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1、大題精做10 圓錐曲線：定點、定值問題
[2019·甘肅聯(lián)考]已知橢圓的右焦點為，上頂點為，直線的斜率為，
且原點到直線的距離為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若不經過點的直線與橢圓交于，兩點，且與圓相切．
試探究的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由題可知，，，則，
直線的方程為，即，所以，
解得，，
又，所以橢圓的標準方程為．
（2）因為直線與圓相切，
所以，即．
設，，聯(lián)立，得，
所以，
，，
所以．
又，所以．
因為，同理．
所以，
所以的周長是，
則的周長為定值．
2、1．[2019·安慶期末]已知橢圓過點，焦距長，過點的直線交橢圓于，兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點，求證：為定值．
2．[2019·東莞期末]已知橢圓的中心在坐標原點，左右焦點分別為和，且橢圓經過點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的右頂點作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓交于點，（均異于點），
求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．
3．[2019·漳州一模]已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，
3、且橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，離心率為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的右焦點且斜率存在的直線交橢圓于，兩點，線段的垂直平分線交軸于點，證明：為定值．
1．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由條件焦距為，知，從而將代入方程，
可得，，故橢圓方程為．
（2）當直線的斜率不為0時，設直線交橢圓于，，
由，可得，
，，，，
，
化簡得，
當直線斜率為0時，，，，
即證為定值，且為．
2．【答案】（1）；（2）見解析．
【解析】（1）設橢圓的標準方程為，
，，
∴，∴，∴，
所以橢圓的標準方程為．
（2）①直線斜
4、率存在，設直線，，，
聯(lián)立方程，消去得，
，，
，又，
由，得，
即，∴，
∴，
∴．解得，，且均滿足，
當時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾；
當時，直線的方程為，直線過定點．
②由橢圓的對稱性所得，當直線，的傾斜角分別為，，易得直線，
，直線，分別與橢圓交于點，，
此時直線斜率不存在，也過定點，
綜上所述，直線恒過定點．
3．【答案】（1）；（2）詳見解析．
【解析】解法一：（1）設橢圓的標準方程為，
由拋物線的焦點為，得，① 又，②
由①②及，解得，
所以橢圓的標準方程為．
（2）依題意設直線的方程為，
設點，，當時，聯(lián)立方程，
得，，
所以，，的中點坐標為，
的垂直平分線為，
令，得，，
又，所以，
當時，點與原點重合，則，，所以；
綜上所述，為定值．
解法二：
（1）同解法一．
（2）依題意，當直線的斜率不為0時，設直線的方程為，
設點，，聯(lián)立方程，得，
所以，
，，
，
，
所以的中點坐標為，
的垂直平分線為，
令，得，所以，所以；
當直線的斜率為0時，點與原點重合，則，，所以；
綜上所述，為定值．
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2019高考數學三輪沖刺 大題提分 大題精做10 圓錐曲線：定點、定值問題 理
