廣西2020版高考數學一輪復習 考點規(guī)范練55 幾何概型 文

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1、考點規(guī)范練55　幾何概型 一、基礎鞏固 1.若在區(qū)間[-1,4]內取一個數x,則2x-2x2≥4的概率是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.12 B.13 C.25 D.35 答案D 解析因為2x-2x2≥4, 所以x2-x-2≤0,即-1≤x≤2, 所以所求概率為2-(-1)4-(-1)=35. 2. 若將一個質點隨機地投入到如圖所示的長方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,則質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是(　　) A.π2 B.π4 C.π6 D.π8 答案B 解析所求概率為S半圓S長方形=12π·122×1=π4,故選B. 3.

2、 (2018湖南衡陽二模)“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊.問水深、葭長各幾何?”其意思是:有一個正方形的池塘,池塘的邊長為一丈,有一棵蘆葦生長在池塘的正中央,露出水面一尺,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊(如圖所示),問水有多深?蘆葦有多長?其中一丈為十尺.若從該蘆葦上隨機取一點,則該點取自水上的概率為(　　) A.1213 B.113 C.314 D.213 答案B 解析設水深為x尺,根據勾股定理可得(x+1)2=x2+52,解得x=12,則水深12尺,蘆葦長13尺. 根據幾何概型概率公式可得,從該蘆葦上隨機取一點,該點取自水上的概率為P=113,故選B.

3、 4.某人從甲地去乙地共走了500 m,途經一條寬為x m的河流,該人不小心把一件物品丟在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,則能找到,已知該物品能被找到的概率為45,則河寬大約為(　　) A.80 m B.50 m C.40 m D.100 m 答案D 解析由長度型的幾何概型公式結合題意可知,河寬大約為500×1-45=100(m). 5.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一點D,則使△ABD為鈍角三角形的概率為(　　) A.16 B.13 C.12 D.23 答案C 解析如圖,當BE=1時,∠AEB為直角,則點D在線段BE(不包含

4、B,E點)上時,△ABD為鈍角三角形;當BF=4時,∠BAF為直角,則點D在線段CF(不包含C,F點)上時,△ABD為鈍角三角形.故△ABD為鈍角三角形的概率為1+26=12. 6.有一個長、寬分別為50 m,30 m的游泳池,一名工作人員在池邊巡視,某時刻出現在池邊任一位置的可能性相同.一人在池中心(對角線的交點)處呼喚工作人員,其聲音可傳出152 m,則工作人員能及時聽到呼喚(出現在聲音可傳到區(qū)域)的概率是(　　) A.34 B.38 C.3π16 D.12+3π32 答案B 解析如圖,工作人員在池邊巡視的長度為160,工作人員能及時聽到呼喚的長度為30+30=60,故所求的概

5、率為60160=38. 7.若在區(qū)間[-1,1]上隨機取一個數x,則sinπx4的值介于-12與22之間的概率為(　　) A.14 B.13 C.23 D.56 答案D 解析∵-1≤x≤1,∴-π4≤πx4≤π4. 由-12≤sinπx4≤22, 得-π6≤πx4≤π4, 則-23≤x≤1. 故所求事件的概率為1--231-(-1)=56. 8.記函數f(x)=6+x-x2的定義域為D.在區(qū)間[-4,5]上隨機取一個數x,則x∈D的概率是　　　　　.? 答案59 解析由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]?[-4,5].由幾何概型的

6、概率公式得x∈D的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案為59. 9.記集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面區(qū)域分別為Ω1和Ω2,若在區(qū)域Ω1內任取一點M(x,y),則點M落在區(qū)域Ω2的概率為　　　　　.? 答案12π 解析作圓O:x2+y2=4,區(qū)域Ω1就是圓O內部(含邊界),其面積為4π,區(qū)域Ω2就是圖中△AOB內部(含邊界),其面積為2, 因此所求概率為24π=12π. 10.(2018江西教學質量監(jiān)測)在圓C:(x-3)2+y2=3上任取一點P,則銳角∠COP<π6(O為坐標原點)的概率是　　　　　

7、.? 答案23 解析當∠COP=π6時,直線OP的方程為x±3y=0,圓心C到直線OP的距離d=32. 又圓C的半徑為3,此時弦所對的圓心角為π3, 所以所求概率P=1-π3×22π=23. 二、能力提升 11.在區(qū)間[-1,1]上隨機取一個數k,使直線y=kx+52與圓x2+y2=1不相交的概率為(　　) A.34 B.23 C.12 D.13 答案C 解析要使直線y=kx+52與圓x2+y2=1相交,應滿足52k2+1≥1,解得-12≤k≤12,所以在區(qū)間[-1,1]上隨機取一個數k,使直線y=kx+52與圓x2+y2=1不相交的概率為P=12+121+1=12. 故選

8、C. 12. (2018山西太原二模)如圖,“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形(陰影部分)圍成一個大正方形,中間空出一個小正方形組成的圖形.若在大正方形內隨機取一點,該點落在小正方形的概率為15,則圖中直角三角形較大銳角的正弦值為(　　) A.55 B.255 C.15 D.33 答案B 解析設小正方形的邊長為1,直角三角形的直角邊長分別為x,1+x,x2+(1+x)2. 由幾何概型可得12x2+(1+x)2=15, 解得x=1(x=-2(舍)), 所以直角三角形的邊長分別為1,2,5,直角三角形較大銳角的正弦值為25=255,故選B. 13.已知函數f(x)=x2+b

9、x+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4.記函數f(x)滿足條件f(2)≤12,f(-2)≤4為事件A,則事件A發(fā)生的概率為(　　) A.14 B.58 C.12 D.38 答案C 解析由題意,得4+2b+c≤12,4-2b+c≤4,0≤b≤4,0≤c≤4, 即2b+c-8≤0,2b-c≥0,0≤b≤4,0≤c≤4, 表示的區(qū)域如圖陰影部分所示,可知陰影部分的面積為8, 所以所求概率為12,故選C. 14.設點(a,b)是區(qū)域x+y-4≤0,x>0,y>0內的任意一點,則使函數f(x)=ax2-2bx+3在區(qū)間12,+∞內是增函數的概率為　　　　　.? 答案13 解析作出不等式

10、組x+y-4≤0,x>0,y>0所對應的平面區(qū)域如圖△AOB區(qū)域, 可知符合條件的點所構成的區(qū)域面積為 S△AOB=12×4×4=8. 若f(x)=ax2-2bx+3在區(qū)間12,+∞內是增函數, 則a>0,--2b2a=ba≤12, 即a>0,a-2b≥0.則A(0,4),B(4,0), 由a+b-4=0,a-2b=0 得a=83,b=43. 即C83,43. 則使函數f(x)=ax2-2bx+3在區(qū)間12,+∞內為增函數的點(a,b)所構成的區(qū)域為△OBC,其面積為12×4×43=83. 故所求的概率為838=13. 15.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,

11、AB=1,BC=2.在邊BC上任取一點M,則∠AMB≥90°的概率為　　　　　.? 答案14 解析如圖,在Rt△ABC中,作AD⊥BC,D為垂足,由題意可得BD=12,且點M在BD上時, 滿足∠AMB≥90°, 故所求概率為BDBC=122=14. 16.張先生訂了一份報紙,送報人在早上6:30~7:30之間把報紙送到他家,張先生離開家去上班的時間在早上7:00~8:00之間,則張先生在離開家之前能得到報紙的概率是　　　　　.? 答案78 解析以橫坐標x表示報紙送到時間,縱坐標y表示張先生離家時間,建立如圖所示的平面直角坐標系. 因為隨機試驗落在正方形區(qū)域內任何一點是等可能的,所以符合幾何概型. 根據題意只要點落到陰影部分,就表示張先生在離開家前能得到報紙,故所求的概率為1×1-12×12×121×1=78. 三、高考預測 17.若不等式x2+y2≤2所表示的平面區(qū)域為M,不等式組x-y≥0,x+y≥0,y≥2x-6表示的平面區(qū)域為N,現隨機向區(qū)域N內拋一粒豆子,則豆子落在區(qū)域M內的概率為　　　　　.? 答案π24 解析分別作出平面區(qū)域M和平面區(qū)域N如圖所示, 可知平面區(qū)域M與平面區(qū)域N重疊部分的面積為14π(2)2=π2,平面區(qū)域N的面積為12×3×2+12×3×6=12, 故所求的概率為12π12=π24. 8