（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理與古典概率 5 第5講 古典概型高效演練分層突破

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1、第5講　古典概型 [基礎題組練] 1．從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D.依題意，記兩次取得卡片上的數(shù)字依次為a，b，則一共有25個不同的數(shù)組(a，b)，其中滿足a>b的數(shù)組共有10個，分別為(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，因此所求的概率為＝，選D. 2．高三畢業(yè)時，甲、乙、丙等五位同學站成一排合影留念，已知甲、乙相鄰，則甲、丙相鄰的概

2、率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.五人排隊，甲、乙相鄰的排法有AA＝48(種)，若甲、丙相鄰，此時甲在乙、丙中間，排法有AA＝12(種)，故甲、丙相鄰的概率為＝. 3．袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球，從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為(　　) A．1 B. C. D. 解析：選C.從袋中任取2個球共有C＝105種，其中恰好1個白球，1個紅球共有CC＝50種，所以恰好1個白球，1個紅球的概率為＝. 4．(2020·臺州高三質(zhì)檢)已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b

3、∈M}，A是集合N中任意一點，O為坐標原點，則直線OA與y＝x2＋1有交點的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C.易知過點(0，0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4個，由古典概型知概率為＝. 5．(2020·湖州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1，2，3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D.f′(x)＝

4、x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個極值點，則有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由題意知所有的基本事件有9個，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．滿足a2＞b2的有6個基本事件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事件的概率為＝. 6．一個三位自然數(shù)百位，十位，個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當且僅當a＞b，b＜c時稱為“凹數(shù)”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，則這個

5、三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C.由1，2，3組成的三位自然數(shù)為123，132，213，231，312，321，共6個； 同理由1，2，4組成的三位自然數(shù)共6個； 由1，3，4組成的三位自然數(shù)也是6個； 由2，3，4組成的三位自然數(shù)也是6個． 所以共有6＋6＋6＋6＝24個． 當b＝1時，有214，213，314，412，312，413，共6個“凹數(shù)”． 當b＝2時，有324，423，共2個“凹數(shù)”． 所以這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P＝＝. 7．(2020·杭州學軍中學高三質(zhì)檢)甲、乙兩個箱子里各裝有2個紅球和1個白球，現(xiàn)從兩個

6、箱子中隨機各取一個球，則至少有一個紅球的概率為________． 解析：兩個箱子各取一個球全是白球的概率P＝＝，所以至少有一個紅球的概率為1－P＝1－＝. 答案： 8．在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎．甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是________． 解析：記“兩人都中獎”為事件A，設中一、二等獎及不中獎分別記為1，2，0，那么甲、乙抽獎結果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6種．其中甲、乙都中獎有(1，2)，(2，1)，2種，所以P(A)＝＝. 答案： 9．從20名男生、10名女生中任選3名參加體能測試，則選到的3名學

7、生中既有男生又有女生的概率為________． 解析：選到的學生中有男生1名、女生2名的選法有CC 種，選到的學生中有男生2名、女生1名的選法有CC 種，則選到的3名學生中既有男生又有女生的概率為P＝＝. 答案： 10．有100本書，既分為文科、理科2類，又分為精裝、平裝2種，其中文科書40本，精裝書70本，理科的平裝書20本，則： (1)任取1本恰是文科精裝書的概率是________； (2)先任取1本恰是文科書，放回后再取1本恰是精裝書的概率是________． 解析：(1)基本事件總數(shù)為100，其中文科書40本，理科書60本；精裝書70本，理科的平裝書20本，精裝書40本；文

8、科的精裝書30本，文科的平裝書10本． 則任取1本恰是文科精裝書的概率為＝0.3. (2)基本事件總數(shù)為100×100，則所求概率P＝＝×＝0.28. 答案：(1)0.3　(2)0.28 11．某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游． (1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率； (2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率． 解：(1)由題意知，從6個國家中任選2個國家，其一切可能的結果組成的基本事件有： {A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B

9、1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15個． 所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3個． 則所求事件的概率為P＝＝. (2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，其一切可能的結果組成的基本事件有： {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9個． 包括A1但不包括B1的事件所包

10、含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個， 則所求事件的概率為P＝. 12．在100件產(chǎn)品中，有95件合格品、5件次品，從中任取2件，求： (1)2件都是合格品的概率； (2)2件都是次品的概率； (3)1件是合格品、1件是次品的概率． 解：從100件產(chǎn)品中任取2件可能出現(xiàn)的結果數(shù)就是從100個元素中任取2個元素的組合數(shù)C，由于任意抽取，這些結果出現(xiàn)的可能性相等，則C＝4 950為基本事件總數(shù)． (1)100件產(chǎn)品中有95件合格品，取到2件合格品的結果數(shù)就是從95個元素中任取2個的組合數(shù)C，記“任取2件都是合格品”為事件A1，那么P(A1)＝＝. (2)由于在10

11、0件產(chǎn)品中有5件次品，取到2件次品的結果數(shù)為C，記“任取2件都是次品”為事件A2，那么事件A2的概率P(A2)＝＝. (3)記“任取2件，1件是次品，1件是合格品”為事件A3，而取到1件合格品、1件次品的結果有C·C種，則事件A3的概率P(A3)＝＝. [綜合題組練] 1．從1到10這十個自然數(shù)中隨機取三個數(shù)，則其中一個數(shù)是另兩個數(shù)之和的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選A.不妨設取出的三個數(shù)為x，y，z(x

12、，2，4，5，8，9}，則f(3a＋2)>f(2a)>0的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.因為a∈{，，2，4，5，8，9}， 所以3a＋2>2a， 又f(3a＋2)>f(2a)>0，所以函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)． 因為f(x)＝logax－3loga2＝loga， 所以a>1， 又f(2a)>0，所以loga>0， 所以>1，即a>4，則f(3a＋2)>f(2a)>0的概率P＝.故選B. 3．某同學同時擲兩顆骰子，得到的點數(shù)分別為a，b，則雙曲線－＝1的離心率e>的概率是________． 解析：由e＝>，得b>2a. 當a＝1時，b＝3

13、，4，5，6四種情況； 當a＝2時，b＝5，6兩種情況，總共有6種情況． 又同時擲兩顆骰子，得到的點數(shù)(a，b)共有36種結果． 所以所求事件的概率P＝＝. 答案： 4．連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，記第i次得到的向上一面的點數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，則稱k為幸運數(shù)字，則幸運數(shù)字為3的概率是________． 解析：連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子3次，所含基本事件總數(shù)n＝6×6×6， 要使a1＋a2＋a3＝6，則a1，a2，a3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三種情況， 其所含的基本事件個數(shù)m＝A＋C＋1＝10. 故幸運數(shù)字為3的概率為P＝＝. 答案

14、： 5．已知8支球隊中有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為A，B兩組，每組4支，求： (1)A，B兩組中有一組恰好有2支弱隊的概率； (2)A組中至少有2支弱隊的概率． 解：(1)法一：3支弱隊在同一組中的概率為×2＝， 故有一組恰好有2支弱隊的概率為1－＝. 法二：A組恰有2支弱隊的概率為，B組恰好有2支弱隊的概率為， 所以有一組恰好有2支弱隊的概率為＋＝. (2)法一：A組中至少有2支弱隊的概率為＋＝. 法二：A，B兩組有一組中至少有2支弱隊的概率為1(因為此事件為必然事件)．由于對A組和B組而言，至少有2支弱隊的概率是相同的，所以A組中至少有2支弱隊的概率為. 6．

15、在某大型活動中，甲、乙等五名志愿者被隨機地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者． (1)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率； (2)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率； (3)求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務的概率． 解：(1)記“甲、乙兩人同時參加A崗位服務”為事件EA，那么P(EA)＝＝，即甲、乙兩人同時參加A崗位服務的概率是. (2)記“甲、乙兩人同時參加同一崗位服務”為事件E，那么P(E)＝＝，所以甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是P()＝1－P(E)＝. (3)有兩人同時參加A崗位服務的概率P2＝＝，所以僅有一人參加A崗位服務的概率P1＝1－P2＝. 7