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1、考點06二次函數(shù)與冪函數(shù)（1）了解冪函數(shù)的概念.（2）結合函數(shù)的圖象，了解它們的變化情況.一、二次函數(shù)1二次函數(shù)的概念形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).2表示形式(1)一般式：f(x)=ax2bxc(a0).(2)頂點式：f(x)=a(xh)2k(a0)，其中(h，k)為拋物線的頂點坐標.(3)兩根式：f(x)=a(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是拋物線與x軸交點的橫坐標.3二次函數(shù)的圖象與性質函數(shù)解析式圖象(拋物線)定義域R值域對稱性函數(shù)圖象關于直線對稱頂點坐標奇偶性當b=0時是偶函數(shù)，當b0時是非奇非偶函數(shù)單調性在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù).在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù).最值當時，當時，4常
2、用結論(1)函數(shù)f(x)=ax2bxc(a0)的圖象與x軸交點的橫坐標是方程ax2bxc=0的實根.(2)若x1，x2為f(x)=0的實根，則f(x)在x軸上截得的線段長應為|x1x2|=.(3)當且()時，恒有f(x)0()；當且()時，恒有f(x)0時，圖象過原點，在第一象限的圖象上升；當101cbBabcCcabDbca【答案】A【解析】因為在上是增函數(shù)，所以又因為在上是減函數(shù)，所以.綜上，acb.故選A.【名師點睛】同底數(shù)的兩個數(shù)比較大小，考慮用指數(shù)函數(shù)的單調性；同指數(shù)的兩個數(shù)比較大小，考慮用冪函數(shù)的單調性，有時需要取中間量.3已知，則下列結論成立的是ABCD考向三二次函數(shù)的圖象及性質
3、的應用高考對二次函數(shù)圖象與性質進行單獨考查的頻率較低，常與一元二次方程、一元二次不等式等知識交匯命題，考查二次函數(shù)圖象與性質的應用，以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，有時也出現(xiàn)在解答題中，解題時要準確運用二次函數(shù)的圖象與性質，掌握數(shù)形結合的思想方法.常見類型及解題策略：1圖象識別問題辨析二次函數(shù)的圖象應從開口方向、對稱軸、頂點坐標以及圖象與坐標軸的交點等方面著手討論或逐項排除2二次函數(shù)最值問題的類型及處理思路(1)類型：a.對稱軸、區(qū)間都是給定的；b.對稱軸動、區(qū)間固定；c.對稱軸定、區(qū)間變動(2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數(shù)形結合，三點是指區(qū)間的兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方
4、法，根據(jù)函數(shù)的單調性及分類討論的思想即可完成3解決一元二次方程根的分布問題的方法常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結合來解，一般從：a.開口方向；b.對稱軸位置；c.判別式；d.端點函數(shù)值符號四個方面分析4求解與二次函數(shù)有關的不等式恒成立問題往往先對已知條件進行化簡，轉化為下面兩種情況：(1)ax2bxc0，a0恒成立的充要條件是.(2)ax2bxcA在區(qū)間D上恒成立，此時就等價于在區(qū)間D上f(x)minA，接下來求出函數(shù)f(x)的最小值；若不等式f(x)B在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上f(x)max0且a1)的圖象恒過定點P，若定點P在冪函數(shù)g(x)的圖象上，則冪函數(shù)g(x)的圖象是ABCD6
5、已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的大小關系為ABCD7已知函數(shù)，則A，使得BC，使得D，使得8已知：冪函數(shù)在上單調遞增；，則是的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件9已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是AB0 CD10已知函數(shù)的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是ABCD11已知點在冪函數(shù)的圖象上，設，則的大小關系為ABCD12已知函數(shù)（其中，且）在區(qū)間上單調遞增，則函數(shù)的定義域為ABCD13已知函數(shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，函數(shù)是上的奇函數(shù)，函數(shù)，則A0 B2018 C4036 D403714已知冪函數(shù)（是實數(shù)）的圖象經(jīng)過點，則f（4）的值為_15已知x+x-=25
6、，x1，0，則x-x-=_16若冪函數(shù)f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+)上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值為_17已知函數(shù)y=x2-2x+a的定義域為R，值域為0,+)，則實數(shù)a的取值集合為_.18已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值是_19已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是_20已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1,且f(x)=f(2-x),f(0)=3（1）求f(x)的解析式；（2）在區(qū)間-1,1上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實數(shù)m的取值范圍21已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)2xm2-4m+3(mR)在(0,+)上單調遞增（1）求m的值及f(x)的解析式；（2）若函數(shù)g(x
7、)=-3f(x)2+2ax+1-a在0,2上的最大值為3，求實數(shù)a的值22已知fx=-4x2+4ax-4a-a2（1）當a=1，x1,3時，求函數(shù)fx的值域；（2）若函數(shù)fx在區(qū)間0,1內(nèi)有最大值-5，求a的值23已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，都有，求實數(shù)的取值范圍.1（2017年高考浙江卷）若函數(shù)f(x)=x2+ ax+b在區(qū)間0，1上的最大值是M，最小值是m，則M mA與a有關，且與b有關B與a有關，但與b無關C與a無關，且與b無關D與a無關，但與b有關2（2017年高考山東卷理科）已知當時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)的取
8、值范圍是ABCD3（2016年高考新課標III卷理科）已知，則ABCD4（2019年高考浙江卷）已知，函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的最大值是_.變式拓展1【答案】-5,4【解析】由題意知，故，由于fx=x23=3x2為R上的偶函數(shù)且在0,+上單調遞增，f6x+39即為f6x+3f27，所以6x+327，解得-5x4.2【答案】A【解析】函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是冪函數(shù)，m2-m-1=1，解得：m=2或m=-1，當m=2時，其圖象與兩坐標軸有交點，不符合題意；當m=-1時，其圖象與兩坐標軸都沒有交點，符合題意，故m=-1.故選A3【答案】A【解析】，即，故.選A【名師點睛】本
9、題主要考查了比較大小問題，其中解答中熟練運用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.求解時，根據(jù)冪函數(shù)在上為單調遞增函數(shù)，得出，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質得，即可得到結論.4【答案】D【解析】因為函數(shù)fx=4x2-kx-8在5,20上具有單調性，所以或，解得k160或k40.故實數(shù)k的取值范圍為-，40160，+.選D5【答案】C【解析】函數(shù)f（x）x22x+1（x1）2，函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為x1，在區(qū)間a，a+2上的最小值為4，當1a時，函數(shù)的最小值為f（a）（a1）24，則a1（舍去）或a3；當a+21，即a1時，函數(shù)的最小值為f（a+2）（a+1）24，則a1
10、（舍去）或a3；當a1a+2，即-1a1,0，所以根據(jù)冪函數(shù)的單調性，可得xx-，即x-x-2x+2m+1在-1,1上恒成立，化簡得mx2-3x+1,設g(x)=x2-3x+1,則g(x)在區(qū)間-1,1上單調遞減，則g(x)在區(qū)間-1,1上的最小值為g(1)=-1,則有m-1,故m的取值范圍為(-,-1)21【答案】（1）f(x)=x3；（2）a=2.【解析】（1）冪函數(shù)fx=(m-1)2xm2-4m+3mR在0,+上單調遞增，故，解得：m=0，故fx=x3.（2）由于fx=x3，所以函數(shù)gx=-3f(x)2+2ax+1-a=-x2+2ax+1-a，則函數(shù)圖象為開口方向向下的拋物線，對稱軸為x
11、=a，由于在0,2上的最大值為3，當a2時，gx在0,2上單調遞增，故：g(x)max=g2=3a-3=3，解得a=2當a0時，gx在0,2上單調遞減，故：g(x)max=g0=1-a=3，解得：a=-2當0a2時，gx在0,a上單調遞增，在a,2上單調遞減，故：g(x)max=ga=a2+1-a=3，解得：a=-1(舍去)，或a=2（舍去)，綜上所述：a=222【答案】（1）-29,-5；（2）a=-54或a=-5.【解析】（1）當a=1時，fx=-4x2+4x-5，其圖象的對稱軸為x=12，開口向下，x1,3時，函數(shù)fx單調遞減，當x=1時，函數(shù)有最大值f1=-5，當x=3時，函數(shù)有最小值
12、f3=-29，故函數(shù)fx的值域為-29,-5；（2）fx=-4x2+4ax-4a-a2的圖象開口向下，對稱軸為x=12a，當12a1，即a2時，fx在0,1上單調遞增，函數(shù)的最大值為f1=-4-a2令-4-a2=-5，得a2=1，a=12（舍去）當012a1，即0a0)在區(qū)間A上單調遞減(單調遞增)，則A（A），即區(qū)間A一定在函數(shù)對稱軸的左側(右側)直通高考1【答案】B【解析】因為最值在中取，所以最值之差一定與無關.故選B【名師點睛】對于二次函數(shù)的最值或值域問題，通常先判斷函數(shù)圖象對稱軸與所給自變量閉區(qū)間的關系，結合圖象，當函數(shù)圖象開口向上時，若對稱軸在區(qū)間的左邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調遞增；
13、若對稱軸在區(qū)間的右邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調遞減；若對稱軸在區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)圖象頂點的縱坐標為最小值，區(qū)間端點距離對稱軸較遠的一端取得函數(shù)的最大值2【答案】B【解析】當時，在時單調遞減，且，在時單調遞增，且，此時有且僅有一個交點；當時，在上單調遞增，所以要有且僅有一個交點，需.故選B.【名師點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)的取值范圍常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；（2）分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域的問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解3【答案】A 【解析】因為，所以.故選A【技巧點撥】比較指數(shù)的大小常常根據(jù)三個數(shù)的結構聯(lián)系相關的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性來判斷，如果兩個數(shù)指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)的單調性；如果指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)的單調性；如果涉及對數(shù)，則聯(lián)系對數(shù)的單調性來解決4【答案】【解析】存在，使得，即有，化為，可得，即，由，可得.則實數(shù)的最大值是.【名師點睛】本題考查函數(shù)的解析式及二次函數(shù)，結合函數(shù)的解析式可得，去絕對值化簡，結合二次函數(shù)的最值及不等式的性質可求解.25
備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學 考點一遍過 考點06 二次函數(shù)與冪函數(shù) 理（含解析）
