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1、培優(yōu)點(diǎn)四 恒成立問題
一、不等式恒成立問題
例1：已知，不等式恒成立，則的取值范圍為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把原不等式的左端看成關(guān)于的一次函數(shù)，記，
則對(duì)于任意的恒成立，易知只需①，
且②即可，聯(lián)立①②解得或．故選C．
例2：不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由絕對(duì)值的幾何意義易知的最小值為，
所以不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，
只需，解得．故選A．
例3：已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
∴，∴．
2、二、函數(shù)恒成立問題
例4：當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，即．故選B．
例5：已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先畫出的圖像，的圖像為過的一組直線，
若恒成立，只需始終在的下方，
即直線夾在與相切的直線，和之間，
所以轉(zhuǎn)化為求切線斜率，，
聯(lián)立，得①，
令，即，解得或，
將代入①，得成立；
將代入①，得，不滿足，所以舍去，
故．
三、分離參數(shù)解恒成立問題
例6：對(duì)任意實(shí)數(shù)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．
3、 B． C． D．
【答案】A
【解析】∵對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，∴恒成立，
令，則原不等式等價(jià)于，即，
由基本不等式可得，故．
例7：關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，
令，則問題等價(jià)于，則，
所以，即在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，所以．
對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)
一、選擇題
1．已知函數(shù)，且對(duì)定義域內(nèi)的任意的恒成立，則的
取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，原命題等價(jià)于在時(shí)恒成立，
由雙勾函數(shù)單調(diào)性可得．
當(dāng)時(shí)，原命題等價(jià)于，
左邊設(shè)為，右邊設(shè)為，由數(shù)形結(jié)合易得．
綜上兩種情況可得
4、，故答案B．
2．已知函數(shù)，對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值
范圍為（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，故為奇函?shù)，
又，而為增函數(shù)，故也為增函數(shù)，
故對(duì)任意，不等式恒成立，
可化為，對(duì)任意，不等式恒成立，
即，解得．
3．設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且對(duì)任意，都有恒成立，如果實(shí)數(shù)滿足不等，那么的取值范圍是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵對(duì)于任意的都有恒成立，∴，
∵，
∴，
∵是定義在上的增函數(shù)，∴，
∴，
∵的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
∴內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍為，即，
∵表示內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，
∴的取值
5、范圍是．故選A．
二、填空題
4．若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【解析】令，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，
∴．
∵恒成立，即恒成立，
∴，即．
三、簡(jiǎn)答題
5．已知，，且．
（1）若恒成立，求的取值范圍；
（2）若恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，，∴，即，
所以的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
∴恒成立等價(jià)于，解得．
（2）∵，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等，
∴恒成立等價(jià)于．
①當(dāng)時(shí)，，解得；
②當(dāng)時(shí)，，解得；
③當(dāng)時(shí)，，解得，
綜上可得．
6
6、．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有成立，且，當(dāng)時(shí)，恒成立．
（1）求，的值；
（2）若不等式對(duì)于恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）令，得，∴，
令，得，∴是奇函數(shù)，
∵，∴．
（2）設(shè)，則，∴，即，∴是減函數(shù)，
∵，即，
∴，即恒成立，
∴，解得．
7．已知函數(shù)．
（1）試求函數(shù)的最大值；
（2）若存在，使成立，試求的取值范圍；
（3）當(dāng)，且時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【解析】（1）∵，，
令，即有在單調(diào)遞增，
∴時(shí)，．
（2）令，則存在使得，
所以存在使得，或，
即
7、存在使得或，∴或．
（3）由得恒成立，
因?yàn)?，且，所以問題即為恒成立，∴．
設(shè)，令，則，，
∴，
所以當(dāng)時(shí)，，∴．
8．已知函數(shù)，且在處取得極值．
（1）求的值；
（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；
（3）對(duì)任意的，是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，
請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）或；（3）見解析．
【解析】（1），
∵在處取得極值，∴，∴經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．
（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，有極大值，
又，，
∴時(shí)，最大值為，
∴，故或．
（3）對(duì)任意的，恒成立，
由（2）可知，當(dāng)時(shí)，有極小值，
又，∴時(shí)，最小值為，
∴，故結(jié)論成立．
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2020屆高考數(shù)學(xué) 專題四 恒成立問題精準(zhǔn)培優(yōu)專練 文
