2020屆高考數(shù)學 專題五 導數(shù)的應用精準培優(yōu)專練 理

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1、培優(yōu)點五 導數(shù)的應用 一、求切線方程 例1：曲線在點處的切線方程為． 【答案】 【解析】∵， ∴結(jié)合導數(shù)的幾何意義曲線可知在點處的切線方程的斜率為， ∴切線方程為． 二、求單調(diào)區(qū)間和極值 例2：已知函數(shù)． （1）討論的單調(diào)性； （2）當時，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）， ①當時，，此時在單調(diào)遞增； ②當時，令，解得或；令，解得， 此時在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； ③當時，令，解得或；令，解得， 此時在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 綜上可得，當時，在單調(diào)遞增． 當時，在，單調(diào)遞增，在

2、單調(diào)遞減． 當時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． （2）由（1）中結(jié)論可知，當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 此時， ∵，， ∴當時，，， 令，則，∴在單調(diào)遞減． 又∵，，∴，即． 當時，，∴， 綜上，當時，的取值范圍是． 三、導數(shù)與零點 例3：已知函數(shù)，為的導函數(shù)．證明： （1）在區(qū)間存在唯一極大值點； （2）有且僅有個零點． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析． 【解析】（1）對進行求導可得，，， 取，則， 在內(nèi)，為單調(diào)遞減函數(shù)，且，， 所以在內(nèi)存在一個，使得， 所以在內(nèi)，，為增函數(shù)；在內(nèi)，，為減函數(shù)， 所以在在區(qū)間存在唯一極大值點

3、． （2）由（1）可知，當時，單調(diào)增，且，可得， 則在此區(qū)間單調(diào)減； 當時，單調(diào)增，且，，則在此區(qū)間單調(diào)增； 又，則在上有唯一零點． 當時，單調(diào)減，且，則存在唯一的，使得， 在時，，單調(diào)增；在時，單調(diào)減， 且，所以在上無零點； 當時，單調(diào)減，單調(diào)減，則在上單調(diào)減，，所以在上存在一個零點． 當時，恒成立， 則在上無零點， 綜上可得，有且僅有個零點． 對點增分集訓 一、選擇題 1．設函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程 為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得， 所以，， 所以，， 所以曲線在點處的切

4、線方程為， 化簡可得，故選D． 2．函數(shù)的圖像大致為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，∴為奇函數(shù)，舍去A， ，∴舍去D； ，∴，， 所以舍去C；因此選B． 3．曲線在點處的切線方程為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為，所以曲線在點處的切線斜率為， 故曲線在點處的切線方程為． 4．若函數(shù) (是自然對數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有性質(zhì)， 下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】對于A，令，， 則在上單調(diào)遞增，故具有性質(zhì)，故選A． 5．已知曲線在點處的切線方程為，

5、則（） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】令，則，，得． ，可得．故選D． 6．已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】當時，，函數(shù)有兩個零點和，不滿足題意，舍去； 當時，，令，得或， 時，；時，；時，，且， 此時在必有零點，故不滿足題意，舍去； 當時，時，；時，； 時，，且， 要使得存在唯一的零點，且，只需，即，則， 故選C． 7．已知函數(shù)有唯一零點，則（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函數(shù)的零點滿足， 設，則， 當時，， 當時，，函數(shù)單調(diào)遞減； 當時，

6、，函數(shù)單調(diào)遞增， 當時，函數(shù)取得最小值，為． 設，當時，函數(shù)取得最小值，為， 若，函數(shù)與函數(shù)沒有交點； 若，當時，函數(shù)和有一個交點， 即，解得．故選C． 8．若是函數(shù)的極值點，則的極小值為（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題可得， 因為，所以，，故， 令，解得或， 所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以的極小值為，故選A． 二、填空題 9．曲線在點處的切線的斜率為，則________． 【答案】 【解析】，則，所以． 10．在平面直角坐標系中，點在曲線上，且該曲線在點處的切線經(jīng)過點 （為自然對數(shù)的底數(shù)），則點的坐標是． 【

7、答案】 【解析】設點，則． 又，當時，， 點A在曲線上的切線為，即， 代入點，得，即， 考查函數(shù)，當時，；當時，， 且，當時，單調(diào)遞增， 注意到，故存在唯一的實數(shù)根，此時， 故點的坐標為． 11．若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值 與最小值的和為_______． 【答案】 【解析】由，得， 因為函數(shù)在上有且僅有一個零點且，所以， 因此，， 從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，． 12．已知函數(shù)，則的最小值是_________． 【答案】 【解析】， 所以當時，函數(shù)單調(diào)減，當時，函數(shù)單調(diào)增， 從而得到函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為，

8、 所以當時，函數(shù)取得最小值，此時， 所以，故答案是． 三、解答題 13．已知函數(shù)． （1）討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明函數(shù)有且只有兩個零點； （2）設是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線． 【答案】（1）見解析；（2）證明見解析． 【解析】（1）函數(shù)的定義域為， 又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增， 又，所以在區(qū)間存在一個零點， 且， 所以在區(qū)間上也存在一個零點，所以函數(shù)有且只有2個零點． （2）因為是函數(shù)的一個零點，所以有． 曲線在處的切線方程為， 曲線曲線當切線斜率為時，切點坐標為， 切線方程為， 化簡為， 所以曲線在處的切線也是曲線的切線． 1

9、4．已知函數(shù)． （1）討論的單調(diào)性； （2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為？若存在，求出的所有值； 若不存在，說明理由． 【答案】（1）見解析；（2）存在，或滿足題意． 【解析】（1）， ①當時，，此時在單調(diào)遞增； ②當時，令，解得或；令，解得， 此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； ③當時，令，解得或；令，解得， 此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 綜上可得，當時，在單調(diào)遞增． 當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． 當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． （2）由（1）中結(jié)論可知， 當時，在單調(diào)遞增， 此時，∴，滿足題意． 當時，若，即，則在單調(diào)遞減， 此時，∴，滿

10、足題意． 若，即，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 此時①， ∵，∴當時，②， 由①②可得，與矛盾，故不成立． 當時，③， 由①③可得，與矛盾，故不成立． 綜上可知，或滿足題意． 15．已知函數(shù)，是的導數(shù)． （1）證明：在區(qū)間存在唯一零點； （2）若時，，求的取值范圍． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【解析】（1）由題意得， 令，∴， 當時，，單調(diào)遞增； 當時，，單調(diào)遞減， ∴的最大值為， 又，，∴，即， ∴在區(qū)間存在唯一零點． （2）由題設知，，可得． 由（1）知，在只有一個零點， 設為，且當時，；當時，， 所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． 又，，所以當時，． 又當，時，，故． 因此，的取值范圍是． 15