（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 第26講 解三角形練習(xí) 理（含解析）新人教A版

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1、第26講　解三角形 夯實(shí)基礎(chǔ)　【p55】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 掌握正、余弦定理，能利用這兩個(gè)定理及面積計(jì)算公式解斜三角形，培養(yǎng)運(yùn)算求解能力． 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 1．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝2，c＝2 ，cos A＝且b＜c，則b＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．3 B．2 C．2 D. 【解析】由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b＜c，∴b＝2. 【答案】C 2．在△ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是a, b, c，若B＝30°， c＝2，b＝2，則C＝(　　) A

2、. B.或 C. D.或 【解析】由正弦定理＝得＝sin C＝，∴C＝或. 【答案】B 3．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且＝，則B＝(　　) A. B. C. D. 【解析】由sin A＝，sin B＝，sin C＝，代入整理得＝c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cos B＝，所以B＝. 【答案】C 4．在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin A＝，a＝2，該三角形的面積為，則b的值為(　　 ) A. B. C．2 D．2 【解析】由銳角三角形中sin A＝得：cos A＝，

3、 面積bcsin A＝，所以bc＝3， 根據(jù)余弦定理cos A＝，所以＝， 整理得：b2＋＝6，解得：b2＝3，所以b＝. 【答案】A 5．如圖，有一段河流，河的一側(cè)是以O(shè)為圓心的扇形區(qū)域OCD，河的另一側(cè)是一段筆直的河岸l，岸邊有一高為15米的煙囪AB(不計(jì)B離河岸的距離)，設(shè)OB與圓弧的交點(diǎn)為E.經(jīng)測(cè)量，扇形區(qū)域和河岸處于同一水平面，在點(diǎn)O和點(diǎn)E處測(cè)得煙囪AB的仰角分別為30°和60°.若CE的長(zhǎng)為10米，則BC＝________米． 【解析】在△EAB中，因?yàn)椤螦EB＝60°，所以BE＝5， 在△OAB中，因?yàn)椤螦OB＝30°，所以BO＝15， 所以在△OCE中，OE＝

4、CE＝OC＝10， 從而∠BOC＝60°， 在△OBC中， BC＝＝5. 【答案】5 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．正弦定理、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 變形 形式 ①a＝2Rsin A， b＝__2Rsin__B__， c＝__2Rsin__C__； ②sin A＝____， sin B＝____， sin C＝____； (其中R為△ABC外接圓半徑) ③a∶b∶c＝__sin__A∶sin__B∶sin__C__； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝

5、csin A． a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos__B， c2＝a2＋b2－2abcos__C； cos A＝， cos B＝____， cos C＝____. 解決 解斜 三角 形的 問(wèn)題 ①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩邊； ②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角． ①已知三邊，求各角； ②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角. 2.三角形的面積：S△ABC＝__absin__C__＝__acsin__B_

6、_＝__bcsin__A__＝＝(a＋b＋c)·r(R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑)． 3．仰角和俯角 在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線(xiàn)和目標(biāo)視線(xiàn)的夾角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)__上方__時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)__下方__時(shí)叫俯角(如圖(a))． 　　　　　圖(a)　　　　　　　　　圖(b) 4．方位角 從某點(diǎn)的指北方向線(xiàn)起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)之間的水平夾角叫做方位角．如B點(diǎn)的方位角為α(如圖(b))． 5．方向角 正北或正南方向線(xiàn)與目標(biāo)方向線(xiàn)所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)××度． 典 例 剖 析　【p56】 考點(diǎn)1　利用正弦定理解三角形 已知在△ABC中

7、，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且asin B－bcos A＝0. (1)求角A的大?。? (2)若a＝2，b＝2，求△ABC的面積. 【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得sin Asin B－sin Bcos A＝0， 即sin B(sin A－cos A)＝0， 又角B為三角形內(nèi)角，sin B≠0， 所以sin A－cos A＝0，即sin＝0， 又因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝. (2)法一：在△ABC中，由余弦定理得： a2＝b2＋c2－2bc·cos A，則20＝4＋c2－4c·. 即c2－2c－16＝0， 解得c＝－2(舍)或c＝4， 又S＝bcs

8、in A，所以S＝×2×4×＝4. 法二：∵a＝2，b＝2，由(1)知A＝， ∴由＝得sin B＝＝＝， ∵sin B＝<＝sin A，∴B為銳角．∴cos B＝， ∴sin C＝sin＝(cos B＋sin B)＝·＝. ∴S△ABC＝absin C＝·2·2·＝4. 考點(diǎn)2　利用余弦定理解三角形 (1)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，則B＝________． 【解析】法一：由2bcos B＝acos C＋ccos A及余弦定理，得 2b·＝a·＋c·， 整理得，a2＋c2－b2＝ac， 所以cos B＝＝＝

9、， 又00，cos A＝，B＝. 【答案】 (2)△ABC中， cos∠ABC＝，AB＝2，點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上，且AD＝2DC，BD＝，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 【解析】在△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝3b， 則由余弦定理可得9b2＝a2＋4－a，① 在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得 cos∠ADB＝， cos∠BDC＝. 因?yàn)閏os∠ADB＝－cos∠BDC， 所以有＝－，所以3b2－a2＝

10、－6，② 由①②可得a＝3，b＝1，即BC＝3. 【答案】3 【點(diǎn)評(píng)】解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到． 考點(diǎn)3　與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題 △ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin A－cos A＝0，a＝7，b＝5. (1)求c； (2)設(shè)D為CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，滿(mǎn)足AD⊥AC，求△ABD的面積． 【解析】(1)由已知得tan A＝A＝，由余弦定理2bccos A＝b2＋c2－a2， c2－5c－24＝0c＝8(舍負(fù))

11、． (2)法一：如圖，△ABC中，cos C＝＝tan C＝4； Rt△ACD中，tan C＝＝4AD＝20， ∴S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD＝×8×20×＝40. 法二：S△ABC＝bcsin A＝ahh＝， cos C＝＝＝BD＝28， ∴S△ABD＝BD·h＝40. 【點(diǎn)評(píng)】(1)對(duì)于面積公式S＝absin C＝acsin B＝ bcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式． (2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化． 考點(diǎn)4　三角形中的測(cè)量問(wèn)題(高度、距離、角度) 要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C

12、點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°，并測(cè)得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，則電視塔的高度為_(kāi)_______m. 【解析】如圖，設(shè)電視塔AB高為x m， 則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x. 在Rt△ADB中，∠ADB＝30°， 所以BD＝x. 在△BDC中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°， 即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°， 解得x＝40，所以電視塔高為40 m. 【答案】40 【點(diǎn)評(píng)】求解高度問(wèn)題應(yīng)注意： (1)在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，理解仰角、俯角(

13、它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵． (2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題． 如圖，經(jīng)過(guò)村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠(chǎng)P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M，N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設(shè)計(jì)能使得工廠(chǎng)產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(即工廠(chǎng)與村莊的距離最遠(yuǎn))? 【解析】設(shè)∠AMN＝θ，在△AMN中，＝.

14、 因?yàn)镸N＝2，所以AM＝sin(120°－θ)． 在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP ＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)·cos(60°＋θ) ＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4 ＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4 ＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋ ＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． 當(dāng)且僅當(dāng)2θ＋150°＝270°，即θ＝60°時(shí)，AP2取得最大值12，即AP取得最

15、大值2. 所以當(dāng)∠AMN＝60°時(shí)，符合要求． 【點(diǎn)評(píng)】求解距離問(wèn)題應(yīng)注意： (1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解． (2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理． 在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α

16、的正弦值． 【解析】如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇， 則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°. 根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得x＝2. 故AC＝28，BC＝20. 根據(jù)正弦定理得＝， 解得sin α＝＝. 所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角α的正弦值為. 【點(diǎn)評(píng)】求解角度問(wèn)題應(yīng)注意： (1)測(cè)量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義． (2)求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值． (3)在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖，通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)

17、題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)． 方 法 總 結(jié)　　【p57】 1．利用正弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題： (1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角； (2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角)． 2．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即A＞Ba＞bsin A＞sin B. 3．已知三角形兩邊及其一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，利用正弦定理求解時(shí)，要注意判斷三角形解的情況(存在兩解、一解和無(wú)解三種可能)．而解的情況確定的一般方法是“大邊對(duì)大角且三角形鈍角至多一

18、個(gè)”． 4．利用余弦定理，可以解決以下三類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題： (1)已知三邊，求三個(gè)角； (2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其余角； (3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他邊和角； (4)由余弦值確定角的大小時(shí)，一定要依據(jù)角的范圍及函數(shù)值的正負(fù)確定． 走 進(jìn) 高 考　　【p57】 1．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝(　　) A．4 B. C. D．2 【解析】因?yàn)閏os C＝2cos2－1＝2×－1＝－. 所以由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos C＝1＋25－2×1×5×＝32， ∴AB＝4.

19、【答案】A 2．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，則C＝(　　) A. B. C. D. 【解析】由三角形面積公式知：S△ABC＝absin C＝， 由余弦定理得：a2＋b2－c2＝2abcos C， ∴sin C＝cos C，∴C＝. 【答案】C 3．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB； (2)若DC＝2，求BC. 【解析】(1)在△ABD中，由正弦定理得 ＝. 由題設(shè)知，＝，所以sin∠ADB＝. 由題設(shè)知，∠ADB

20、<90°， 所以cos∠ADB＝＝. (2)由題設(shè)及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝. 在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×2× ＝25. 所以BC＝5. 考 點(diǎn) 集 訓(xùn)　　【p206】 A組題 1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cos B＝(　　) A．－ B. C．－ D. 【解析】根據(jù)正弦定理＝，可得＝， 解得sin B＝， 又因?yàn)閎

21、(2sin B＋sin A)＋(2a＋b)sin A＝2csin C，則C＝(　　) A. B. C. D. 【解析】由正弦定理可得b(2sin B＋sin A)＋(2a＋b)sin A＝2csin Cb(2b＋a)＋(2a＋b)a＝2c2，整理得a2＋b2－c2＝－abcos C＝＝－， ∵0

22、＝150°， 又 AC＝2，BC＝， 由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 150°＝13， ∴AB＝. 【答案】D 4．已知△ABC中，a、b分別是角A、B所對(duì)的邊，且a＝x(x>0)，b＝2，A＝60°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是(　　) A．x> B．0

23、邊分別為a，b，c，已知2bsin 2A＝asin B，且c＝2b，則＝________． 【解析】由題知，2b·2sin Acos A＝asin B，由正弦定理得4ab·cos A＝ab，即cos A＝，又∵cos A＝＝＝，∴a2＝4b2，a＝2b. 【答案】2 6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若角A，B，C依次成等差數(shù)列，且a＝1，b＝，則S△ABC＝________． 【解析】因?yàn)榻茿，B，C依次成等差數(shù)列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sin A＝，因?yàn)?°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此時(shí)C＝90°， 所以S△ABC＝a

24、b＝. 【答案】 7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC邊上，且AD＝3DC，AB＝， ∠ADB＝，∠C＝. (1)求DC的值； (2)求tan∠ABC的值． 【解析】(1)如圖所示， ∠DBC＝∠ADB－∠C＝－＝， 故∠DBC＝∠C, DB＝DC. 設(shè)DC＝x，則DB＝x, DA＝3x. 在△ADB中，由余弦定理AB2＝DA2＋DB2－2DA·DB·cos∠ADB， 即7＝＋x2－2·3x·x·＝7x2，解得x＝1，DC＝1. (2)在△ADB中，由AD>AB，得∠ABD>∠ADB＝， 故∠ABC＝∠ABD＋∠DBC>＋＝， 在△ABC中，由正弦定理＝， 即＝

25、，故sin∠ABC＝， 由∠ABC∈，得cos∠ABC＝－，tan∠ABC＝－＝－. 8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)． 【解析】(1)2cos C＝c，由正弦定理得： 2cos Csin＝sin C，∵A＋B＋C＝π， ∴sin(A＋B)＝sin C>0， ∴cos C＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝. (2)由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，即－3ab＝7， 又S＝absin C＝ab＝，ab＝6， ∴－18＝7，a＋

26、b＝5， ∴△ABC周長(zhǎng)為a＋b＋c＝5＋. B組題 1．設(shè)△ABC的面積為S1，它的外接圓面積為S2，若△ABC的三個(gè)內(nèi)角大小滿(mǎn)足A∶B∶C＝3∶4∶5，則的值為(　　) A. B. C. D. 【解析】設(shè)三角形的三內(nèi)角分別為3x，4x，5x，外接圓的半徑為R，由三角形內(nèi)角和定理可得三內(nèi)角分別為A＝，B＝，C＝，則由正弦定理可得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，故S1＝absin C＝(2R)2×××＝R2，即＝. 【答案】D 2．如圖，無(wú)人機(jī)在離地面高200 m的A處，觀測(cè)到山頂M處的仰角為15°、山腳C處的俯角為45°，已知∠MCN＝60

27、°，則山的高度MN為_(kāi)_______ m. 【解析】由條件，∠MAD＝15°，所以∠NMA＝75°，∠CMA＝45°，∠MAC＝15°＋45°＝60°，所以∠ACM＝180°－60°－45°＝75°，∠ACB＝45°，這樣在△ACB中，AC＝200，在△ACM中，＝，解得MC＝200，△MNC中，MN＝MCsin 60°＝200×＝300. 【答案】300 3．如圖，在△ABC 中，BE平分∠ABC，sin∠ABE＝，AB＝2，點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上，且AD＝2DC，BD＝，則BE＝________． 【解析】由條件得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝. 在△ABC中，設(shè)BC＝

28、a，AC＝3b，則9b2＝a2＋4－a?、? 因?yàn)椤螦DB與∠CDB互補(bǔ)，所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，＝－， 所以3b2－a2＝－6?、冢? 聯(lián)立①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3. S△ABC＝·AC·ABsin A＝×3×2×＝2， S△ABE＝·BE·BAsin∠EBA＝×2×BE×＝BE. S△BCE＝·BE·BCsin∠EBC＝×3×BE×＝BE. 由S△ABC＝S△ABE＋S△BCE，得2＝BE＋BE， ∴BE＝. 【答案】 4．如圖所示，攝影愛(ài)好者S在某公園發(fā)現(xiàn)A處的正前方B處有一立柱，測(cè)得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為

29、.設(shè)S的眼睛到地面的距離為米． (1)求攝影愛(ài)好者到立柱的水平距離和立柱的高度； (2)立柱的頂端有一長(zhǎng)2米的彩桿MN繞中點(diǎn)O在S與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．?dāng)z影愛(ài)好者有一視角范圍為的鏡頭，在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻，攝影愛(ài)好者是否都可以將彩桿全部攝入畫(huà)面？說(shuō)明理由． 【解析】(1)過(guò)S作SC垂直O(jiān)B于C，連結(jié)SB，SO， 則∠CSB＝，∠ASB＝. 又SA＝，故在Rt△SAB中，可求得BA＝3， 即攝影愛(ài)好者到立柱的水平距離為3米． 由SC＝3，∠CSO＝，在Rt△SCO中，可求得OC＝. 因?yàn)锽C＝SA＝，故OB＝2，即立柱高為2米． (2)連接SM，SN，設(shè)SN＝a，SM＝b.由(1)知SO＝2， 在△SOM和△SON中，cos∠SOM＝－cos∠SON， 即＝－，可得a2＋b2＝26. 在△MSN中，cos∠MSN＝＝≥＝>，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立． 又∠MSN∈(0，π)，則0<∠MSN<. 故攝影愛(ài)好者S可以將彩桿全部攝入畫(huà)面． 17