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1、第7講 等差數(shù)列、等比數(shù)列
1.(2018全國課標Ⅰ,4,5分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=( )
A.-12 B.-10 C.10 D.12
2.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=an2+bn(a,b∈R),且a2=3,a6=11,則S7=( )
A.13 B.49 C.35 D.63
3.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,a2+a3+a4=42,a3+a4+a5=84,則S3=( )
A.12 B.21 C.36 D.48
4.已知數(shù)列{an}滿足:an+1an+1+1=12
2、,且a2=2,則a4=( )
A.-12 B.23
C.12 D.11
5.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有金棰,長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是“現(xiàn)有一根金杖,長5尺,一頭粗,一頭細,在粗的一端截下1尺,重4斤;在細的一端截下1尺,重2斤.問:依次每一尺各重多少斤?”設(shè)該金杖由粗到細是均勻變化的,其質(zhì)量為M.現(xiàn)將該金杖截成長度相等的10段,記第i段的質(zhì)量為ai(i=1,2,…,10),且a1
3、n2=4n,n∈N*,則{an}為等比數(shù)列
B.若an·an+2=an+12,n∈N*,則{an}為等比數(shù)列
C.若am·an=2m+n,m,n∈N*,則{an}為等比數(shù)列
D.若an·an+3=an+1·an+2,n∈N*,則{an}為等比數(shù)列
7.(2018合肥第一次質(zhì)檢)在等比數(shù)列{an}中,a2a6=16,a4+a8=8,則a20a10= .?
8.已知數(shù)列{an}滿足a1=0,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且an+1=an+bn,b15+b16=15,則a31= .?
9.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S8>S9>S7,則滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值
4、為 .?
10.設(shè)某數(shù)列的前n項和為Sn,若SnS2n為常數(shù),則稱該數(shù)列為“和諧數(shù)列”.若一個首項為1,公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}為“和諧數(shù)列”,則該等差數(shù)列的公差d= .?
11.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公比q>0,a1+a2=4,a3-a2=6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若對任意的n∈N*,kan,Sn,-1都成等差數(shù)列,求實數(shù)k的值.
12.已知數(shù)列{an}中,an2+2an-n2+2n=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
13.已知
5、數(shù)列{an}滿足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
(1)求a2,a3;
(2)證明:數(shù)列ann是等差數(shù)列,并求{an}的通項公式.
14.(2018北京,15,12分)設(shè){an}是等差數(shù)列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求ea1+ea2+…+ean.
答案全解全析
1.B 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則3×(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=-32a1.又a1=2,∴d=-3.∴a5=a1+4d=-10.故選B.
2
6、.B 由Sn=an2+bn(a,b∈R)可知,數(shù)列{an}是等差數(shù)列.依題意,得d=a6-a26-2=11-34=2,則an=a2+(n-2)d=2n-1.所以a1=1,a7=13.所以S7=a1+a72×7=1+132×7=49.故選B.
3.B 設(shè){an}的公比為q(q≠0).由a2+a3+a4=42,a3+a4+a5=84,易得a3+a4+a5a2+a3+a4=q(a2+a3+a4)a2+a3+a4=q=2.又a2+a3+a4=42,所以a1q+a1q2+a1q3=a1(2+4+8)=42.解得a1=3.所以S3=3+6+12=21.故選B.
4.D 因為數(shù)列{an}滿足:an+1a
7、n+1+1=12,所以an+1+1=2(an+1),即數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,公比為2.所以a4+1=22(a2+1)=12.所以a4=11.
5.C 由題意知,由細到粗每段的質(zhì)量成等差數(shù)列,記為{an}.設(shè)其公差為d,則a1+a2=2,a9+a10=4,即2a1+d=2,2a1+17d=4,解得a1=1516,d=18.所以該金杖的總質(zhì)量M=10×1516+10×92×18=15.因為48ai=5M,所以481516+(i-1)×18=75,解得i=6.故選C.
6.C 若a1=-2,a2=4,a3=8,滿足an2=4n,n∈N*,但{an}不是等比數(shù)列,故A錯;若an=0,滿足an
8、·an+2=an+12,n∈N*,但{an}不是等比數(shù)列,故B錯;若an=0,滿足an·an+3=an+1·an+2,n∈N*,但{an}不是等比數(shù)列,故D錯;若am·an=2m+n,m,n∈N*,則有am·an+1am·an=an+1an=2m+n+12m+n=2,故{an}是等比數(shù)列.
7.答案 1
解析 由等比數(shù)列的性質(zhì),得a42=a2a6=16,∴a4=±4.又a4+a8=8,∴a4=4,a8=4或a4=-4,a8=12.∵a62=a4a8>0,∴a4=4,a8=4,∴公比q滿足q4=1,q2=1.∴a20a10=q10=1.
8.答案 225
解析 因為數(shù)列{an}滿足a1=
9、0,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且an+1=an+bn,b15+b16=15,
所以an+1=b1+b2+b3+…+bn.
所以a31=b1+b2+b3+…+b30
=302(b1+b30)=15(b15+b16)=15×15=225.
9.答案 16
解析 由S8>S9>S7,得S8-S9>0,S9-S7>0.∴a9<0,a9+a8>0.∵{an}是等差數(shù)列,
∴S16=16(a1+a16)2=16(a8+a9)2>0,S17=17(a1+a17)2=17×2a92=19a9<0.∴滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為16.
10.答案 2
解析 由SnS2n=k(k為常數(shù)),且
10、a1=1,得n+12n(n-1)d=k2n+12×2n(2n-1)d,即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d.整理,得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0.∵對任意正整數(shù)n,上式恒成立,∴d(4k-1)=0,(2k-1)(2-d)=0,解得d=2,k=14.∴數(shù)列{an}的公差為2.
11.解析 (1)∵a1+a2=4,a3-a2=6,
∴a1(1+q)=4,a1(q2-q)=6.
∵q>0,∴q=3,a1=1.
∴an=1×3n-1=3n-1.故數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-1.
(2)由(1)知,an=3n-1,Sn=1×(1-3n)1-3=3n-12,
∵
11、kan,Sn,-1成等差數(shù)列,
∴2Sn=kan-1,即2×3n-12=k×3n-1-1.
解得k=3.
12.解析 (1)由an2+2an-n2+2n=0,得(an-n+2)(an+n)=0.
∴an=n-2或an=-n.
∴{an}的通項公式為an=n-2或an=-n.
(2)①當an=n-2時,易知{an}為等差數(shù)列,且a1=-1,
∴Sn=n(a1+an)2=n(-1+n-2)2=n(n-3)2.
②當an=-n時,易知{an}也為等差數(shù)列,且a1=-1,
∴Sn=n(a1+an)2=n(-1-n)2=-n(n+1)2.
13.解析 (1)由已知,得a2-2a1=4
12、,
則a2=2a1+4.又a1=1,所以a2=6.
由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.
(2)證明:由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),得
nan+1-(n+1)ann(n+1)=2,即an+1n+1-ann=2.
所以數(shù)列ann是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.
所以ann=1+2(n-1)=2n-1.所以an=2n2-n.
14.解析 (1)設(shè){an}的公差為d.
因為a2+a3=5ln 2,
所以2a1+3d=5ln 2.
又a1=ln 2,所以d=ln 2.
所以an=a1+(n-1)d=nln 2.
(2)因為ea1=eln 2=2,eanean-1=ean-an-1=eln 2=2,
所以{ean}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.
所以ea1+ea2+…+ean=2×1-2n1-2=2(2n-1).
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2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第7講 等差數(shù)列、等比數(shù)列練習(xí) 理
