（新課標）2020版高考數學二輪復習 專題七 選考部分 第2講 不等式選講練習 理 新人教A版

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1、第2講　不等式選講 1．(2019·昆明市質量檢測)已知函數f(x)＝|2x－1|. (1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4； (2)當x≠0，x∈R時，證明：f(－x)＋f()≥4. 解：(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等價于|2x－1|＋|2x＋1|≥4， 等價于或或， 解得x≤－1或x≥1， 所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)證明：當x≠0，x∈R時，f(－x)＋f()＝|－2x－1|＋|－1|， 因為|－2x－1|＋|－1|≥|2x＋|＝2|x|＋≥4，當且僅當 ，即x＝±1時等號成立，所以f(－x)＋f()≥4. 2．(201

2、9·武漢市調研測試)已知函數f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)求不等式f(x)≥3的解集； (2)若直線y＝x＋a與y＝f(x)的圖象所圍成的多邊形面積為，求實數a的值． 解：(1)由題意知f(x)＝，由f(x)≥3可知： ①當x≥1時，3x≥3，即x≥1； ②當－

3、邊形，則a>2. 易得直線y＝x＋a與y＝f(x)的圖象交于C(，)，D(－，)兩點， 則|CD|＝·|＋|＝a， 平行線AB與CD間的距離d＝＝，|AB|＝， 所以梯形ABCD的面積S＝·＝·(a－2)＝(a>2)， 即(a＋2)(a－2)＝12，所以a＝4， 故所求實數a的值為4. 3．(2019·南昌市第一次模擬測試)已知函數f(x)＝|x＋m2|＋|x－2m－3|. (1)求證：f(x)≥2； (2)若不等式f(2)≤16恒成立，求實數m的取值范圍． 解：(1)證明：因為f(x)＝|x＋m2|＋|x－2m－3|≥|(x＋m2)－(x－2m－3)|，所以f(x)≥

4、|m2＋2m＋3|＝(m＋1)2＋2≥2. (2)由已知，得f(2)＝m2＋2＋|2m＋1|， ①當m≥－時，f(2)≤16等價于m2＋2m＋3≤16，即(m＋1)2≤14， 解得－－1≤m≤－1，所以－≤m≤－1； ②當m<－時，f(2)≤16等價于m2－2m＋1≤16， 解得－3≤m≤5，所以－3≤m<－. 綜上，實數m的取值范圍是[－3，－1]． 4．(2019·江西八所重點中學聯考)已知不等式|ax－1|≤|x＋3|的解集為{x|x≥－1}． (1)求實數a的值； (2)求＋的最大值． 解：(1)|ax－1|≤|x＋3|的解集為{x|x≥－1}，即(1－a2)x2＋

5、(2a＋6)x＋8≥0的解集為{x|x≥－1}，當1－a2≠0時，不符合題意，舍去． 當1－a2＝0，即a＝±1時， x＝－1為方程(2a＋6)x＋8＝0的一解，經檢驗a＝－1不符合題意，舍去，a＝1符合題意． 綜上，a＝1. (2)(＋)2＝16＋2＝16＋2，當t＝＝4時，(＋)2有最大值32.又＋≥0，所以＋的最大值為4. 5．(2019·石家莊市模擬(一))設函數f(x)＝|1－x|－|x＋3|. (1)求不等式f(x)≤1的解集； (2)若函數f(x)的最大值為m，正實數p，q滿足p＋2q＝m，求＋的最小值． 解：(1)不等式可化為 或或，解得x≥－， 所以f(x

6、)≤1的解集為{x|x≥－}． (2)法一：因為|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4， 所以m＝4，p＋2q＝4，所以(p＋2)＋2q＝6， ＋＝(＋)(p＋2＋2q)＝(4＋＋)≥(4＋2)＝， 當且僅當p＋2＝2q＝3，即時取“＝”， 所以＋的最小值為. 法二：因為|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4， 所以m＝4，p＋2q＝4，所以p＝4－2q，q∈(0，2)， ＋＝＋＝＝＝， 因為q∈(0，2)，所以當q＝時，＋取得最小值. 6．(2019·成都第一次診斷性檢測)已知函數f(x)＝|2x－1|＋|＋1|. (1)求不等式f(x)－3<0的解集；

7、 (2)若關于x的方程f(x)－m2－2m－＝0無實數解，求實數m的取值范圍． 解：(1)由題意，知f(x)＝|2x－1|＋|＋1|＝ 由f(x)－3<0，可得或 或，解得－4； (2)對于任意正數m，n，求使得不等式f(x)≤＋＋2nm恒成立的x的取值集合M. 解：(1)當x≤0

8、時，不等式化為－2x＋1－x>4，所以x<－1； 當04，解得x>3，無解； 當x≥1時，不等式化為2x＋x－1>4，所以x>， 綜上，不等式f(x)>4的解集為(－∞，－1)∪(，＋∞)． (2)因為＋＋2mn≥＋2mn≥4，當且僅當m＝n＝1時“＝”成立， 所以2|x|＋|x－1|≤4，由(1)知x的取值集合M為[－1，]． 8．(2019·沈陽市質量監(jiān)測(一))設a>b>0，且ab＝2，記的最小值為M. (1)求M的值，并寫出此時a，b的值； (2)解關于x的不等式：|3x＋3|＋|x－2|>M. 解：(1)因為a>b>0，所以a－b>0，>0， 根據基本不等式有＝＝a－b＋≥4， 當且僅當，即時取等號，所以M的值為4，此時a＝＋1，b＝－1. (2)當x≤－1時，原不等式等價于－(3x＋3)＋(2－x)>4，解得x<－； 當－14，解得－4，解得x≥2. 綜上所述，原不等式的解集為(－∞，－)∪(－，＋∞)． - 5 -