（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學二輪復習 理科附加題 第2講 空間向量與立體幾何練習

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1、第2講 空間向量與立體幾何 1.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點，Q為棱BB1上的點，且BQ＝λBB1(λ≠0)． (1)若λ＝，求AP與AQ所成角的余弦值； (2)若直線AA1與平面APQ所成的角為45°，求實數(shù)λ的值． 解：以{，，}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz.則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，P(1,2,2)，Q(2,0,2λ)． (1)當λ＝時，＝(1,2,2)，＝(2,0,1)， 所以cos〈，〉＝ ＝＝. 所以AP與AQ所成角的余弦值為. (2)＝(0,0,2)，＝(2,0,2λ)．

2、 設(shè)平面APQ的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 令z＝－2，則x＝2λ，y＝2－λ. 所以n＝(2λ，2－λ，－2)． 又因為直線AA1與平面APQ所成角為45°， 所以|cos〈n，〉|＝ ＝＝， 可得5λ2－4λ＝0，又因為λ≠0，所以λ＝. 2．(2019·宿遷期末)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，BB1＝2，點D在棱BB1上，且C1D⊥AB1. (1)求線段B1D的長； (2)求二面角D-A1C-C1的余弦值． 解：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，則以{，，}為基底構(gòu)建如圖所示的空間直角坐標系，則A1(1,0

3、,0)，A(1,0,2)，B1(0,1,0)，C1(0,0,0)，B(0,1,2)，C(0,0,2)， 所以＝(－1,1，－2)， 設(shè)B1D＝t,0≤t≤2，則D(0,1，t)，＝(0,1，t)． (1)由C1D⊥AB1，得·＝0， 所以1－2t＝0?t＝， 所以B1D＝. (2)易知平面A1C1C的一個法向量為＝(0,1,0)， 設(shè)平面A1CD的一個法向量為n＝(x，y，z)， 由(1)知＝，＝(－1,0,2)， 因為 所以取z＝2， 則y＝3，x＝4，所以n＝(4,3,2)， 所以cos〈n，〉＝＝. 所以二面角D-A1C-C1的余弦值為. 3.如圖，在底面是直

4、角梯形的四棱錐S-ABCD中，已知∠BAD＝∠CDA＝90°，AD＝CD＝2，AB＝1，SA＝SD，且平面SAD⊥平面ABCD. (1)當SA⊥SD時，求直線SA與平面SBC所成角的正弦值； (2)若平面SBC與平面SAD所成角的大小為，求SA的長． 解：(1)取AD中點O，連結(jié)SO. 因為SA＝SD，所以SO⊥AD， 因為平面SAD⊥平面ABCD， 平面SAD∩平面ABCD＝AD，SO?平面SAD， 所以SO⊥平面ABCD. 建立如圖所示的空間直角坐標系， 由條件可得，A(1,0,0)，S(0,0,1)，B(1,1,0)，C(－1,2,0)． 所以＝(1,0，－1)，＝

5、(1,1，－1)，＝(－2,1,0)． 設(shè)平面SBC的法向量n＝(x，y，z)， 則所以取n＝(1,2,3)． 設(shè)直線SA與平面SBC所成角為θ， 則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝. (2)設(shè)SO＝a，則S(0,0，a)，所以＝(1,1，－a)， 平面SBC的法向量n＝(x，y，z)滿足 取n＝. 取平面SAD的法向量n′＝(0,1,0)， 所以cos＝＝，解得a＝， 所以SA＝2. 4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1. (1)若直線PB與CD所成角的大小為，求BC的長； (2)求二面角B-PD-A的

6、余弦值． 解：(1)以{，，}為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz. 因為AP＝AB＝AD＝1， 所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)． 設(shè)C(1，y,0)，則＝(1,0，－1)，＝(－1,1－y,0)． 因為直線PB與CD所成角大小為， 所以|cos〈，〉|＝＝， 即＝，解得y＝2或y＝0(舍)， 所以C(1,2,0)，所以BC的長為2. (2)設(shè)平面PBD的法向量為n1＝(x，y，z)． 因為＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)， 則即 令x＝1，則y＝1，z＝1，所以n1＝(1,1,1)． 因為平面PAD

7、的一個法向量為n2＝(1,0,0)， 所以cos〈n1，n2〉＝＝， 所以由圖可知二面角B-PD-A的余弦值為. 5．(2019·蘇州調(diào)研)如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP. (1)求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值； (2)線段PD上是否存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，試確定點N的位置；若不存在，請說明理由． 解：(1)因為AE⊥AB，AE∥BP， 所以BP⊥AB， 因為平面ABCD⊥平面ABPE，平面ABCD∩平面ABPE＝AB， 所以BP⊥

8、平面ABCD， 又AB⊥BC，所以直線BA，BP，BC兩兩垂直． 以B為坐標原點，分別以BA，BP，BC所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0,2,0)，B(0,0,0)，D(2,0,1)，E(2,1,0)，C(0,0,1)， 因為BC⊥平面ABPE， 所以＝(0,0,1)為平面ABPE的一個法向量， 設(shè)平面PCD的一個法向量為n＝(x，y，z)， 易得＝(2，－2,1)，＝(2,0,0)， 則即 令y＝1，則z＝2，故n＝(0,1,2)， 設(shè)平面PCD與平面ABPE所成的二面角大小為θ， 則|cos θ|＝＝＝， 由圖知，所求二面角為銳角， 所以平面PCD與平面ABPE所成二面角的余弦值為. (2)假設(shè)滿足題意的點N存在， 設(shè)＝λ＝(2λ，－2λ，λ)(0≤λ≤1)， 則＝＋＝(2λ，2－2λ，λ)． 由(1)知，平面PCD的一個法向量為n＝(0,1,2)， 設(shè)直線BN與平面PCD所成的角為α， 則sin α＝|cos〈，n〉|＝＝， 即9λ2－8λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－(舍去)． 故當點N與點D重合時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為. - 5 -