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1、培優(yōu)點(diǎn)四 恒成立問題
一、最值分析法
例1：設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．
【答案】
【解析】恒成立不等式為，只需，
令，則對(duì)稱軸為．
①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，∴，
∴，即；
②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
∴，∴，即．
綜上，．
二、參變量分離法
例2：已知函數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】
【解析】∵，∴，
即只需要即可，
設(shè)，
∴，
令(分子的符號(hào)無法直接判斷，所以考慮再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行分析）
∴，
∵，∴，∴在單調(diào)遞增，∴，
∴，∴在單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，，∴．
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．
三、數(shù)形結(jié)
2、合法
例3：已知不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【解析】先作出的圖象，觀察圖象可得：若要使不等式成立，
則的圖象應(yīng)在的上方，∴應(yīng)為單增的對(duì)數(shù)函數(shù)，即，
另一方面，觀察圖象可得：若要保證在時(shí)不等式成立，
只需保證在時(shí)，即可，代入，可得，
綜上可得：．
對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)
一、選擇題
1．已知，，若對(duì)任意的，
恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得，∴，
設(shè)，∴，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴，∴，∴．
2．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
3、A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若恒成立，則，，
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，
∴，∴．
3．已知，不等式在上恒成立，則的
取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出的圖象可知為減函數(shù)，∴等價(jià)于在恒成立，即，解得．
4．若不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】恒成立不等式變形為，
即的圖象在圖象的上方，
先作出的圖象，對(duì)于，可看作經(jīng)過平移得到，而平移的距離與的取值有關(guān)．
通過觀察圖象，可得只需，解得．
5．已知函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍是（）
A． B． C． D
4、．
【答案】D
【解析】由，可得，
∴，∴，其中．
∴只需要，令，，
令，，
當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞減，
又，∴，即，
∴在單調(diào)遞減，∴，∴．
6．設(shè)正數(shù)，，對(duì)任意，不等式恒成立，
則正數(shù)的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，∴，
，可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故，
∴若原不等式恒成立，只需，
再進(jìn)行一次參變分離，，則只需，
，∴，
∴，解得．
二、填空題
7．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【解析】∵，即恒成立，∴，
若不等式恒成立，只需，
令，
∵，∴．
8．若不等式對(duì)
5、于任意的都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【解析】先作出的圖象，觀察圖象可得：若要使不等式成立，
則的圖象應(yīng)在的上方，
∴應(yīng)為單減的對(duì)數(shù)函數(shù)，即，
觀察圖象進(jìn)一步可得，要使不等式對(duì)于任意的都成立，
只需時(shí)，，即，∴．
9．已知函數(shù)，對(duì)任意的，都有，則最大的正整數(shù)為．
【答案】
【解析】，即，作出函數(shù)和的圖象，
可知，，，∴，
即的最大整數(shù)值為．
10．已知，，若不等式對(duì)任意恒成立，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【答案】
【解析】令，可得，
，
由可得，當(dāng)時(shí)，，，，
即，∴在上單調(diào)遞增，
∴，即，解得，
結(jié)合，可得．
6、三、解答題
11．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，，
∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．
（2）當(dāng)時(shí)，由，可得，
即只需要，
設(shè)，
令，，
∵，∴，
在單調(diào)遞增∴，
∴，在單調(diào)遞增，，．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
12．已知函數(shù)，，．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，
易得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上
7、單調(diào)遞減．
（2）恒成立，只需，
由，得，令，解得，
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
∴，
∴，都有恒成立，即只需．
，
當(dāng)時(shí)，令，
則，與矛盾，
當(dāng)時(shí)，，∴解得，
∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
∴，
∴，解得，
綜上所述：．
13．已知函數(shù)，其中．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）見解析；（2）．
【解析】（1），
當(dāng)時(shí)，可得恒成立，∴在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，可解得或，
∴在，單調(diào)遞增；在，單調(diào)遞減．
（2）若在上恒成立，則只需，
由（1）可知在的邊界處取得最大值，
∴，即對(duì)任意的恒成
8、立，
∴，可得．
綜上，的取值范圍為．
14．已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)于任意的恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）見解析；（2）．
【解析】（1），
①當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）由可得，
設(shè)，，
，∴
恒成立，，
∴，否則若，由于連續(xù)，
∴必存在區(qū)間使得，即在單調(diào)遞減，
進(jìn)而，使得，不符題意．
∴．
下面證任意的均滿足條件．
構(gòu)造函數(shù)（時(shí)的）
則，當(dāng)時(shí)，，∴，
∴，．
若要恒成立，只需證明即可．
又，
，可得，
令，
，
當(dāng)時(shí)，，
∴在單調(diào)遞增，，即，
∴在單調(diào)遞增，成立，
∴時(shí)，，恒成立，符合題意．
綜上，的取值范圍為．
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2020屆高考數(shù)學(xué) 專題四 恒成立問題精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理
