《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 考點(diǎn)規(guī)范練12 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 考點(diǎn)規(guī)范練12 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算（6頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點(diǎn)規(guī)范練12 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算
基礎(chǔ)鞏固組
1.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為( )
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
答案D
解析∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax,且f(x)是奇函數(shù),
∴a-1=0,解得a=1.
∴f(x)=x3+x,則f'(x)=3x2+1,
∴f'(0)=1.即y-0=x-0,故切線方程為y=x,
故選D.
2.設(shè)f(x)=xln x,若f'(x0)=2,則x0=( )
A.e2 B.e C.ln
2、22 D.ln 2
答案B
解析∵f'(x)=lnx+x·1x=lnx+1,
∴l(xiāng)nx0+1=2,得lnx0=1,即x0=e.
3.(2017課標(biāo)Ⅰ高考改編)曲線y=x2+1x在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為( )
A.y=-x+3 B.y=x+1
C.y=-2x+4 D.y=2x
答案B
解析設(shè)y=f(x),
則f'(x)=2x-1x2,所以f'(1)=2-1=1,
所以在(1,2)處的切線方程為y-2=1×(x-1),即y=x+1.
4.已知曲線y=x+1x-1在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax+y+1=0垂直,則a=( )
A.-2 B.2 C.-12 D.12
3、
答案A
解析由y'=-2(x-1)2得曲線在點(diǎn)(3,2)處的切線斜率為-12,又切線與直線ax+y+1=0垂直,則a=-2,故選A.
5.點(diǎn)P是曲線y=32x2-2ln x上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x-52的距離的最小值為( )
A.2 B.332 C.322 D.5
答案C
解析當(dāng)點(diǎn)P是曲線的切線中與直線y=x-52平行的直線的切點(diǎn)時,距離最小;∵y=32x2-2lnx,
∴y'=3x-2x,令y'=1,解得x=1,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,32.
此時點(diǎn)P到直線y=x-52的最小值為|1-32-52|2=322.故選C.
6.
如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P處
4、的切線方程是y=-x+8,則f'(5)= ;f(5)= .?
答案-1 3
解析f'(5)=-1,f(5)=-5+8=3.
7.若對任意x∈(0,+∞),都有l(wèi)n x≤ax恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .?
答案1e,+∞
解析在區(qū)間(0,+∞)上繪制函數(shù)y=lnx和函數(shù)y=ax的圖象,
若對任意x∈(0,+∞),lnx≤ax恒成立,則對數(shù)函數(shù)的圖象應(yīng)該恒不在一次函數(shù)圖象的上方,
如圖所示為臨界條件,直線過坐標(biāo)原點(diǎn),與對數(shù)函數(shù)相切,
由y=lnx可得y'=1x,則在切點(diǎn)(x0,lnx0)處對數(shù)函數(shù)的切線斜率為k=1x0,即切線方程為y-lnx0=1x0(
5、x-x0),
切線過坐標(biāo)原點(diǎn),則0-lnx0=1x0(0-x0),
解得x0=e,則切線的斜率k=1x0=1e.
由此可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍為1e,+∞.
8.已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程是 .?
答案y=-2x-1
解析當(dāng)x>0時,-x<0,則f(-x)=lnx-3x.
因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=lnx-3x,
所以f'(x)=1x-3,f'(1)=-2.
故所求切線方程為y+3=-2(x-1),
即y=-2x-1.
能力提升組
9.曲線f(x)=
6、xln x在點(diǎn)(e,f(e))(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線方程為( )
A.y=ex-2 B.y=2x+e
C.y=ex+2 D.y=2x-e
答案D
解析因?yàn)閒(x)=xlnx,所以f'(x)=lnx+1,故切線的斜率k=f'(e)=2,因?yàn)閒(e)=e,所以切線方程為y-e=2(x-e),即y=2x-e,故選D.
10.已知y=a分別與直線y=2x+2,曲線y=x+ln x交于點(diǎn)A,B,則|AB|的最小值為( )
A.3 B.2 C.324 D.32
答案D
解析設(shè)A(x1,a),B(x2,a),則2(x1+1)=x2+lnx2,
∴x1=12(x2+lnx2)
7、-1,
∴|AB|=x2-x1=12(x2-lnx2)+1,
令y=12(x-lnx)+1,則y'=121-1x,
∴函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴x=1時,函數(shù)的最小值為32.
故選D.
11.已知函數(shù)f(x)=xa-1ex,曲線y=f(x)上存在兩個不同的點(diǎn),使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與y軸垂直,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-e2,+∞) B.(-e2,0)
C.-1e2,+∞ D.-1e2,0
答案D
解析∵曲線y=f(x)上存在不同的兩點(diǎn),使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與y軸垂直,∴f'(x)=a+(x-1)e-x=0有兩個不同的解
8、,即得a=(1-x)e-x有兩個不同的解,設(shè)y=(1-x)e-x,則y'=(x-2)e-x,∴x<2,y'<0,x>2,y'>0,y=(1-x)e-x在(-∞,2)上遞減,在(2,+∞)上遞增.∴x=2時,函數(shù)取得極小值-e-2,又因?yàn)楫?dāng)x>2時總有y=(1-x)e-x<0,所以可得數(shù)a的取值范圍是-1e2,0,故選D.
12.設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),f'(x)在區(qū)間(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f″(x),若在區(qū)間(a,b)上f″(x)<0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”.已知f(x)=112x4-16mx3-32x2,若對任意的實(shí)數(shù)m滿足|
9、m|≤2時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”,則b-a的最大值為( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案C
解析當(dāng)|m|≤2時,f″(x)=x2-mx-3<0恒成立等價于當(dāng)|m|≤2時,mx>x2-3恒成立.當(dāng)x=0時,f″(x)=-3<0顯然成立.
當(dāng)x>0時,mx>x2-3?m>x-3x,∵m的最小值是-2,
∴x-3x<-2,從而解得0x2-3?m2,從而解得-1
10、逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ(θ∈(0,α]),得到曲線C,若對于每一個旋轉(zhuǎn)角θ,曲線C都仍然是一個函數(shù)的圖象,則α的最大值為( )
A.π B.π2 C.π3 D.π4
答案D
解析函數(shù)y=ln(x+1)(x≥0)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)時,當(dāng)且僅當(dāng)其任意切線的傾斜角小于等于90°時,其圖象都依然是一個函數(shù)圖象,因?yàn)楫?dāng)x≥0時,y'=1x+1是減函數(shù),且0
11、a的取值范圍是 .?
答案(0,2e]
解析∵兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線,且y=x2-1的導(dǎo)數(shù)y'=2x,y=alnx-1的導(dǎo)數(shù)為y'=ax,
設(shè)與y=x2-1相切的切點(diǎn)為(n,n2-1),與曲線y=alnx-1相切的切點(diǎn)為(m,alnm-1),
y-(n2-1)=2n(x-n),即y=2nx-n2-1,
y-(alnm-1)=am(x-m),即y=amx-a+alnm-1,
∴2n=am,n2+1=a+1-alnm,∴a24m2=a-alnm,∵a>0,
∴a4m2=1-lnm,
即a4=m2(1-lnm)有解即可,令g(x)=x2(1-lnx)
12、,
則由g'(x)=2x(1-lnx)+x2-1x=x(1-2lnx)=0,可得x=e,∴g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)是單調(diào)遞減,∴g(x)的最大值為g(e)=e2,
又g(0)=0,∴0
13、x1+2,y2=ln(x2+1).由點(diǎn)P1(x1,y1)在切線上,得y-(lnx1+2)=1x1(x-x1),由點(diǎn)P2(x2,y2)在切線上,得y-ln(x2+1)=1x2+1(x-x2).因?yàn)檫@兩條直線表示同一條直線,
所以1x1=1x2+1,ln(x2+1)=lnx1+x2x2+1+1,解得x1=12,
所以k=1x1=2,b=lnx1+2-1=1-ln2.
16.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1-x)+f(1+x)=2,且當(dāng)x>1時,f(x)=xex-2,則曲線y=f(x)在x=0處的切線方程是 .?
答案x+y=0
解析因?yàn)閒(1-x)+f(1+x)=2,所以
14、函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱,x<1時,取點(diǎn)(x,y),關(guān)于(1,1)對稱點(diǎn)是(2-x,2-y),代入x>1時的解析式f(x)=xex-2,可得2-y=2-xe-x,
∴y=2-2-xe-x,∴y'=x-1e-x,令x=0,則y'=-1,y=0,所以切線方程為x+y=0.
17.已知點(diǎn)M是曲線y=13x3-2x2+3x+1上任意一點(diǎn),曲線在M處的切線為l,求:
(1)斜率最小的切線方程;
(2)切線l的傾斜角α的取值范圍.
解(1)y'=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,
∴當(dāng)x=2時,y'=-1,y=53,
∴斜率最小的切線過點(diǎn)2,53,斜率k=-1,
∴切線方程為3x+3y-11=0.
(2)由(1)得k≥-1,∴tanα≥-1,
又∵α∈[0,π),∴α∈0,π2∪3π4,π.
故α的取值范圍為0,π2∪3π4,π.
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（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 考點(diǎn)規(guī)范練12 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算
