8],k∈Z.
(3)當(dāng)x∈[π4,3π4]時(shí),3π4≤2x+π4≤7π4,
所以-1≤sin(2x+π4)≤22,
所以-2≤
36、f(x)≤1,
所以當(dāng)x∈[π4,3π4]時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為1,最小值為-2.
15.設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(2ωx-π6)+m的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱,其中0<ω<12.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(π,0),求函數(shù)f(x)在[0,3π2]上的值域.
解:(1)由直線x=π是y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸,可得sin(2ωπ-π6)
=±1,
所以2ωπ-π6=kπ+π2(k∈Z),
即ω=k2+13(k∈Z).
又0<ω<12,所以ω=13,
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為3π.
(2)由(1)知f(x)=2sin(
37、23x-π6)+m,
因?yàn)閒(π)=0,所以2sin(2π3-π6)+m=0,
所以m=-2,所以f(x)=2sin(23x-π6)-2,
當(dāng)0≤x≤3π2時(shí),-π6≤23x-π6≤5π6,
可得-12≤sin(23x-π6)≤1.
所以-3≤f(x)≤0,
故函數(shù)f(x)在[0,3π2]上的值域?yàn)閇-3,0].
16.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω>0,-π12<<π2),給出以下四個(gè)論斷:①f(x)的最小正周期為π;②f(x)在區(qū)間(-π6,0)上是增函數(shù);③f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π3,0)對(duì)稱;④f(x)的圖象關(guān)于直線x=π12對(duì)稱.以其中兩個(gè)論斷作為
38、條件,另兩個(gè)論斷作為結(jié)論,寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題(寫(xiě)成“p?q”的形式) .(用到的論斷都用序號(hào)表示)?
解析:若f(x)的最小正周期為π,則ω=2,函數(shù)f(x)=sin(2x+).同時(shí)若f(x)的圖象關(guān)于直線x=π12對(duì)稱,則sin(2×π12+)=±1,又-π12<<π2,所以2×π12+=π2,所以=π3,此時(shí)f(x)=sin(2x+π3),②③成立,故①④?②③.若f(x)的最小正周期為π,則ω=2,函數(shù)f(x)=sin(2x+),同時(shí)若f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π3,0)對(duì)稱,則2×π3+=kπ,k∈Z,又-π12<<π2,所以=π3,此時(shí)f(x)=sin(2x+π3),②④成立,故①③?②④.
答案:①④?②③或①③?②④
2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 (必修第一冊(cè)) 第四章第4節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 講義
