數(shù)學第十二章 概率與統(tǒng)計 12.3 離散型隨機變量及其分布

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1、12.3 離散型隨機變量及其分布高考數(shù)學高考數(shù)學考點一離散型隨機變量及其分布列考點一離散型隨機變量及其分布列1.離散型隨機變量的分布列(1)如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示,那么這樣的變量叫做隨機變量;按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.(2)設離散型隨機變量可能取的值為x1,x2,xn,取每一個值xi(i=1,2,n)的概率P(=xi)=pi,則稱表知識清單x1x2xixnPp1p2pipn為離散型隨機變量的概率分布,或稱為離散型隨機變量的分布列,它具有性質(zhì):a.pi0,i=1,2,n;b.p1+p2+pi+pn=1.離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范

2、圍內(nèi)各個值的概率之和.2.如果隨機變量X的分布列為X10Ppq其中0p1,q=1-p,則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布.3.超幾何分布列在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則事件X=k發(fā)生的概率為P(X=k)=(k=0,1,2,m),其中m=minM,n,且nN,MN,n、M、NN*,稱分布列CCCkn kMN MnNX01mP0n 0MN MnNCCC1n 1MN MnNC CCmn mMN MnNC CC為超幾何分布列.考點二離散型隨機變量的均值與方差考點二離散型隨機變量的均值與方差1.離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnP

3、p1p2pipn(1)均值稱EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望,它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.(2)方差稱DX=(xi-EX)2pi為隨機變量X的方差,它刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度,其算術平方根為隨機變量X的標準差,記作X.2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)D(aX+b)=a2D(X).(a,b為實數(shù))3.兩點分布的均值、方差若X服從兩點分布,則EX=p,DX=p(1-p).1niDX 求離散型隨機變量分布列的解題策略求離散型隨機變量分布列的解題策略1.求離散型隨機變量的分布列,應按下述三個步驟進行:(

4、1)明確隨機變量的所有可能取值,以及取每個值所表示的意義.(2)利用概率的有關知識,求出隨機變量取每個值時的概率.(3)按規(guī)范形式寫出分布列,并用分布列的性質(zhì)進行驗證.2.在處理隨機變量的分布列時,先根據(jù)隨機變量的實際意義,利用試驗結果,找出隨機變量的取值,再求相應的概率是常用的基本方法.3.注意分布列的性質(zhì)在求分布列中的應用.例1(2016天津,16,13分)某小組共10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.方法技巧方法1(1)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;(

5、2)設X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.解題導引(1)分兩種情況討論計算“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”的事件數(shù)由古典概型的概率公式得結論(2)求隨機變量的可能取值計算隨機變量取每個值時的概率,得分布列計算期望得結論解析(1)由已知,有P(A)=.所以,事件A發(fā)生的概率為.(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.所以,隨機變量X的分布列為112343210C CCC1313222334210CCCC41511113334210C CC CC7151134210C CC415X012P415715

6、415隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=0+1+2=1.415715415評析本題主要考查古典概型及其概率計算公式,互斥事件、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.求離散型隨機變量的均值與方差的方法求離散型隨機變量的均值與方差的方法注意:(1)解決實際應用問題時,關鍵是正確理解隨機變量取每一個值時所表示的具體事件;(2)隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平,方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫方法2了隨機變量,是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù),一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定.例2(2017浙江湖州期末調(diào)研,

7、17)甲、乙兩人被隨機分配到A,B,C三個不同的崗位(一個人只能去一個工作崗位),記分配到A崗位的人數(shù)為X,則隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=,方差D(X)=.解題導引求隨機變量的可能取值計算隨機變量取每個值時的概率,得分布列由期望的計算公式得期望值由方差的計算公式得方差的值解析由條件知,X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.X的分布列為223 3491122CC3 34913 319X012P494919E(X)=0+1+2=,D(X)=+=.4949192322034922134922231949答案;2349評析本題考查古典概型概率、隨機變量的分布列、隨機變量的期望和方差等基礎知識,考查運算求解能力.