2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題09 三視圖、表面積與體積計(jì)算練習(xí) 理

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1、09　三視圖、表面積與體積計(jì)算 1.如圖所示的幾何體,其表面積為(5+5)π,下部分圓柱的底面直徑與該圓柱的高相等,上部分圓錐的母線長為5,則該幾何體的正(主)視圖的面積為(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.6 C.8 D.10 解析?　設(shè)圓柱與圓錐底面半徑都為a,則圓柱高為2a.因?yàn)閳A錐的母線長為5,所以幾何體的表面積為5aπ+πa2+4πa2=(5a+5a2)π=(5+5)π,解得a=1,所以該幾何體的正(主)視圖的面積為三角形面積與正方形面積之和,為12×2×5-1+2×2=6,故選B. 答案?　B 2.一個(gè)簡單幾何體的三視圖如圖所示,其

2、中正(主)視圖是等腰直角三角形,側(cè)(左)視圖是邊長為2的等邊三角形,則該幾何體的體積等于　　　　.? 解析?　由三視圖還原可知,原圖形是底面邊長為2和3的矩形,一個(gè)側(cè)面是正三角形且垂直于底面的四棱錐,高為3,所以該幾何體的體積V=13×2×3×3=2. 答案?　2 3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(　　). A.8+2π B.16+4π C.16+2π D.8+4π 解析?　由三視圖可知,該幾何體由一個(gè)正方體截去兩個(gè)半圓柱而形成,則該幾何體的表面積為2×2×4-π×12×2+π×1×2×2=16+2π,故選C. 答案?　C 4.在如圖所示的斜截圓柱中,

3、已知圓柱底面的直徑為40 cm,母線最長為80 cm,最短為50 cm,則斜截圓柱的側(cè)面積S=　　　　cm2.? 解析?　如圖,假設(shè)還有一個(gè)同樣的斜截圓柱,拼在其上面,則構(gòu)成一個(gè)圓柱,于是S=12S圓柱側(cè)=12×40π×(80+50)=2600π cm2. 答案?　2600π 能力1 ?　能正確繪制幾何體的三視圖 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】　已知三棱柱HIG-EFD的底面為等邊三角形,且側(cè)棱垂直于底面,將該三棱柱截去三個(gè)角(如圖(1)所示,A,B,C分別是△HIG三邊的中點(diǎn))后得到的幾何體如圖(2),則該幾何體沿圖(2)所示方向的側(cè)(

4、左)視圖為(　　). (1) 　　　　(2) 解析?　因?yàn)槠矫鍰EHG⊥平面EFD,所以幾何體的側(cè)(左)視圖為直角梯形,直角腰在側(cè)(左)視圖的左側(cè),故選A. 答案?　A 　　本題主要考查空間想象力和投影知識(shí),借助直三棱柱,即可畫出側(cè)(左)視圖. 將長方體ABCD-A1B1C1D1截去一個(gè)直三棱柱,兩個(gè)三棱錐(如圖(1)所示)后得到的幾何體如圖(2),該幾何體沿圖(2)所示方向的側(cè)(左)視圖為(　　). (1) (2) 解析?　側(cè)(左)視圖輪廓為長方形,故選B. 答案?　B 能力2 ?　會(huì)通過三視圖還原幾何體 【例2】

5、　某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積V=(　　). A.83 B.103 C.3 D.203 解析?　由三視圖還原幾何體,可知該幾何體為直三棱柱截去一個(gè)三棱錐后所得的部分,其中直三棱柱的底面是直角邊為2的等腰直角三角形,高為2,三棱錐的底面與棱柱的底面相同,高為1,故該幾何體的體積V=V柱-V錐=103,故選B. 答案?　B 　　本題主要考查空間想象能力和體積公式.先還原出空間幾何體,再利用V=V柱-V錐求體積. 如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1,實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,則圍成該幾何體的所有面中的最大面的面積為(　　). A.272 B.95 C

6、.9292 D.25 解析?　由三視圖可知,該幾何體為三棱錐,如圖所示. 由題意知,AB=6,BC=32,BD=CD=35,AD=9,AC=36.因?yàn)椤鰽BC和△ABD為同高的直角三角形,且BC

7、的外接球的表面積為(　　). A.24π B.36π C.40π D.400π 解析?　該幾何體是底面為等腰三角形的直三棱柱,由圖可知,底面是頂角為120°的等腰△ABC,側(cè)棱AA1垂直底面,AC=23,AA1=26,AB=3sin60°=2.設(shè)△ABC外接圓的半徑為r,則S△ABC=12AB2sin 120°=AB2·AC4r,得r=2.由直三棱柱的性質(zhì)可知,球心到底面外接圓圓心的距離d=AA12=6.由球體的性質(zhì)得R2=d2+r2=10,即外接球的表面積為40π,故選C. 答案?　C 　　涉及球與棱柱、棱錐的切和接問題時(shí),一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))

8、或線作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解. 某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(　　). A.14π+24 B.12π+32 C.12π+24 D.14π+32 解析?　由三視圖可知該空間幾何體為12個(gè)圓柱和12個(gè)球和1個(gè)長方體的組合體,S表=12S球+12S圓柱側(cè)面+12S圓柱底面+S長方體-S長方體的一個(gè)底面-12S圓柱底面=12×4π×22+12×2π×2×2+12×π×22+4×2+2×(2×2+2×4)-1

9、2×π×22=12π+32,故選B. 答案?　B 能力4 ?　會(huì)計(jì)算幾何體的體積 【例4】　如圖所示的是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為(　　). A.23 B.43 C.233 D.433 解析?　由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示. 其中底面為直角三角形,AD=2,AF=3,高AB=2. ∴該幾何體的體積V=12×2×3×2=23, 　　故選A. 答案?　A 　　先還原出幾何體,并抓住幾何體特征,再利用體積公式求解. 已知一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示,則此四棱錐的體積為　　　　.? 解析?　該幾何體是如圖所示的四棱

10、錐P-ABCD,其中PA⊥底面ABCD,底面四邊形由直角梯形ABED與直角△DCE組成,AB∥DE,AB⊥BC,AB=1,DE=2,BE=EC=1,PA=2. ∴S底面ABCD=1+22×1+12×2×1=52,∴V=13×52×2=53. 答案?　53 一、選擇題 1.如圖所示的是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.43 B.2 C.6 D.83 解析?　如圖,該幾何體還原后是一個(gè)底面為直角三角形的三棱錐S-ABD,VS-ABD=12×2×2×13×2=43,故選A. 答案?　A 2.如圖所示的是一個(gè)空

11、間幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為(　　). A.423 B.4 C.83 D.163 解析?　如圖,該幾何體還原后是一個(gè)底面為矩形的四棱錐A1-ABC1D1. 連接A1D交AD1于點(diǎn)O,因?yàn)锳1D⊥AD1,A1D⊥AB,所以A1D⊥平面ABC1D1, 所以四棱錐的高H為A1O,AB=2,BC1=22,A1O=2, 所以VA1-ABC1D1=2×22×13×2=83, 故選C. 答案?　C 3.如圖所示的是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則該幾何體的最長棱長為(　　). A.5 B.3 C.22 D.23 解析?　如圖,該幾何體還原后是一個(gè)底面為直角三角形的三棱錐C

12、1-MNC. 由圖可知棱C1M最長,且C1M=MC2+CC12=MB2+BC2+CC12=3,故選B. 答案?　B 4.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的外接球體積為(　　). A.4π B.43π C.43π D.83π 解析?　由題得幾何體還原后為四棱錐P-ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形,且PA⊥底面ABCD,PA=2.把幾何體放在邊長為2的正方體中,P,A,B,C,D恰好是正方體的五個(gè)頂點(diǎn), 所以這個(gè)正方體的外接球和四棱錐的外接球是同一個(gè)球, 所以四棱錐的外接球半徑為正方體的體對(duì)角線的一半,即3, 所以幾何體外接

13、球的體積V=43π×(3)3=43π,故答案為B. 答案?　B 5.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積V=(　　). A.83 B.103 C.3 D.203 解析?　如圖,由三視圖還原幾何體,可知該幾何體為直三棱柱截去兩個(gè)三棱錐后所得的部分,其中直三棱柱的底面是直角邊為2的等腰直角三角形,高為2,三棱錐的底面與棱柱的底面相同,高為1,故該幾何體的體積V=V柱-2V錐=83,故選A. 答案?　A 6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(　　). A.24+(5-2)π B.24 C.24+(22-2)π D.16-2π 解析?　該幾何體由一個(gè)正

14、方體挖去兩個(gè)相同的圓錐而形成,由三視圖可知正方體的棱長為2,圓錐的底面圓的半徑為1,母線為2,所以該幾何體的表面積為正方體的表面積減去兩個(gè)圓錐的底面的面積再加上兩個(gè)圓錐的側(cè)面積,因此S=2×2×6-2π+π×1×2×2=24+(22-2)π,故選C. 答案?　C 7.將一個(gè)長方體去掉一個(gè)小長方體,所得幾何體的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖如圖所示,則該幾何體的俯視圖為(　　). 解析?　由正(主)視圖可以看出去掉的小長方體在正視圖的左上角,從側(cè)(左)視圖可以看出去掉的小長方體在側(cè)(左)視圖的右上角,故選C. 答案?　C 8.已知在四面體ABCD中,AB=CD=34,AC=BD=3

15、7,AD=BC=29,則四面體ABCD的外接球的表面積為(　　). A.25π B.50π C.100π D.200π 解析?　此四面體可看成一個(gè)長方體的一部分,長方體的長、寬、高分別為21、4、13,四面體ABCD如圖所示,所以此四面體的外接球的直徑為長方體的體對(duì)角線長,即2R=(21)2+(13)2+42=50,所以外接球的表面積為50π,故選B. 答案?　B 二、填空題 9.如圖,一個(gè)正四棱臺(tái)的上底面的邊長為32,下底面的邊長為52,高為8,則其外接球的表面積為　　　　.? 解析?　如圖所示,作出正四棱臺(tái)的最大軸截面,由正四棱臺(tái)的特征知O1C為四棱臺(tái)上底面的外接

16、圓半徑,O2B為四棱臺(tái)下底面的外接圓半徑,OC=OB=R,R為球的半徑. 因?yàn)樯?、下底面都為正方?所以O(shè)1C=3,O2B=5,O1O2=h=8. 又O1O2+O1C2=R2,?、? O2O2+O2B2=R2,　② O1O+O2O=O1O2=8,?、? 聯(lián)立三式解得O1O=5,O2O=3,R2=34, 所以S球=4π×34=136π. 答案?　136π 10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積為　　　　.? 解析?　由三視圖知幾何體的左邊是半圓錐,右邊是四棱錐,如圖所示. 其中圓錐的底面半徑為1,高為3,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,高為3. 所以幾何體

17、的體積為12×13×π×12×3+13×22×3=36π+433. 答案?　36π+433 11.如圖所示的是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為　　　　.? 解析?　該幾何體為一個(gè)半球和一個(gè)正四棱錐,球的半徑為32,四棱錐的底面邊長為6,高為4,四棱錐的側(cè)面為等腰三角形,側(cè)面的斜高為5,S表=S半球+S四棱錐側(cè)面+S圓-S正=2π×(32)2+4×6×52+π×(32)2-36=54π+24. 答案?　54π+24 12. 如圖,已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=3,則球O的體積等于　　　　.? 解析?　由題意知,

18、△DAC,△DBC都是直角三角形,且有公共的斜邊,所以DC邊的中點(diǎn)到點(diǎn)B和A的距離都等于DC的一半,所以DC邊的中點(diǎn)是球心并且半徑為線段DC長的一半.因?yàn)镈C=DA2+AB2+BC2=3,所以球的體積V=43π×323=92π. 答案?　92π 三、解答題 13.如圖所示的是一個(gè)幾何體的三視圖. (1)求該幾何體的表面積和體積. (2)求該幾何體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比. 解析?　(1)如圖所示,由三視圖知該幾何體為正四面體B1-ACD1,AD1=AC=CD1=B1A=B1C=B1D1=42,S表=4S△ACD1=4×34×(42)2=323. 設(shè)等邊△ACD1的中心為O,連接B1O,OC,由正四面體的特征知,B1O是正四面體的高,OC是等邊三角形ACD1的外接圓的半徑,所以△B1OC為直角三角形,OC=463. 因?yàn)镺C2+B1O2=B1C2,所以B1O=833,VB1-ACD1=13×833×83=643. (2)正四面體的外接球即正方體的外接球,外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線,所以R1=23. 設(shè)正四面體B1-ACD1的內(nèi)切球的球心為O1,半徑為R2,連接O1B1,O1A,O1C,O1D1,則VB1-ACD1=4VO1-ACD1=4×13×83×R2=643,解得R2=233,所以R1R2=3. 14