2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十二單元 第61講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理 新人教A版

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1、第61講　數(shù)學(xué)歸納法 1.若f(n)=1+12+13+…+16n-1(n∈N*),則f(1)的值為 (　　) A.1 B.15 C.1+12+13+14+15 D.以上答案都不正確 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除”,在第二步時(shí),正確的證法是 (　　) A.假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題成立 B.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù))時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題成立 C.假設(shè)n=2k+1(k∈N*)時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題成立 D.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù))時(shí)命題成立,證明n=k+2時(shí)命題成立 3.[20

2、18·仙桃期末] 已知n為正整數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)=1+3+5+…+(2n-1)=n2時(shí),假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)命題為真,即f(k)=k2成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),需要用到的f(k+1)與f(k)之間的關(guān)系式是 (　　) A.f(k+1)=f(k)+2k-3 B.f(k+1)=f(k)+2k-1 C.f(k+1)=f(k)+2k+1 D.f(k+1)=f(k)+2k+3 4.對(duì)任意n∈N*,34n+2+a2n+1都能被14整除,則最小的自然數(shù)a=　　　　.? 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+12+13+…+12n-11,n∈N*)”,由n=k(k>1,k∈N*)時(shí)不等式

3、成立,推證n=k+1時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是　　　　.? 6.[2018·商丘期末] 某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān),若當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)該命題成立,那么推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題成立.現(xiàn)已知當(dāng)n=8時(shí),該命題不成立,那么可推得 (　　) A.當(dāng)n=7時(shí),該命題成立 B.當(dāng)n=7時(shí),該命題不成立 C.當(dāng)n=9時(shí),該命題成立 D.當(dāng)n=9時(shí),該命題不成立 7.[2018·嘉峪關(guān)期中] 用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n-2n(n∈N*)能被3整除”的第二步中,n=k+1時(shí),為了使用假設(shè),應(yīng)將5k+1-2k+1變形為 (　　) A.5(5k-2k)+3×2k B.(5k-2k)+4×5k-2k

4、C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-3×5k 8.對(duì)于不等式n2+n

5、-1=3n(na-b)+c對(duì)一切n∈N*都成立,則a,b,c的值為 (　　) A.a=12,b=c=14 B.a=b=c=14 C.a=0,b=c=14 D.不存在這樣的a,b,c 10.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1)”時(shí),由n=k(k>1,k∈N)等式成立,推證n=k+1時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)為　　　　　　.? 11.[2018·紹興期末] 用數(shù)學(xué)歸納法證明(1+a)n>1+na,其中a>-1,a≠0,n是大于1的自然數(shù). 12.[2017·淄博質(zhì)檢] 設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足當(dāng)f(k)≥k+1

6、,k∈N*成立時(shí),總能推出f(k+1)≥k+2成立,那么下列說法正確的是 (　　) A.若f(1)<2成立,則f(10)<11成立 B.若f(3)≥4成立,則當(dāng)k≥1時(shí),均有f(k)≥k+1成立 C.若f(2)<3成立,則f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立,則當(dāng)k≥4時(shí),均有f(k)≥k+1成立 13.平面內(nèi)有n條直線,最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域,則f(n)的表達(dá)式為　　　　.? 4 課時(shí)作業(yè)(六十一) 1.C　[解析] 等式右邊的分母是從1開始的連續(xù)的自然數(shù),且分母最大為6n-1,則當(dāng)n=1時(shí),分母最大為5,故選C. 2.D　[解析]A,B,C中,

7、n=k+1不一定表示正奇數(shù),只有D中k為正奇數(shù),k+2為正奇數(shù).故選D. 3.C　[解析] 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+2n-1=n2時(shí),假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),命題成立,即f(k)=1+3+5+…+(2k-1)=k2,則當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1),需要用到的f(k+1)與f(k)之間的關(guān)系式是f(k+1)=f(k)+2k+1. 4.5　[解析] 當(dāng)n=1時(shí),36+a3能被14整除,則a=3或5.當(dāng)a=3且n=2時(shí),310+35不能被14整除,故a≠3.檢驗(yàn)可知a=5滿足題意. 5.2k　[解析] 由n=k(k>1,k∈N*)到n=

8、k+1時(shí),不等式左邊增加的項(xiàng)為12k+12k+1+…+12k+1-1,共增加了(2k+1-1)-(2k-1)=2k項(xiàng). 6.B　[解析] 由題意可知,原命題對(duì)n=8不成立,則原命題對(duì)n=7也不成立,否則,n=7時(shí)命題成立,由已知推得n=8時(shí)命題也成立,與當(dāng)n=8時(shí)該命題不成立矛盾. 7.A　[解析] 假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,即5k-2k能被3整除.當(dāng)n=k+1時(shí),5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k. 8.D　[解析]n=1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確,但從n=k到n=k+1的推理中沒有使用歸納假設(shè),而通過不等式的放

9、縮法直接證明,不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求.故選D. 9.A　[解析]∵等式對(duì)一切n∈N*均成立,∴當(dāng)n=1,2,3時(shí)等式成立,即1=3(a-b)+c,1+2×3=32(2a-b)+c,1+2×3+3×32=33(3a-b)+c,整理得3a-3b+c=1,18a-9b+c=7,81a-27b+c=34,解得a=12,b=c=14.故選A. 10.(2k+2)+(2k+3)　[解析] 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),當(dāng)n=1時(shí),左邊是1+2+3;假設(shè)n=k時(shí),等式成立,左邊為1+2+3+…+(2k+1),則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊為1+2+3+…+(2k

10、+1)+(2k+2)+[2(k+1)+1],∴從n=k到n=k+1時(shí),左邊需增加的項(xiàng)是(2k+2)+(2k+3). 11.證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),(1+a)2=1+2a+a2>1+2a,不等式成立. (2)假設(shè)n=k(k≥2,k∈N)時(shí),不等式成立,即(1+a)k>1+ka, 則當(dāng)n=k+1時(shí),(1+a)k+1=(1+a)k(1+a)>(1+ka)(1+a)=1+a(k+1)+ka2>1+(k+1)a, 即n=k+1時(shí),不等式也成立. 根據(jù)(1)和(2)可知,(1+a)n>1+na成立. 12.D　[解析] 當(dāng)f(k)≥k+1成立時(shí),總能推出f(k+1)≥k+2成立,說明如果當(dāng)k=n,n∈N*時(shí),f(n)≥n+1成立,那么當(dāng)k=n+1時(shí),f(n+1)≥n+2也成立,所以如果當(dāng)k=4時(shí),f(4)≥5成立,那么當(dāng)k≥4時(shí),f(k)≥k+1也成立.故選D. 13.n2+n+22　[解析]1條直線將平面分成1+1=2(個(gè))區(qū)域;2條直線最多可將平面分成1+(1+2)=4(個(gè))區(qū)域;3條直線最多可將平面分成1+(1+2+3)=7(個(gè))區(qū)域……n條直線最多可將平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+n(n+1)2=n2+n+22(個(gè))區(qū)域.