（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體和空間向量 第58講 空間向量運(yùn)算及其應(yīng)用練習(xí) 理（含解析）新人教A版

《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體和空間向量 第58講 空間向量運(yùn)算及其應(yīng)用練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體和空間向量 第58講 空間向量運(yùn)算及其應(yīng)用練習(xí) 理（含解析）新人教A版（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第58講　空間向量運(yùn)算及其應(yīng)用 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p132】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式． 2．理解空間向量的概念，理解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示． 3．掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示． 4．掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直． 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a與b為共線向量，則(　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－D．x＝－，y＝ 【解析】∵a＝(2x，1，3)與b

2、＝(1，－2y，9)共線， 故有＝＝. ∴x＝，y＝－. 【答案】C 2．已知向量a＝(1，0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是(　　) A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1) 【解析】不妨設(shè)向量為b＝(x，y，z)， A．若b＝(－1，1，0)，則cos θ＝＝＝－≠，不滿足條件． B．若b＝(1，－1，0)，則cos θ＝＝＝，滿足條件． C．若b＝(0，－1，1)，則cos θ＝＝＝－≠，不滿足條件． D．若b＝(－1，0，1)，則cos θ＝＝＝－1≠，不滿足條件． 【答案】B 3．如圖，在正方體AB

3、CD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是面對(duì)角線A1B與B1D1的中點(diǎn)，若＝a，＝b，＝c，則＝(　　) A.(c＋b－a) B.(a＋b－c) C.(a－c) D.(c－a) 【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算 ＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝(－b＋c)＋(b－a)＝(c－a)． 【答案】D 4．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外任一點(diǎn)，若由＝＋＋λ確定的一點(diǎn)P與三點(diǎn)A，B，C共面，則λ＝________． 【解析】由題意A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O是平面ABC外一點(diǎn)， 若由向量＝＋＋λ確定的點(diǎn)P與A，B，C共面，則＋＋λ＝1，解得λ＝. 【答案】 5．△ABC的三個(gè)頂

4、點(diǎn)分別是A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，則AC邊上的高BD長(zhǎng)為_(kāi)_________． 【解析】設(shè)＝λ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則＝＋λ＝(1，－1，2)＋λ(0，4，－3)＝(1，－1＋4λ，2－3λ)， 所以＝－＝(－4，5＋4λ，－3λ)，因?yàn)椤停? 所以·＝0＋4(5＋4λ)＋9λ＝0，解得λ＝－， 所以＝， 所以||＝＝5. 【答案】5 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．空間向量的有關(guān)概念 (1)在空間中，我們把具有__大小__和__方向__的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的__模或長(zhǎng)度__，用__|a|__表示，長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記為_(kāi)_0__；模為_(kāi)_

5、1__的向量叫做單位向量． (2)長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做__相等向量__，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來(lái)的向量__相等__． 2．空間向量的加、減法法則和運(yùn)算律 (1)向量加法運(yùn)算法則是__平行四邊形__法則或__三角形__法則，即①加法法則：＝＋；②減法法則：＝－. (2)運(yùn)算法則：①加法交換律：a＋b＝__b＋a__；②加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__． (3)線段AB的中點(diǎn)公式：設(shè)O是空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則＝__(＋)__． 3．向量的數(shù)乘運(yùn)算 (1)實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍是一個(gè)向量，稱(chēng)為向量的__數(shù)乘運(yùn)算__，向量λ

6、a的長(zhǎng)度為_(kāi)_|λa|__，當(dāng)λ＞0時(shí)與a同向，當(dāng)λ＜0時(shí)與a反向． (2)運(yùn)算法則：①數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝__λa＋λb__；②數(shù)乘結(jié)合律：λ(μa)＝__(λμ)a__． 4．平行向量(共線向量) (1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相__平行或重合__，則這些向量叫做共線向量或平行向量．a(chǎn)平行于b記作a∥b. (2)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a(a≠0)，b，a∥b的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ使得b＝__λa__． 5．向量與平面平行 (1)如果表示向量a的有向線段所在直線與平面α__平行__或a在α平面__內(nèi)__，我們就說(shuō)向量a平行于平面α，記作a∥α.

7、 (2)共面向量：我們把平行于同一__平面__的向量叫做共面向量． (3)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)x，y，使得p＝__xa＋yb__． 6．空間向量基本定理 (1)基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使p＝__x__a＋y__b＋z__c__． (2)三個(gè)向量a，b，c不共面，我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)__基底__，a，b，c都叫做__基向量__． 7．空間兩向量的數(shù)量積 (1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠

8、AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉． ①規(guī)定__0__≤〈a，b〉≤__π__，因而〈a，b〉＝〈b，a〉； ②如果〈a，b〉＝____，則稱(chēng)a與b互相垂直，記作a⊥b； ③如果非零向量a，b同向，則〈a，b〉＝__0__；如果非零向量a，b反向，則〈a，b〉＝__π__． (2)向量的模長(zhǎng)公式：|a|＝__＝__． (3)向量的數(shù)量積定義：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝__|a||b|cos__〈a，b〉__． (4)a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)． 8．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)若O為原點(diǎn)，A(x1，y1，z1)，

9、B(x2，y2，z2)為空間任意兩點(diǎn)，則＝__(x1，y1，z1)__，＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (2)各種運(yùn)算的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則①a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)__； ②a－b＝__(x1－x2，y1－y2，z1－z2)__； ③λa＝__(λx1，λy1，λz1)__； ④a·b＝__x1x2＋y1y2＋z1z2__． (3)平行、垂直、模長(zhǎng)、夾角的坐標(biāo)表示： ①a∥b?__＝＝＝λ(b不與坐標(biāo)軸平行)或a＝λb__； ②a⊥b?__x1x2＋y1y2＋z1z2＝0__； ③|a|＝__

10、__； ④cos 〈a，b〉＝____. (4)空間兩點(diǎn)的距離公式：設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)為空間任意兩點(diǎn)，則|AB|＝____． 典例剖析　【p133】 考點(diǎn)1　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 已知空間三點(diǎn)A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)． (1)求以，為邊的平行四邊形的面積； (2)若|a|＝，且a分別與，垂直，求向量a的坐標(biāo)． 【解析】(1)由題意可得： ＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)， ∴cos〈，〉＝ ＝＝＝. ∴sin〈，〉＝， ∴以，為邊的平行四邊形的面積為 S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.

11、 (2)設(shè)a＝(x，y，z)，由題意得 解得或 ∴向量a的坐標(biāo)為(1，1，1)或(－1，－1，－1)． 【點(diǎn)評(píng)】(1)當(dāng)題目條件有垂直關(guān)系時(shí)，常轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進(jìn)行應(yīng)用； (2)當(dāng)異面直線所成的角為α?xí)r，常利用它們所在的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角θ來(lái)進(jìn)行計(jì)算； (3)通過(guò)數(shù)量積可以求向量的模． 考點(diǎn)2　空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)． (1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求MN的長(zhǎng)； (3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值． 【解析】(1)設(shè)＝p，＝q，＝r. 由題意可知|p|＝|

12、q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量中兩兩的夾角均為60°. ＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)， ∴·＝(q＋r－p)·p ＝(q·p＋r·p－p2) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. ∴⊥，即MN⊥AB.同理可證MN⊥CD. (2)由(1)可知＝(q＋r－p)， ∴||2＝(q＋r－p)2 ＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)] ＝＝×2a2＝. ∴||＝a.∴MN的長(zhǎng)為a. (3)設(shè)向量與的夾角為θ. ∵＝(＋)＝(q＋r)，＝－＝q－p， ∴·＝(q＋r)· ＝ ＝ ＝＝. 又∵||＝||＝a， ∴·＝||||cos

13、 θ＝a×a×cos θ＝. ∴cos θ＝. ∴向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為. 【點(diǎn)評(píng)】數(shù)量積的應(yīng)用 (1)求夾角，設(shè)向量a，b所成的角為θ，則cos θ＝，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角． (2)求長(zhǎng)度(距離)，運(yùn)用公式|a|2＝a·a，可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題． (3)解決垂直問(wèn)題，利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題． 考點(diǎn)3　共線、共面向量定理及應(yīng)用 已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)． (1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；

14、 (2)求證：BD∥平面EFGH； (3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有＝(＋＋＋)． 【解析】(1)如圖，連接BG， 則＝＋ ＝＋(＋) ＝＋＋＝＋， 由共面向量定理的推論知 E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． (2)因?yàn)椋剑? ＝－＝(－)＝， 所以EH∥BD. 又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH. (3)找一點(diǎn)O，并連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，如圖所示． 由(2)知＝，同理＝， 所以＝，即EH綊FG， 所以四邊形EFGH是平行四邊形． 所以EG，F(xiàn)H被交點(diǎn)M平分． 故＝(＋)＝＋ ＝＋ ＝

15、(＋＋＋)． 【點(diǎn)評(píng)】(1)證明點(diǎn)共線的方法 證明點(diǎn)共線的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線的問(wèn)題，如證明A，B，C三點(diǎn)共線，即證明，共線，亦即證明＝λ(λ≠0)． (2)證明點(diǎn)共面的方法 證明點(diǎn)共面問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問(wèn)題，如要證明P，A，B，C四點(diǎn)共面，只要能證明＝x＋y或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理實(shí)際上也是三個(gè)非零向量所在直線共面的充要條件． 考點(diǎn)4　空間向量運(yùn)算的應(yīng)用 如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60°. (1)求AC1的長(zhǎng)； (2)求證：A

16、C1⊥BD； (3)求BD1與AC夾角的余弦值． 【解析】(1)記＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝. ||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) ＝1＋1＋1＋2×＝6， ∴||＝，即AC1的長(zhǎng)為. (2)∵＝a＋b＋c，＝b－a， ∴·＝(a＋b＋c)·(b－a) ＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c ＝b·c－a·c ＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0， ∴⊥，∴AC1⊥BD. (3)＝b＋c－a，＝a

17、＋b，∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b) ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴cos〈，〉＝＝. ∴AC與BD1夾角的余弦值為. 方法總結(jié)　　【p134】 1．證明平面三點(diǎn)共線的方法 對(duì)平面三點(diǎn)P，A，B可通過(guò)證明下列結(jié)論來(lái)證明三點(diǎn)共線： (1)＝λ(λ∈R)； (2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝＋t(t∈R)； (3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝x＋y(x，y∈R，且x＋y＝1)． 2．證明空間四點(diǎn)共面的方法 對(duì)空間四點(diǎn)P，M，A，B可通過(guò)證明下列結(jié)論來(lái)證明四點(diǎn)共面： (1)＝x＋y(x，y∈R)； (2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝＋x＋y(x，y∈R)； (3)對(duì)空間任

18、一點(diǎn)O，＝x＋y＋z(x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1)； (4)∥(或∥或∥)． 3．利用向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的基礎(chǔ)． 4．利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問(wèn)題；利用數(shù)量積運(yùn)算可以解決一些距離、夾角問(wèn)題． 5．利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量的運(yùn)算或證明去解決問(wèn)題． 6．同時(shí)要重視空間向量基本定理的運(yùn)用，要注意空間向量基底的選取，用基向量表示出已知條件和所需解決問(wèn)題的所有向量，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題． 7．用空間向量處理某些立體幾何問(wèn)題時(shí)，除要有應(yīng)用空間向量的意識(shí)外

19、，關(guān)鍵是根據(jù)空間圖形的特點(diǎn)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．若坐標(biāo)系選取不當(dāng)，計(jì)算量就會(huì)增大．總之，樹(shù)立用數(shù)解形的觀念，即用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題． 走進(jìn)高考　　【p135】 1．(2014·廣東)已知向量a＝(1，0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是(　　) A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1) 【解析】(1，0，－1)·(－1，1，0)＝－1，夾角不可能為60°，(1，0，－1)·(1，－1，0)＝1，且|(1，0，－1)|＝|(1，－1，0)|＝，夾角恰好為60°. 【答案】B 2．(2018·北京)如圖，在三棱柱ABC

20、－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點(diǎn)，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2. (1)求證：AC⊥平面BEF； (2)求二面角B－CD－C1的余弦值； (3)證明：直線FG與平面BCD相交． 【解析】(1)在三棱柱ABC－A1B1C1中， ∵CC1⊥平面ABC， ∴四邊形A1ACC1為矩形． 又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，∴AC⊥EF. ∵AB＝BC.∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF. (2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1. 又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC. ∵BE?平面ABC，∴EF⊥

21、BE. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系E－xyz. 由題意得B(0，2，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，1)，F(xiàn)(0，0，2)，G(0，2，1)． ∴＝(2，0，1)，＝(1，2，0)， 設(shè)平面BCD的法向量為n＝(a，b，c)， ∴∴ 令a＝2，則b＝－1，c＝－4， ∴平面BCD的法向量n＝(2，－1，－4)， 又∵平面CDC1的法向量為＝(0，2，0)， ∴cos〈n·〉＝＝－. 由圖可得二面角B－CD－C1為鈍角，所以二面角B－CD－C1的余弦值為－. (3)由(2)知平面BCD的法向量為n＝(2，－1，－4)， ∵G(0，2，1)，F(xiàn)(0，0，2)， ∴＝

22、(0，－2，1)，∴n·＝－2，∴n與不垂直， ∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，∴GF與平面BCD相交． 考點(diǎn)集訓(xùn)　　【p250】 A組題 1．在下列命題中： ①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行； ②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面； ③若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面； ④已知空間的三個(gè)向量a，b，c，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】a與b共線，a，b所在直線也可能重合，故①不正確；根據(jù)自

23、由向量的意義知，空間任意兩向量a，b都共面，故②錯(cuò)誤；三個(gè)向量a，b，c中任兩個(gè)一定共面，但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面，故③不正確；只有當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，空間任意一向量p才能表示為p＝xa＋yb＋zc，故④不正確，綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0. 【答案】A 2．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是(　　) A．1 B. C．2 D. 【解析】由已知，據(jù)向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算可得ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，兩向量互相垂直，則數(shù)量積為0.則有3×(k－1)＋2k－2×2＝0，解得k＝. 【答案】B

24、3．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，＝(1，2，0)，＝(2，1，0)，＝(0，1，5)，則對(duì)角線AC1的邊長(zhǎng)為(　　) A．4B．4C．5D．12 【解析】＝＋＋＝＋＋＝(0，1，5)＋(1，2，0)＋(2，1，0)＝(3，4，5)， 所以||＝＝5. 【答案】C 4．空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線均相等，E是BC的中點(diǎn)，那么(　　) A.·<· B.·＝· C.·>· D.·與·的大小不能比較 【解析】取BD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF綊CD，因?yàn)椤?，〉＝〈，?90°，·＝0，·<0，所以·>·. 【答案】C 5．已知a＝(，－1，0)，b＝(k，0，1)

25、，a，b的夾角為60°，則k＝________． 【解析】由已知可得|a|＝2，|b|＝， ∴a·b＝2cos 60°＝k，∴k＝. 【答案】 6．如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是________． 【解析】∵＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝. 【答案】 7．四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，A1A＝AB＝AD，則CC1與BD所成角為_(kāi)_________． 【解析】四棱柱ABCD－A1B1C1D1

26、中，因?yàn)椤螦1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，A1A＝AB＝AD，＝＋＋，因?yàn)镃C1∥BB1，所以∠DBB1是CC1，BD所成角，設(shè)AA1＝AB＝AD＝1，則BD＝1，2＝2＋2＋2＋2||||·cos 120°＋2||||cos 120°＋2||||cos 60°＝1＋1＋1－1－1＋1＝2，所以DB1＝，所以DB2＋BB＝DB，所以∠DBB1＝90°. 【答案】90° 8．已知空間中三點(diǎn)A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設(shè)a＝，b＝. (1)求向量a與向量b的夾角的余弦值； (2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值． 【解析】(1)∵a＝(

27、1，1，0)，b＝(－1，0，2)， ∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又|a|＝＝， |b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－， 即向量a與向量b的夾角的余弦值為－. (2)法一：∵ka＋b＝(k－1，k，2)． ka－2b＝(k＋2，k，－4)， 且ka＋b與ka－2b互相垂直， ∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4) ＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0， ∴k＝2或k＝－， ∴當(dāng)ka＋b與ka－2b互相垂直時(shí)， 實(shí)數(shù)k的值為2或－. 法二：由(1)知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b

28、－2b2 ＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－. ∴當(dāng)ka＋b與ka－2b互相垂直時(shí)， 實(shí)數(shù)k的值為2或－. B組題 1．如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若∠A1AB＝∠A1AD＝60°，且A1A＝3，則A1C的長(zhǎng)為(　　) A.B．2C.D. 【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算 ||＝＝ ＝ ＝ ＝＝. 【答案】A 2．已知向量{a，b，c}是空間的一個(gè)單位正交基底，向量{a＋b，a－b，c}是空間的另一個(gè)基底．若向量m在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(1，2，3)，則m在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為_(kāi)_______．

29、 【解析】由題意可知： m＝a＋2b＋3c＝－＋3c， 即m在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為. 【答案】 3．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)．計(jì)算： (1)·； (2)·； (3)EG的長(zhǎng)； (4)異面直線AG與CE所成角的余弦值． 【解析】設(shè)＝a，＝b，＝c. 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°. ＝＝c－a，＝－a，＝b－c. (1)·＝·(－a) ＝a2－a·c＝. (2)·＝(c－a)·(b－c) ＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－.

30、 (3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ＝－a＋b＋c， ||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，則||＝. (4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a， cos〈，〉＝＝－， 由于異面直線所成角的范圍是， 所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為. 4．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC－O1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz. (1)寫(xiě)出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)； (2)求證：A1F⊥C1E； (3)若A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，求證：＝＋. 【解析】(1)E(a，x，0)，F(xiàn)(a－x，a，0)． (2)∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)， ∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)， ∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0， ∴⊥， ∴A1F⊥C1E. (3)∵A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面， ∴，，共面． 選與為在平面A1C1E上的一組基向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2， 即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a) ＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴ 解得λ1＝，λ2＝1. 于是＝＋. 18