（通用版）2020版高考數(shù)學大二輪復習 專題突破練16 熱點小專題二 球與多面體的內切、外接 文

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1、專題突破練16　熱點小專題二　球與多面體的內切、外接 一、選擇題 1.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為(　　) A.12π B.323π C.8π D.4π 2. (2019江西九江一模,文9)《九章算術》卷第五《商功》中,有“賈令芻童,上廣一尺,袤二尺,下廣三尺,袤四尺,高一尺.”,意思是:“假設一個芻童,上底面寬1尺,長2尺;下底面寬3尺,長4尺,高1尺(如圖).”(注:芻童為上下底面為相互平行的不相似長方形,兩底面的中心連線與底面垂直的幾何體),若該幾何體所有頂點在一球的表面上,則該球體的表面積為(　　) A.46π平方尺 B.41π平方尺 C.4

2、0π平方尺 D.36π平方尺 3. (2019山東濟寧一模,理9)《九章算術》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示,則該“塹堵”的外接球的體積為(　　) A.823π B.6π C.6π D.8π 4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的直徑為(　　) A.13 B.410 C.210 D.217 5.(2019山東濰坊二模,文10)一個各面均為直角三角形的四面體有三條棱長為2,則該四面體外接球的表面積為(　　) A.6π B.12π C.32π

3、D.48π 6.(2019湖北八校聯(lián)考二,文8)已知三棱錐的三視圖如圖所示,且各頂點在同一球面上,則該球的表面積是(　　) A.12π B.10π C.8π D.6π 7.已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為(　　) A.36π B.64π C.144π D.256π 8.如圖②,需在正方體的盒子內鑲嵌一個小球,使得鑲嵌后三視圖均為圖①所示,且面A1C1B截得小球的截面面積為2π3,則該小球的體積為(　　) A.π6 B.4π3 C.32π3 D.82π3 9.已知A,B,C,D是同一球

4、面上的四個點,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6,則該球的體積為(　　) A.323π B.48π C.24π D.16π 10.(2019四川第二次診斷,理10)已知一個幾何體的正視圖,側視圖和俯視圖均是直徑為10的圓(如圖),這個幾何體內接一個圓錐,圓錐的體積為27π,則該圓錐的側面積為(　　) A.910π B.1211π C.1017π D.403π3 11. (2019山西呂梁一模,文12)四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為矩形,AD=4,AB=2,且SA+SD=8,當該四棱錐的體積最大時,其外接球的表面積為(　　) A.20π B.25

5、π C.803π D.763π 12.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為(　　) A.26 B.36 C.23 D.22 二、填空題 13.(2019四川成都二模,理14)已知三棱錐A-BCD的四個頂點都在球O的表面上,若AB=AC=AD=1,BC=CD=BD=2,則球O的表面積為　　　　　.? 14.(2019河北唐山一模,理15)在四面體ABCD中,AB=BC=1,AC=2,且AD⊥CD,該四面體外接球的表面積為　　　　　.? 15. (2019湖南六校聯(lián)考,理15)在《九章算術

6、》中,將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖,若四棱錐P-ABCD為陽馬,側棱PA⊥底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,設該陽馬的外接球半徑為R,內切球半徑為r,則Rr=　　　　　.? 16.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為. 參考答案 專題突破練16　熱點小專題二　 球與多面體的內切、外接 1.A　解析設正方體的棱長為a,由a3=8,得a=2.由題意可知,正方體的體對角線為球的直徑,故2r=3a2,則r=3.所以該球的

7、表面積為4π×(3)2=12π,故選A. 2.B　解析由已知得球心在幾何體的外部,設球心到幾何體下底面的距離為x,則R2=x2+522=(x+1)2+522,解得x=2,∴R2=414,∴該球的表面積S=41π.故選B. 3.A　解析根據幾何體的三視圖可知幾何體為底面為腰長為2的直角等腰三角形,高為2的直三棱柱.設外接球的半徑為R,則(2R)2=(2)2+(2)2+22,解得R=2,所以V=43π(2)3=823π.故選A. 4.A　解析由題意可知,直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球O的半徑R=32+42+1222=132,故球O的直徑為13.故選A. 5.B　解析如圖,在四面體AB

8、CD中,∠ABD=∠ABC=∠BCD=∠ACD=90°,AB=BC=CD=2,可得BD=22,AD=23,設AD的中點為O,連接OB,OC,則OB=OC=OA=OD,所以AD的中點O即為外接球的球心,故球O半徑為3,其表面積為12π,故選B. 6.A　解析根據三視圖,把該三棱錐放入長、寬、高分別為2,3,5的長方體中,如圖所示.則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,所以外接球的半徑R滿足(2R)2=PC2=22+(3)2+(5)2=12,所以外接球的表面積是4πR2=12π. 7.C　解析由△AOB的面積確定可知,若三棱錐O-ABC的底面OAB上的高最大,則其體積最大.因為高最大為半

9、徑R,所以VO-ABC=13×12R2×R=36,解得R=6,故S球=4πR2=144π. 8.B　解析設正方體盒子的棱長為2a,則內切球的半徑為a,平面A1BC1是邊長為22a的正三角形,且球與以點B1為公共點的三個面的切點恰為△A1BC1三邊的中點,∴所求截面的面積是該正三角形的內切圓的面積,則由圖得,△A1BC1內切圓的半徑是2a×tan30°=63a,則所求的截面圓的面積是π·63a2=2π3a2=2π3,故a=1,∴該小球的體積為V球=4π3×13=4π3. 9.A　解析由題意畫出幾何體的直觀圖如圖,把A,B,C,D擴展為三棱柱,上下底面中心的中點與A的距離為球的半徑,AD=2A

10、B=6,OE=3,△ABC是正三角形,AE=23×32×3=3,AO=32+(3)2=23.故所求球的體積為43π×(23)3=323π. 10.A　解析 幾何體的軸截面如圖所示,設圓錐的底面半徑為r,由題意可得13×π×r2×(25-r2+5)=27π,解得r=3,所以該圓錐的側面積為12×6π×32+92=910π.故選A. 11.D　解析當點S到底面ABCD的距離最大時,四棱錐的體積最大,這時△SAD為等邊三角形,S到底面ABCD的距離為23且平面SAD⊥平面ABCD.設球心O到平面ABCD的距離OE=x,則由OD=OS,得x2+5=(23-x)2+1,所以x=23,所以四

11、棱錐外接球的半徑R=x2+5=193,所以四棱錐外接球的表面積為S=4πR2=763π.故選D. 12.A　解析∵SC是球O的直徑, ∴∠CAS=∠CBS=90°. ∵BA=BC=AC=1,SC=2, ∴AS=BS=3. 取AB的中點D,顯然AB⊥CD,AB⊥SD,∴AB⊥平面SCD. 在△CDS中,CD=32,DS=112,SC=2,利用余弦定理可得cos∠CDS=CD2+SD2-SC22CD·SD=-133, ∴sin∠CDS=4233, ∴S△CDS=12×32×112×4233=22, 故V=VB-CDS+VA-CDS=13×S△CDS×BD+13S△CDS×AD

12、=13S△CDS×BA=13×22×1=26. 13.3π　解析(法一)如圖, 取CD的中點E,連接BE,可得BE=32×2=62, 設等邊三角形BCD的中心為G,則BG=23×62=63, ∴AG=12-(63)?2=33. 設三棱錐A-BCD的外接球的半徑為R,則R2=BG2+OG2,即R2=632+33-R2,解得R=32. ∴球O的表面積為4πR2=3π. (法二)∵AB=AC=AD=1,BC=CD=BD=2, ∴由勾股定理的逆定理得三棱錐的三個側面都是全等的直角三角形,將三棱錐補形為正方體,則其外接球的直徑為正方體的體對角線, ∴2R=12+12+12=3,

13、故球O的表面積為4πR2=3π. 14.2π　解析如圖所示,由AB=BC=1,AC=2,得AB⊥BC,所以△ABC和△DAC都是直角三角形.△ABC外接圓的圓心是AC的中點,△DAC外接圓的圓心也是AC的中點,且兩個三角形的外接圓都是球的大圓,所以球半徑R=12AC=22,所以S球=4πR2=2π. 15.412　解析易知該陽馬補形所得到的長方體的體對角線為外接球的直徑,所以(2R)2=AB2+AD2+AP2=42+42+32=41,R=412.因為側棱PA⊥底面ABCD,且底面為正方形,所以內切球O1在側面PAD內的正視圖是△PAD的內切圓,則內切球半徑為1,故Rr=412. 16.36π　解析取SC的中點O,連接OA,OB. 因為SA=AC,SB=BC,所以OA⊥SC,OB⊥SC. 因為平面SAC⊥平面SBC,且OA?平面SAC, 所以OA⊥平面SBC.設OA=r,則VA-SBC=13×S△SBC×OA=13×12×2r×r×r=13r3, 所以13r3=9,解得r=3. 所以球O的表面積為4πr2=36π. 10